2022届高三数学一轮复习（原卷版）第05讲 函数的奇偶性与周期性（练）解析版.docx

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1、第05讲 函数的奇偶性与周期性【练基础】1(2020·浙江舟山模拟)下列函数既是奇函数，又在(0，)上单调递增的是()Ayx2 Byx3Cylog2x Dy3x【答案】B【解析】A.函数yx2为偶函数，不满足条件B函数yx3为奇函数，在(0，)上单调递增，满足条件Cylog2x的定义域为(0，)，为非奇非偶函数，不满足条件D函数y3x为非奇非偶函数，不满足条件2(2021·河北石家庄模拟)函数yf(x)与yg(x)的图象如图所示，则函数yf(x)·g(x)的图象可能为()【答案】A【解析】因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以yf(x)·g(x)为

2、奇函数，排除B；由两函数的图象可知当x时，yf(x)·g(x)<0；当x时，yf(x)·g(x)>0，所以只有选项A符合题意，故选A.3(2021·安徽省太湖中学模拟)若f(x)(exex)(ax2bxc)是偶函数，则一定有()Ab0 Bac0Ca0且c0 Da0，c0且b0【答案】C【解析】设函数g(x)exex.g(x)exexg(x)，所以g(x)是奇函数因为f(x)g(x)(ax2bxc)是偶函数所以h(x)ax2bxc为奇函数即h(x)h(x)0恒成立，有ax2c0恒成立所以ac0.当acb0时，f(x)0，也是偶函数，故选C.4(2021&

3、#183;福建省福州市三中模拟)已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)()A2 B3 C4 D5【答案】D【解析】yf(x)x是偶函数，f(x)(x)f(x)x，f(x)f(x)2x，令x2，则f(2)f(2)45，故选D.5(2021·江西省宜春中学模拟)若函数f(x)ln(ax)是奇函数，则a的值为()A1 B1C±1 D0【答案】C【解析】因为f(x)ln(ax)是奇函数，所以f(x)f(x)0.即ln(ax)ln(ax)0恒成立，所以ln(1a2)x210，即(1a2)x20恒成立，所以1a20，即a±1.6(2021·四川成都模

4、拟)若函数f(x)1的图象关于原点对称，则实数a等于()A2 B1 C1 D2【答案】A【解析】由已知得，函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)0，即110,1a12a0，解得a2.7(2021·杭州四中模拟)设奇函数f(x)在(0，)上为单调递减函数，且f(2)0，则不等式0的解集为()A(，2(0，2 B2，0)2，)C(，22，) D2，0)(0，2【答案】D【解析】因为函数f(x)在(0，)上为单调递减函数，且f(2)0，所以函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，)上的函数值为负，当x>0时，不等式0等价于3f(x)2f(x)0，又f(x)是奇函数，所以有

5、f(x)0，所以有0<x2，同理当x<0时，可解得2x<0.综上，不等式0的解集为2，0)(0，2，故选D.8(2021·沈阳市高三质检)已知函数f(x)，实数a，b满足不等式f(2ab)f(43b)0，则下列不等关系恒成立的是()Aba2 Ba2b2Cba2 Da2b2【答案】C【解析】由题意知f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又f(x)1，所以f(x)在R上为减函数，由f(2ab)f(43b)0，得f(2ab)f(43b)f(3b4)，故2ab3b4，即ba2.故选C.【练提升】1(2021·河北模拟)已知函数f(x)是定义在区间a，a(a0

6、)上的奇函数，若g(x)f(x)2019，则g(x)的最大值与最小值之和为()A0 B1 C2019 D4038【答案】D【解析】因为函数f(x)是定义在区间a，a上的奇函数，所以f(x)maxf(x)min0，所以g(x)maxg(x)minf(x)max2019f(x)min2019f(x)maxf(x)min40384038.2(2021·山东省聊城市三中模拟)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x23x2.若当x1，3时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()A. B2C. D.【答案】A【解析】设x0，则x0，所以f(x)f(x)(x)23(x)2x23x2.所以在

7、1，3上，当x时，f(x)max；当x3时，f(x)min2.所以m且n2.故mn.3(2021·河南南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)>0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)【答案】C【解析】若x2,0，则x0,2，当x0,2时，f(x)x1，f(x)x1，f(x)是偶函数，f(x)x1f(x)，即当x2,0时，f(x)x1，即在一个周期2,2内，f(x)若x2,4，则x42,0，即f(x)f(x4)(x4)1x3，x2,4，作出函数f(x)在2,4上的图象如图：则

8、当x1,3时，不等式xf(x)>0等价为或即1<x<3或1<x<0，所以不等式xf(x)>0在1,3上的解集为(1,0)(1,3)4(2021·浙江宁波效实中学模拟)对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是()Af(x) Bf(x)x2Cf(x)tan x Df(x)cos(x1)【答案】D【解析】由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于xa(a0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x0，而D中f

9、(x)cos(x1)的图象关于xk1(kZ)对称5(2021·湖北省葛洲坝中学模拟)若函数f(x)x为偶函数，则a_.【答案】1或1【解析】令u(x)1，根据函数f(x)x为偶函数，可知u(x)1为奇函数，利用u(0)10，可得a21，所以a1或a1.6(2021·石家庄二中高三质检)已知函数yf(x)在定义域1，1上既是奇函数，又是减函数(1)求证：对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)·(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围【解析】(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，因为f(x)在1，1上

10、是减函数且为奇函数，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证，对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)·(x1x2)0恒成立(2)因为f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由f(x)在定义域1，1上是减函数，得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0，1)7(2021·河北重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在2,0上是增函数，下面是关于f

11、(x)的判断：f(x)的图象关于点P(1,0)对称；f(0)是函数f(x)的最大值；f(x)在2,3上是减函数；f(x0)f(4kx0)，kZ.其中正确的是_(正确的序号都填上)【答案】【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)f(x)，又f(x2)f(x)，所以f(x2)f(x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以正确；由f(x2)f(x)知，f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)f(4kx0)(kZ)，所以正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在2,0上是增函数，所以f(x)在2,4上也是增函数，因此不正确；因为f(x)是定义

12、在R上的偶函数，所以f(x)在0,2上是减函数，所以f(x)在2,2上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以正确所以正确的判断是.8(2021·山东济南高三模拟)设常数aR，函数f(x)(ax)|x|.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2m>ff(x)对所有的x2，2恒成立，求实数m的取值范围【解析】(1)当a1时，f(x)(1x)|x|，当x0时，f(x)(1x)x，所以f(x)在内是增函数，在内是减函数；当x<0时，f(x)(x1)x，所以f(x)在(，0)内是减函数；综上可知，f(x)的单调增区间为，单调减区间为(，0)，.(2)因为f(x)是奇函数，所以f(1)f(1)，即(a1)·1(a1)·1，解得a0.所以f(x)x|x|，ff(x)x3|x|；所以mx2m>ff(x)x3|x|，即m>对所有的x2，2恒成立因为x2，2，所以x211，5所以x212.所以m>.所以实数m的取值范围为.