2022届高三数学一轮复习（原卷版）课时跟踪检测（三十一） 等比数列及其前n项和 作业.doc

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1、第 1 页 共 7 页 课时跟踪检测（三十一）课时跟踪检测（三十一） 等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度 1已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列an满足满足 a1a516，a22，则公比，则公比 q( ) A4 B.52 C2 D.12 解析：解析：选选 C 由题意，得由题意，得 a1 a1q416，a1q2，解得解得 a11，q2或或 a11，q2(舍去舍去)，故选，故选C. 2公比不为公比不为 1 的等比数列的等比数列an满足满足 a5a6a4a718，若，若 a1am9，则，则 m 的值为的值为( ) A8 B9 C1

2、0 D11 解析：解析：选选 C 由题意得，由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10. 3已知公比已知公比 q1 的等比数列的等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，a11，S33a3，则，则 S5( ) A1 B5 C.3148 D.1116 解析：解析： 选选 D 由题意得由题意得a1 1q3 1q3a1q2， 解得， 解得 q12或或 q1(舍舍)， 所以， 所以 S5a1 1q5 1q1 1251 121116. 4已知已知an是公差为是公差为 3 的等差数列，若的等差数列，若 a1，a2，a4成等比数列，则成等比数列，则an的前的前 10 项和项和 S1

3、0( ) A165 B138 C60 D30 解析：解析：选选 A 由由 a1，a2，a4成等比数列得成等比数列得 a22a1a4，即，即(a13)2a1 (a19)，解得，解得 a13，则则 S1010a11092d103453165.故选故选 A. 5已知等比数列已知等比数列an的各项均为正数，的各项均为正数，Sn为其前为其前 n 项和，且满足：项和，且满足：a13a372，S372，则则 a4( ) A.14 B.18 C4 D8 解析：解析：选选 A 设等比数列设等比数列an的公比为的公比为 q，则，则 q0. 第 2 页 共 7 页 a13a372，S372，a13a1q272，a1

4、(1qq2)72，联立解得，联立解得 a12，q12. 则则 a42 12314.故选故选 A. 二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1(2021 福州模拟福州模拟)已知等比数列已知等比数列an各项均为正数，满足各项均为正数，满足 a1a33，a3a56，则，则a1a3a2a4a3a5a4a6a5a7( ) A62 B62 2 C61 D61 2 解析：解析：选选 A 设正项等比数列设正项等比数列an的公比为的公比为 q(q0)， a1a33，a3a56， a1(1q2)3，a1(q2q4)6，联立解得，联立解得 a11，q22. an1an3anan2q22，a1a31(12)2，

5、anan2是以是以 2 为首项，为首项，2 为公比的等比数为公比的等比数列，列，a1a3a2a4a3a5a4a6a5a72 125 1262.故选故选 A. 2已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列an中，中，a2与与 a8的等比中项为的等比中项为 2，则，则 a24a26的最小值的最小值是是( ) A1 B2 C4 D8 解析：解析：选选 C 等比数列等比数列an中，中，a2与与 a8的等比中项为的等比中项为 2，a4a6a2a82. 则则 a24a262a4a64，当且仅当，当且仅当 a4a6 2时取等号故选时取等号故选 C. 3已知数列已知数列an，bn满足满足 a1b11

6、，an1anbn1bn3，nN*，则数列，则数列ban的前的前 10项和为项和为( ) A.12(3101) B.18(9101) C.126(2791) D.126(27101) 解析：解析：选选 D 由由 an1an3，知数列，知数列an为公差为为公差为 3 的等差数列，则的等差数列，则 an1(n1)33n2；由；由bn1bn3，知数列，知数列bn为公比为为公比为 3 的等比数列，则的等比数列，则 bn3n1.所以所以 ban33n3 27n1，则数列，则数列 ban 为首项为为首项为 1，公比为，公比为 27 的等比数列，则数列的等比数列，则数列 ban 的前的前 10 项和为项和为1

7、2710127126(27101)故选故选 D. 第 3 页 共 7 页 4(2021 邵阳模拟邵阳模拟)设设 Sn是等比数列是等比数列an的前的前 n 项和，若项和，若S4S23，则，则S6S4( ) A2 B.73 C.310 D1 或或 2 解析：解析：选选 B 设设 S2k(k0)，S43k，数列数列an为等比数列，为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，又也为等比数列，又 S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S6S47k3k73，故选，故选 B. 5 (多选多选)在公比为在公比为 q 的等比数列的等比数列an中，中， Sn是数列是数列an的前的前 n 项和， 若项

8、和， 若 a11， a527a2，则下列说法正确的是则下列说法正确的是( ) Aq3 B数列数列Sn2是等比数列是等比数列 CS5121 D2lg anlg an2lg an2(n3) 解析：解析：选选 ACD 因为因为 a11，a527a2，所以有，所以有 a1 q427a1 qq327q3，因此选，因此选项项 A 正确；正确； 因为因为 Sn13n1312(3n1)，所以，所以 Sn212(3n3)， 因为因为Sn12Sn212 3n13 12 3n3 12131n常数，所以数列常数，所以数列Sn2不是等比数列，故选项不是等比数列，故选项B 不正确；不正确； 因为因为 S512(351)1

9、21，所以选项，所以选项 C 正确；正确； ana1 qn13n10， 因为当因为当 n3 时，时，lg an2lg an2lg(an2 an2) lg a2n2lg an，所以选项，所以选项 D 正确正确 6已知正项等比数列已知正项等比数列an满足：满足：a2a816a5，a3a520，若存在两项，若存在两项 am，an使得使得 aman32，则，则1m4n的最小值为的最小值为( ) A.34 B.910 C.32 D.95 解析：解析：选选 A 设公比为设公比为 q，q0. 数列数列an是正项等比数列，是正项等比数列，a2a8a2516a5， a516，又，又 a3a520，a34， q2

10、，a11，ana1qn12n1. aman32，2m12n1210，即，即 mn12， 第 4 页 共 7 页 1m4n112(mn) 1m4n112 5nm4mn112 52 nm4mn34(m，nN*)， 当且仅当当且仅当 n2m，即，即 m4，n8 时时“”成立，成立， 1m4n的最小值为的最小值为34，故选，故选 A. 7设等比数列设等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，若，若 Sn2n1，则，则 ( ) A2 B1 C1 D2 解析：解析：选选 A 法一：法一：依题意，依题意，a1S14，a2S2S14，a3S3S28， 因为因为an是等比数列，所以是等比数列，所以 a22a

11、1 a3，所以，所以 8(4)42，解得，解得 2.故选故选 A. 法二：法二：Sn2n122n，易知，易知 q1，因为，因为an是等比数列，所以是等比数列，所以 Sna11qa11qqn，据此可得，据此可得 2.故选故选 A. 8 设数列 设数列(n2n)an是等比数列， 且是等比数列， 且 a116， a2154， 则数列， 则数列3nan的前的前 15 项和为项和为( ) A.1415 B.1516 C.1617 D.1718 解析：解析：选选 B 等比数列等比数列(n2n)an的首项为的首项为 2a113，第二项为，第二项为 6a219，故公比为，故公比为13，所，所以以(n2n)an

12、13 13n113n，所以，所以 an13n n2n ，则，则 3nan1n2n1n1n1，其前，其前 n 项和为项和为11n1，当，当 n15 时，前时，前 15 项和为项和为 11161516. 9 各项均为正数的等比数列 各项均为正数的等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn， 若， 若 Sn2， S3n14， 则， 则 S4n等于等于( ) A80 B30 C26 D16 解析：解析： 选选 B 由题意知公比大于由题意知公比大于 0， 由等比数列性质知， 由等比数列性质知 Sn， S2nSn， S3nS2n， S4nS3n， 仍为等比数列仍为等比数列 设设 S2nx，则，则 2，x

13、2,14x 成等比数列成等比数列 由由(x2)22(14x)， 解得解得 x6 或或 x4(舍去舍去) Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为是首项为 2，公比为，公比为 2 的等比数列的等比数列 又又S3n14，S4n1422330. 10 已知等比数列 已知等比数列an的前的前 n 项积为项积为 Tn， 若， 若 a124，a489， 则当， 则当 Tn取得最大值时，取得最大值时，n 的值为的值为( ) 第 5 页 共 7 页 A2 B3 C4 D6 解析：解析：选选 C 设等比数列设等比数列an的公比为的公比为 q，则，则 a424q389，所以，所以 q3127，q13

14、，易，易知此等比数列各项均为负数，则当知此等比数列各项均为负数，则当 n 为奇数时，为奇数时，Tn为负数，当为负数，当 n 为偶数时，为偶数时，Tn为正数，所为正数，所以以 Tn取得最大值时，取得最大值时，n 为偶数，排除为偶数，排除 B；而；而 T2(24)2 13248192，T4(24)4 1368419849192，T6(24)6 131586 139863984982370，且，且 b5b6b4b74，则，则 b1b2b10_. 解析：解析：因为数列因为数列an为等差数列，为等差数列，a1a5a9， 所以所以 3a5a53， 所以所以 cos(a2a8)cos(2a5)cos2312

15、. 又因为数列又因为数列bn为等比数列，为等比数列，bn0，且，且 b5b6b4b74， 所以所以 2b5b64b5b62，所以，所以 b1b2b10(b5b6)52532. 答案：答案：12 32 12已知等比数列已知等比数列an的公比为正数，且的公比为正数，且 a3a92a25，a21，则，则 a1_. 解析：解析：a3a9a26，a262a25，设等比数列，设等比数列an的公比为的公比为 q，q22，由于，由于 q0，解得，解得q 2，a1a2q22. 答案：答案：22 13等比数列等比数列an中，已知各项都是正数，且中，已知各项都是正数，且 a1，12a3,2a2成等差数列，则成等差数

16、列，则a13a14a14a15_. 解析：解析：设设an的公比为的公比为 q.由题意得由题意得 a12a2a3，则，则 a1(12q)a1q2，q22q10，所，所以以 q2 821 2(舍负舍负)，则，则a13a14a14a151q 21. 答案：答案： 21 14在数列在数列an中，中，a2n12an1anan2anan2，且，且 a12，a25. (1)证明：数列证明：数列an1是等比数列；是等比数列； (2)求数列求数列an的前的前 n 项和项和 Sn. 解：解：(1)证明：证明：a2n12an1anan2anan2， 第 6 页 共 7 页 (an11)2(an1)(an21)， 即

17、即an11an1an21an11. a12，a25，a113，a216，a21a112， 数列数列an1是以是以 3 为首项，为首项，2 为公比的等比数列为公比的等比数列 (2)由由(1)知，知，an13 2n1， an3 2n11，Sn3 12n 12n3 2nn3. 15(2020 新高考全国卷新高考全国卷)已知公比大于已知公比大于 1 的等比数列的等比数列an满足满足 a2a420，a38. (1)求求an的通项公式；的通项公式； (2)记记 bm为为an在区间在区间(0，m(mN*)中的项的个数，求数列中的项的个数，求数列bm的前的前 100 项和项和 S100. 解：解：(1)设设a

18、n的公比为的公比为 q. 由题设得由题设得 a1qa1q320，a1q28. 解得解得 q2 或或 q12(舍去舍去)所以所以 a12. 所以所以an的通项公式为的通项公式为 an2n. (2)由题设及由题设及(1)知知 b10，且当，且当 2nm2n1时，时，bmn. 所以所以 S100b1(b2b3)(b4b5b6b7)(b32b33b63)(b64b65b100)0122223234245256(10063)480. 16(2021 青岛一模青岛一模)设数列设数列 an的前的前 n 项和为项和为 Sn，a11，_. 给出下列三个条件：给出下列三个条件： ：数列：数列 an为等比数列，数列

19、为等比数列，数列Sna1也为等比数列；也为等比数列； ：点：点(Sn，an1)在直线在直线 yx1 上；上； ：2na12n1a22annan1. 试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： (1)求数列求数列 an的通项公式；的通项公式； (2)设设 bn1log2an1 log2an3，求数列，求数列bn的前的前 n 项和项和 Tn. 解：解：(1)选条件选条件. 因为数列因为数列Sna1为等比数列，为等比数列， 所以所以(S2a1)2(S1a1)(S3a1)， 即即(2a1a2)22a1(2

20、a1a2a3)， 设等比数列设等比数列an的公比为的公比为 q，因为，因为 a11， 所以所以(2q)22(2qq2)，解得，解得 q2 或或 q0(舍去舍去)， 第 7 页 共 7 页 所以所以 ana1qn12n1(nN*) 选条件选条件. 因为点因为点(Sn，an1)在直线在直线 yx1 上，上， 所以所以 an1Sn1(nN*)，所以，所以 anSn11(n2)， 两式相减得两式相减得 an1anan，an1an2(n2)， 因为因为 a11，a2S11a112，a2a12 也适合上式，也适合上式， 所以数列所以数列 an是首项为是首项为 1，公比为，公比为 2 的等比数列，的等比数列

21、， 所以所以 ana1qn12n1(nN*) 选条件选条件. 当当 n2 时，时， 因为因为 2na12n1a22annan1(nN*)，() 所以所以 2n1a12n2a22an1(n1)an， 所以所以 2na12n1a222an12(n1)an.() ()()得得 2annan12(n1)an，即，即an1an2(n2)， 当当 n1 时，时，2a1a2，a2a12 也适合上式，也适合上式， 所以数列所以数列 an是首项为是首项为 1，公比为，公比为 2 的等比数列，的等比数列， 所以所以 ana1qn12n1(nN*) (2)由由(1)得得 an2n1(nN*)， 所以所以 bn1log2an1 log2an31n n2 12 1n1n2， 所以所以 Tn12 113 1214 1315 1n11n1 1n1n2 12 321n11n23412 1n11n2 342n32 n1 n2 .