2022届高三数学一轮复习（原卷版）第8讲　第1课时　高效演练分层突破.doc

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1、 基础题组练 1 过椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为左焦点 F，若14k23，则椭圆离心率的取值范围为( ) A13，34 B13，34 C0，34 D13，1 解析：选 B由题意知 Bc，b2a，所以 kb2acaaca1e.又14k23，所以141e23，解得13e34. 2抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若 x1x242 33|AB|，则AFB 的最大值为_ 解析：由抛物线的焦半径公式可得|AF|x12，|BF|x22. 又 x

2、1x242 33|AB|， 即|AB|32(|AF|BF|)， 所以 cos AFB|AF|2|BF|2|AB|22|AF|BF|AF|2|BF|232(|AF|BF|)22|AF|BF| 14|AF|214|BF|232|AF|BF|2|AF|BF|18|AF|BF|BF|AF|34182|AF|BF|BF|AF|3412， 当且仅当|AF|BF|BF|AF|即|AF|BF|时，等号成立 又 0AFB，所以AFB 的最大值为23. 答案：23 3设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21(ab0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(a，0)，点B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上

3、，满足|BM|2|MA|，直线 OM 的斜率为510. (1)求 E 的离心率 e； (2)设点 C 的坐标为(0，b)，N 为线段 AC 的中点，证明：MNAB. 解：(1)由题设条件知，点 M 的坐标为23a，13b ， 又 kOM510，从而b2a510. 进而 a 5b，c a2b22b， 故 eca2 55. (2)证明：由 N 是 AC 的中点知，点 N 的坐标为a2，b2，可得NMa6，5b6. 又 AB(a，b)， 从而有AB NM16a256b216(5b2a2) 由(1)的计算结果可知 a25b2， 所以ABNM0，故 MNAB. 4(2020 重庆南开中学质检)已知 A(

4、0， 2)，B( 3，1)是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)上的两点 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设 O 为坐标原点，M 为椭圆 C 上一动点，点 P(3，0)，线段 PM 的垂直平分线交 y轴于点 Q，求|OQ|的最小值 解：(1)由题意知代入 A，B 两点坐标得2b21， 3a21b21. 解得 a26，b22， 所以椭圆 C 的标准方程为x26y221. (2)根据题意知直线 PM，QN 的斜率存在且不为 0. 设点 M 坐标为(x0，y0)， 则x206y2021，即 x2063y20. 线段 PM 的中点 Nx032，y02，kPMkQN1， 即 kQN3x0y0，

5、所以直线 lQN：yy023x0y0 xx032. 令 x0，并结合式得 yQy02x2092y0y0233y202y032y202y0， |OQ|yQ|32y202y0 32|y0|y0|232|y0|y0| 6， 当且仅当32|y0|y0|， 即 y062时取等号， 所以|OQ|的最小值为 6. 综合题组练 1(2020 河南阶段性测试)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)上的点到右焦点 F(c，0)的最大距离是 21，且 1， 2a，4c 成等比数列 (1)求椭圆的方程； (2)过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x轴于点 M(m

6、，0)，求实数 m 的取值范围 解：(1)由已知可得ac 21，14c2a2，a2b2c2，解得a 2，b1，c1， 所以椭圆的方程为x22y21. (2)由题意得 F(1，0)，设直线 AB 的方程为 yk(x1) 与椭圆方程联立得x22y220，yk(x1)，消去 y 可得(12k2)x24k2x2k220. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x24k212k2，y1y2k(x1x2)2k2k12k2. 可得线段 AB 的中点为 N2k212k2，k12k2. 当 k0 时，直线 MN 为 y 轴，此时 m0. 当 k0 时，直线 MN 的方程为 yk12k21kx2k21

7、2k2，化简得 kyxk212k20. 令 y0，得 mk212k2. 所以 mk212k211k220，12. 综上所述，m 的取值范围为0，12. 2(2020 广州市综合检测(一)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 y32x与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2，椭圆C 的另一个焦点是 F1，且MF1MF294. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 过点(1，0)，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求F2PQ 的内切圆面积的最大值 解：(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，因为点 M 在直线

8、 y32x 上，且点 M 在 x轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2(c，0)，所以点 Mc，3c2. 因为MF1MF22c，32c 0，32c 94， 所以 c1. 所以1a294b21，a2b21，解得a24，b23. 所以椭圆 C 的方程为x24y231. (2)由(1)知，F1(1，0)，过点 F1(1，0)的直线与椭圆 C 交于 P，Q 两点，则F2PQ的周长为 4a8，又 SF2PQ12 4a r(r 为F2PQ 的内切圆半径)， 所以当F2PQ 的面积最大时，其内切圆面积最大 设直线 l 的方程为 xky1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则xky1，x24y231， 消去 x 得(43k2)y26ky90， 所以y1y26k3k24，y1y293k24， 所以 SF2PQ12 |F1F2|y1y2|12 k213k24. 令 k21t，则 t1，所以 SF2PQ123t1t， 令 f(t)3t1t，则 f(t)31t2， 当 t1，)时，f(t)0， f(t)3t1t在1，)上单调递增， 所以 SF2PQ123t1t3，当 t1 时取等号， 即当 k0 时，F2PQ 的面积取得最大值 3， 结合 SF2PQ12 4a r，得 r 的最大值为34， 所以F2PQ 的内切圆面积的最大值为916.