人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：等比数列.docx

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1、等比数列知识讲解一、等比数列1.定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示等比数列中的项不为2.通项公式： ；3.前项和公式：4.等比数列的性质（其中公比为）：1）， ；2）若，则有；若，则有；3）等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，为等比数列，公比为4）等比数列的项和也构成一个等比数列，即，为等比数列，公比为5)当且仅当两个数和同号是才存在等比中项，且等比中项为6)若成等比数列，则7)若数列，都是等比数列且项数相同，则都是等比数列；8)用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于这五个量，

2、知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”；二、等差与等比数列1.若正项数列为等比数列，则数列为等差数列；2.若数列为等差数列，则数列为等比数列；3.任意两数都存在等差中项为，但不一定都存在等比中项，当且仅当同号时才存在等比中项为；4.任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；判断一个数列为等比数列的方法：1）定义法：,（常数） 为等比数列2）等比中项法： 为等比数列3）前项和法：数列的前项和（A是常数，）数列为等比数列；经典例题一选择题（共14小题）1等比数列an中，a3=2，a11=8，则a7=（）A4B4C±4D5【解答】解：

3、由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，a7=a3a11=(-2)×(-8)=4故选：A2等比例数列an的前n项和为Sn，公比为q，若S6=9S3，S5=62，则a1=（）A2B2C5D3【解答】解：根据题意，等比例数列an中，若S6=9S3，则q±1，若S6=9S3，则a1(1-q6)1-q=9×a1(1-q3)1-q，解可得q3=8，则q=2，又由S5=62，则有S5=a1(1-q5)1-q=31a1=62，解可得a1=2；故选：B3已知无穷等比数列an的各项之和为32，首项a1=12，则该数列的公比为（）A13B23C13D13或23【解答】解：由题意可得：

4、121-q=32，解得q=23故选：B4已知等比数列an中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A12B10C122D62【解答】解：，a1=1，a3+a5=6，a3+a5=q2+q4=6，得q4+q26=0，即（q22）（q2+3）=0，则q2=2，则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，故选：A5在等比数列an中，a1=1，a5=4，则a3=（）A2B2C±2D2【解答】解：在等比数列中，由a5=4得a5=q4=4，得q2=2，则a3=q2=2，故选：A6已知等比数列an的首项为1，公比q1，且a5+a4=3（a3+a2），则9a1a2a3a9=（）A9B9C

5、81D81【解答】解：等比数列an的首项为1，公比q1，且a5+a4=3（a3+a2），a2q3+a2q2=3（a2q+a2），化为：q2=3由等比数列的性质可得：a1a2a9=q1+2+8=q8×(8+1)2=q4×9则9a1a2a3a9=9q4×9=q4=9故选：B7已知等比数列an的前n项和为Sn，且9S3=S6，a2=1，则a1=（）A12B22C2D2【解答】解：设等比数列an的公比为q1，9S3=S6，a2=1，9a1(1-q3)1-q=a1(1-q6)1-q，a1q=1则q=2，a1=12故选：A8已知各项均为正数的等比数列an中，a1=1，a3=4

6、，则此数列的前n项和等于（）A2n+1B2n1C13（4n1）D13（4n+1）【解答】解：设等比数列an的公比为q0a1=1，a3=4，则4=q2，解得q=2此数列的前n项和=2n-12-1=2n1故选：B9等比数列an共有奇数项，所有奇数项和S奇=255，所有偶数项和S偶=126，末项是192，则首项a1=（）A1B2C3D4【解答】解：设等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q，得到奇数项为奇数项为a1（1+q2+q4+q2n）=255，偶数项为a1（q+q3+q5+q2n1）=126，所以qa1（1+q2+q4+q2n）=255q，即a1（q+q3+q5+q2

7、n1）+qa2n+1=255q，可得：126+192q=255q，解得q=2所以所有奇数项和S奇=255，末项是192，a2n+1(1-(14)n+1)1-14=192(1-(14)n+1)1-14=255，即：(14)n+1=1256解得n=3是共有7项，a7=a1（12）6，解得a1=3故选：C10ABC，若sinA，cosB2，sinC成等比数列，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形【解答】解：sinA，cosB2，sinC成等比数列，cos2B2=sinAsinC，12（1+cosB）=-12cos（A+C）cos（AC），1+cosB=cosBco

8、s（AC），化为：cos（AC）=1，又A，C（0，），A=C，可得a=c则ABC的形状为等腰三角形故选：D11设数列an的前项和为Sn，如果a1=1，an+1=2an（nN*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）AS1BS2CS3DS4【解答】解：an的前n项和为Sn，如果a1=1，an+1=2an（nN*），则数列an为首项为1，公比为2的等比数列，则S1=a1=1；S2=12=1；S3=12+4=3；S4=12+48=5则其中最小值为S4故选：D12递增的等比数列an的每一项都是正数，设其前n项的和为Sn，若a2+a4=30，a1a5=81，则S6=（）A121B364C364D1

9、21【解答】解：设每一项都是正数的递增的等比数列an的公比为q1，a2+a4=30，a1a5=81=a2a4，联立解得a4=27，a2=33q2=27，解得q=3a1×3=3，解得a1=1则S6=36-13-1=364故选：C13设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S3=4，则S9S6=（）A3B134C154D4【解答】解：由等比数列an的性质可得：S3，S6S3，S9S6成等比数列，(S6-S3)2=S3（S9S6），S6S3=4，S3=14S6(34S6)2=14S6（S9S6），解得S9=134S6即S9S6=134故选：B14已知公差不为0的等差数列an与等比数列bn，a

10、1=2，bn=a2n，则bn的前5项的和为（）A142B124C128D144【解答】解：b1=a2=2+d，b2=a4=2+3d，b3=a8=2+7d，则（2+3d）2=（2+d）（2+7d），d0，解得d=2b1=4，b2=8，公比q=2bn的前5项的和=4×(25-1)2-1=124故选：B二填空题（共3小题）15已知数列an为等比数列，若a1+a3=5，a2+a4=10，则公比q=2【解答】解：设等比数列an的公比为q，由a2+a4=10，可得a1q+a3q=10，即q（a1+a3）=10，又a1+a3=5，所以5q=10解得q=2故答案为216已知数列an的各项均为整数，a

11、8=2，a13=4，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则a15=16【解答】解：数列an的各项均为整数，a8=2，a13=4，前12项依次成等差数列，设由前12项构成的等差数列的公差为d，从第11项起构成的等比数列的公比为q，由a13=a122a11=(-2+4d)2-2+3d=4，由数列an的各项均为整数，解得d=1，a11=2+3×1=1，a12=1+1=2，q=a12a11=2，a15=a11q4=1×24=16故答案为：1617设an是由正数组成的等比数列，且a4a7+a5a6=18，log3a1+log3a2+log3a10的值是10【解答】解：

12、在等比数列中，a4a7+a5a6=18，a4a7=a5a6=a1a10，即2a1a10=18，则a1a10=9，则log3a1+log3a2+log3a10=log3（a1a2+a10）=log3（a1a10）5=5log39=5×2=10，故答案为：10；三解答题（共4小题）18已知等比数列an，a1=2，a4=16（1）求数列an的通项公式（2）求S10的值【解答】解：（1）由题意，an是等比数列an，设公比为q，a1=2，a4=16，即a4=a1q3=16，解得：q=2，通项公式an=a1qn1=2n（2）根据等比数列的前n项和Sn=a1(1-qn)1-q则S10=2(1-21

13、0)1-2=211-2=204619（1）等差数列an中，已知a1=13，a2+a5=4，an=33，试求n的值；（2）在等比数列an中，a5=162，公比q=3，前n项和Sn=242，求首项a1和项数n【解答】解：（1）因为a2+a5=（a1+d）+（a1+4d）=2a1+5d=4，解得a1=13所以d=23，an=a1+(n-1)d=23n-13由an=33得：23n-13=33，解得n=50（2）因为a5=162，公比q=3所以由a5=a1q4得：162=a134，解得a1=2所以Sn=a1(1-qn)1-q=3n-1因为Sn=242，所以由Sn=3(3n-1)=242，得：Sn=3n-

14、1=242解得n=520已知等比数列an的前n项和为Sn，且a3=32，S3=92（1）若a3，m，S3成等比数列，求m值；（2）求a1的值【解答】解：（1）a3，m，S3成等比数列，m2=a3S3，又a3=32，S3=92，m2=274m=±332；（2）设等比数列an的公比为q，当q=1时，a1=a2=a3=32，此时S3=92，满足题意； 当q1时，依题意得&a1q2=32&a1(1-q3)1-q=92，解得&a1=6&q=12，综上可得a1=32或a1=621若数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n(nN*)（1）证明：数列an2为等比数列；（2）求数列Sn的前n项和Tn【解答】解：（1）Sn+an=2n，Sn1+an1=2（n1），n2由得，2anan1=2，n2，2（an2）=an12，n2，a12=1，数列an2以1为首项，12为公比的等比数列（2）由（1）得an-2=-(12)n-1，an=2-(12)n-1，Sn+an=2n，Sn=2n-an=2n-2+(12)n-1，Tn=0+(12)0+2+(12)+2n-2+(12)n-1=0+2+(2n-2)+(12)0+(12)+(12)n-1=n(2n-2)2+1-(12)n1-12=n2-n+2-(12)n-1