2022届高三数学一轮复习（原卷版）专题08 导数与不等式、函数零点相结合（解析版） (2).docx

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1、三年高考+命题规律专题08导数与不等式、函数零点结合 命题规律内 容典 型已知不等式恒成立求参数范围2019年高考全国卷文数双变量不等式证明2020年高考天津卷20利用导数证明单变量不等式2018年高考全国卷文数求函数零点或判定函数零点位置或个数2020年高考浙江卷22已知函数零点个数求参数范围2020年高考全国卷文数20命题规律一 已知不等式恒成立求参数范围【解决之道】此类问题有两类解法，参变分离，转化为（或）恒成立，即（或）恒成立，求出的最值即可求出参数的范围；分类整合，根据题意构造函数，转化为函数的最大值小于零或最小值大于零问题，利用分类整合思想求出函数的最值，列出关于参数的不等式，即可

2、求出参数的范围.【三年高考】1.【2020年高考江苏卷19】已知关于的函数，与（，）在区间上恒有（1）若，求的表达式；（2）若，求的取值范围；（3）若，求证：【解析】（1）由得又，函数的图像为过原点，斜率为的直线，经检验：符合题意（2），设，则，当时，时由，得当时，在上递增，当时，即，综上，（3），函数的图像在处的切线为，可见直线为函数的图像在处的切线，由函数的图像可知，当在区间上恒成立时，又由得，设方程的两根为，则，令，则，由图像可知设，则，当时，单调递减，故，即2.【2020年高考山东卷21】已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围【解析

3、】（1）切线方程为，与坐标轴交点坐标分别为，因此所求三角形面积为（2），设，在上单调递增，即在上单调递增，当时，使得，当时， ，当时， ，因此存在唯一，使得，当时，当时，因此，对恒成立，3.【2019年高考全国卷文数】已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f （x）为f（x）的导数（1）证明：f （x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围【解析】（1）设，则.当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（2）由题设知，可得a0.由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，

4、所以，当时，.又当时，ax0，故.因此，a的取值范围是.4.【2019年高考浙江】已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有 求的取值范围注：e=2.71828为自然对数的底数【解析】（1）当时，所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）（2）由，得当时，等价于令，则设，则（i）当 时，则记，则.故10+单调递减极小值单调递增所以，因此，（ii）当时，令 ，则，故在上单调递增，所以由（i）得，所以，因此由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有综上所述，所求a的取值范围是命题规律二 证明双变量不等式【解决之道】破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已

5、知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果【三年高考】1.【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数（）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（）当时，求证：对任意的，且，有【解析】() (i) 当k=6时，可得，曲线在点处的切线方程为，即(ii) 依题意，从而可得，整理可得：，令，解得当x变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，

6、+)；g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值()证明：由，得对任意的，且，令，则 令当x>1时，由此可得在单调递增，当t>1时，即， 由(I)(ii)可知，当时，即，故 由可得当时，任意的，且，有命题规律三 利用导数证明单变量不等式【解决之道】单变量不等式的证明有三种方法：作差构造法，左减右构造函数，转化为求函数最值问题；隔离审查法，若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标放缩法，可以先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负常见的放缩公式如下：(1)ex1x，当且仅当x0时取等号

7、；(2)exex，当且仅当x1时取等号；(3)当x0时，ex1xx2, 当且仅当x0时取等号；(4)当x0时，exx21, 当且仅当x0时取等号；(5)ln xx1x2x，当且仅当x1时取等号；(6)当x1时，ln x，当且仅当x1时取等号【三年高考】1.【2019年高考北京文数】已知函数（）求曲线的斜率为1的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值【解析】（）由得令，即，得或又，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与（）令由得令得或的情况如下：所以的最小值为，最大值为故，即（）由（）知，当时，；当时，；当时，综上，当最小时，2.【2018年

8、高考全国卷文数】已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1），因此曲线在点处的切线方程是（2）当时，令，则当时，单调递减；当时，单调递增；所以因此命题规律四 求函数零点或判定函数零点位置或个数【解决之道】函数图象与x轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：(1)利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”；(2)分离参数，将问题转化为：求直线ya与函数yf(x)的图象交点个数问题，

9、即“求根问题要通变，分离参数放左边”【三年高考】1.【2020年高考浙江卷22】已知，函数，其中e=271828为自然对数的底数（）证明：函数在上有唯一零点；（）记x0为函数在上的零点，证明：（）；（）【解析】（I）在上单调递增，由零点存在定理得在上有唯一零点；（II）（i），令一方面： ，在单调递增，另一方面：，当时，成立，因此只需证明当时，当时，当时，在单调递减，综上，（ii），只需证明，即只需证明，令，则，即成立，因此2.【2019年高考全国卷文数】已知函数证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【解析】（1）的定义域为（0，+）.因为单调递增，单调递减，

10、所以单调递增，又，故存在唯一，使得.又当时，单调递减；当时，单调递增.因此，存在唯一的极值点.（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根.综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数3.【2018年高考全国卷文数】已知函数（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点【解析】（1）当a=3时，f（x）=，f （x）=令f （x）=0解得x=或x=当x（，）（，+）时，f （x）>0；当x（，）时，f （x）<0故f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）由于，所以等价于设=，则g （x）=0，仅当x=0时g （x）=0，所以g（x）在（，+）

11、单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又f（3a1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点4.【2018年高考浙江】已知函数f(x)=lnx（）若f(x)在x=x1，x2(x1x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点【解析】（）函数f（x）的导函数，由得，因为，所以由基本不等式得因为，所以由题意得设，则，所以x（0，16）16（16，+）0+24ln2所以g（x）在256，+）上单调递增，故，即（）令m=，n=，则f（m）k

12、ma>|a|+kka0，f（n）kna<<0，所以，存在x0（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，对于任意的aR及k（0，+），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点由f（x）=kx+a得设，则，其中由（）可知g（x）g（16），又a34ln2，故g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，所以h（x）0，即函数h（x）在（0，+）上单调递减，因此方程f（x）kxa=0至多1个实根综上，当a34ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点5.【2018年高考江苏】记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”（

13、1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由【解析】（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f（x）=1，g（x）=2x+2由f（x）=g（x）且f（x）= g（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点（2）函数，则设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）=g（x0）且f（x0）=g（x0），得，即，（*）得，即，则当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点因此，a的值为（3）对任意a>0，设因为，且h（x）的图象是不间断的

14、，所以存在（0，1），使得令，则b>0函数，则由f（x）=g（x）且f（x）=g（x），得，即，（*）此时，满足方程组（*），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”命题规律五 已知函数零点个数求参数范围【解决之道】根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”【三年高考】1.【2019年高考浙江】已知，函数若函数恰有3个零点，则

15、Aa<1，b<0 Ba<1，b>0 Ca>1，b<0 Da>1，b>0 【答案】C【解析】当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得x=b1-a，则yf（x）axb最多有一个零点；当x0时，yf（x）axb=13x3-12（a+1）x2+axaxb=13x3-12（a+1）x2b，当a+10，即a1时，y0，yf（x）axb在0，+）上单调递增，则yf（x）axb最多有一个零点，不合题意；当a+10，即a>1时，令y0得x(a+1，+），此时函数单调递增，令y0得x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函

16、数yf（x）axb恰有3个零点函数yf（x）axb在（，0）上有一个零点，在0，+）上有2个零点，如图：b1-a0且-b013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b0，解得b0，1a0，b-16（a+1）3，则a>1，b<0，故选C2.【2020年高考全国卷文数20】已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】（1）当时，令，解得，令，解得，的减区间为，增区间为（2）若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有两个解令，则有，令，解得，令，解得或，函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，而时，当时，当有两个解时，有，满足条件的的取值范围是

17、：3.【2020年高考全国卷文数20】已知函数（1）讨论的单调性：（2）若有三个零点，求的取值范围【解析】（1）由题，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，得，令，得，令，得或，在上单调递减，在，上单调递增（2）由（1）知，有三个零点，则，且，即，解得，当时，且，在上有唯一一个零点，同理，在上有唯一一个零点，又在上有唯一一个零点，有三个零点综上可知的取值范围为4.【2018年高考天津文数】设函数，其中,且是公差为的等差数列（I）若求曲线在点处的切线方程；（II）若，求的极值；（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围【解析】（）解：由已知，可得f(x)=x(x1)(x+1)=x3

18、x，故=3x21，因此f(0)=0，=1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yf(0)=(x0)，故所求切线方程为x+y=0（）解：由已知可得f(x)=(xt2+3)(xt2)(xt23)=(xt2)39(xt2)=x33t2x2+(3t229)xt23+9t2故=3x26t2x+3t229令=0，解得x=t2，或x=t2+当x变化时，f(x)的变化如下表：x(，t2)t2(t2，t2+)t2+(t2+，+)+00+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值为f(t2)=()39×()=6；函数f(x)的极小值为f(t2+)=()39×()=6（）解：

19、曲线y=f(x)与直线y=(xt2)6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(xt2+d)(xt2)(xt2d)+(xt2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u=xt2，可得u3+(1d2)u+6=0设函数g(x)=x3+(1d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=(xt2)6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点=3x3+(1d2)当d21时，0，这时在R上单调递增，不合题意当d2>1时，=0，解得x1=，x2=易得，g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，+)上单调递增g(x)的极大值g(x1)=g()=>0g(x)的极小值g(x2)=g()=若g(x2)0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意所以，的取值范围是