2022届高三数学一轮复习（原卷版）课时跟踪检测（四十五） 双曲线 作业.doc

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1、第 1 页 共 8 页 课时跟踪检测（四十五）课时跟踪检测（四十五） 双曲线双曲线 一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度 1双曲线双曲线x22y21 的实轴长为的实轴长为( ) A4 B2 C2 3 D2 2 解析：解析：选选 D 由题知由题知 a22，a 2，故实轴长为，故实轴长为 2a2 2，故选，故选 D. 2双曲线双曲线x25y2101 的渐近线方程为的渐近线方程为( ) Ay12x By22x Cy 2x Dy 2x 解析：解析：选选 C 双曲线双曲线x25y2101 的渐近线方程为的渐近线方程为x25y2100，整理得，整理得 y22x2， 解得解得 y 2x，故选，故选

2、C. 3已知双曲线已知双曲线x24y2b21(b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 3x y0，则，则 b( ) A2 3 B 3 C.32 D12 解析解析：选选 A 因为双曲线因为双曲线x24y2b21(b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 yb2x，又渐近线方程为又渐近线方程为 y 3x，所以所以b2 3，b2 3，故选故选 A. 4设双曲线设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴长为的虚轴长为 4，一条渐近线为，一条渐近线为 y12x，则双曲线，则双曲线 C的方程为的方程为( ) A.x216y241 Bx24y2161 C.x264y2161 Dx2y241 解析：解析：选选

3、 A 因为双曲线因为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴长为的虚轴长为 4，所以，所以 2b4，b2， 因为双曲线因为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线为的一条渐近线为 y12x，所以，所以ba12a2b4， 所以双曲线所以双曲线 M 的方程为的方程为x216y241，故选，故选 A. 5若若 a1，则双曲线，则双曲线x2a2y21 的离心率的取值范围是的离心率的取值范围是( ) 第 2 页 共 8 页 A( 2，) B( 2，2) C(1， 2) D(1,2) 解析：解析：选选 C 由题意得双曲线的离心率由题意得双曲线的离心率 ea21a， 即即 e2a2

4、1a211a2. a1，01a21，111a22，1e 2. 6(2020 北京高考北京高考)已知双曲线已知双曲线 C：x26y231，则，则 C 的右焦点的坐标为的右焦点的坐标为_；C 的的焦点到其渐近线的距离是焦点到其渐近线的距离是_ 解析：解析：双曲线双曲线 C：x26y231 中，中，c2639，c3，则，则 C 的右焦点的坐标为的右焦点的坐标为(3,0)C的渐近线方程为的渐近线方程为 y36x， 即， 即 y12x， 即， 即 x 2y0， 则， 则 C 的焦点到其渐近线的距离的焦点到其渐近线的距离 d33 3. 答案答案：(3,0) 3 二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度

5、 1若实数若实数 k 满足满足 0k9，则曲线，则曲线x225y29k1 与曲线与曲线x225ky291 的的( ) A离心率相等离心率相等 B虚半轴长相等虚半轴长相等 C实半轴长相等实半轴长相等 D焦距相等焦距相等 解析：解析：选选 D 由由 0k0，b0)的右焦点是的右焦点是 F，左、右顶点分别是，左、右顶点分别是 A1，A2，过，过 F 作作A1A2的垂线与双曲线交于的垂线与双曲线交于 B, C 两点若两点若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A12 B22 C 1 D 2 解析解析：选选 C 由题设易知由题设易知 A1(a,0)，A2(a,0)

6、，B c，b2a，C c，b2a.A1BA2C，b2acab2aca1，整理得整理得 ab.渐近线方程为渐近线方程为 ybax，即即 y x，渐近线的斜率为渐近线的斜率为 1. 3已知双曲线已知双曲线x24y221 的右焦点为的右焦点为 F，P 为双曲线左为双曲线左支上一点，点支上一点，点 A(0， 2)，则，则 APF 周长的最小值为周长的最小值为( ) 第 3 页 共 8 页 A4(1 2) B4 2 C2( 2 6) D 63 2 解析：解析： 选选 A 设双曲线的左焦点为设双曲线的左焦点为 F， 易得点， 易得点 F( 6， 0)， APF 的周长的周长 l|AF|AP|PF|AF|2

7、a|PF|AP|，要使，要使APF 的周长最小，只需的周长最小，只需|AP|PF|最小，易知当最小，易知当A，P，F三点共线时取三点共线时取到最小值，故到最小值，故 l2|AF|2a4(1 2)故选故选 A. 4在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线中，已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为的离心率为 5，从双曲线从双曲线 C 的右焦点的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为引渐近线的垂线，垂足为 A，若，若AFO 的面积为的面积为 1，则双曲线，则双曲线 C 的的方程为方程为( ) A.x22y281 Bx24y21 C.x24y2161 Dx2y241 解

8、析：解析： 选选 D 因为双曲线因为双曲线 C 的右焦点的右焦点 F 到渐近线的距离到渐近线的距离|FA|b， |OA|a， 所以， 所以 ab2，又双曲线又双曲线 C 的离心率为的离心率为 5，所以，所以 1b2a2 5，即，即 b24a2，解得，解得 a21，b24，所以双，所以双曲线曲线 C 的方程为的方程为 x2y241，故选，故选 D. 5(2020 全国卷全国卷)设设 O 为坐标原点，直线为坐标原点，直线 xa 与双曲线与双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于的两条渐近线分别交于 D，E 两点若两点若ODE 的面积为的面积为 8，则，则 C 的焦距的最小值

9、为的焦距的最小值为( ) A4 B8 C16 D32 解析：解析：选选 B 由题意知双曲线的渐近线方程为由题意知双曲线的渐近线方程为 ybax.因为因为 D，E 分别为直线分别为直线 xa 与双与双曲线曲线 C 的两条渐近线的交点，所以不妨设的两条渐近线的交点，所以不妨设 D(a，b)，E(a，b)，所以，所以 SODE12a|DE|12a2bab8，所以，所以 c2a2b22ab16，所以，所以 c4，所以，所以 2c8，所以，所以 C 的焦距的的焦距的最小值为最小值为 8，故选，故选 B. 6已知双曲线已知双曲线 C：x2a2y2b21 的一条渐近线的一条渐近线 l 的倾斜角为的倾斜角为3

10、，且，且 C 的一个焦点到的一个焦点到 l 的距的距离为离为 3，则双曲线，则双曲线 C 的方程为的方程为( ) A.x212y241 Bx24y2121 C.x23y21 Dx2y231 解析：解析：选选 D 由由x2a2y2b20 可得可得 ybax，即渐近线的方程，即渐近线的方程为为 ybax，又一条渐近线，又一条渐近线 l 的的第 4 页 共 8 页 倾斜角为倾斜角为3， 所以所以batan3 3. 因为双曲线因为双曲线 C 的一个焦点的一个焦点(c,0)到到 l 的距离为的距离为 3， 所以所以|bc|a2b2b 3， 所以所以 a1， 所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为 x2y2

11、31. 7(2021 黄山一诊黄山一诊)双曲线双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的的一条渐近线与直线一条渐近线与直线 x2y10垂直，垂直，F1，F2为为 C 的焦点，的焦点，A 为双曲线上一点，若为双曲线上一点，若|F1A|2|F2A|，则，则 cosAF2F1等于等于( ) A.32 B54 C.55 D14 解析：解析：选选 C 因为双曲线的一条渐近线与直线因为双曲线的一条渐近线与直线 x2y10 垂直，所以垂直，所以 b2a.又又|F1A|2|F2A|，且，且|F1A|F2A|2a，所以，所以|F2A|2a，|F1A|4a，而，而 c25a2，得，得 2c2 5a，所以，所以

12、cosAF2F1|F1F2|2|F2A|2|F1A|22|F1F2|F2A|20a24a216a222 5a2a55，故选，故选 C. 8(多选多选)设设 F1，F2是双曲线是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，的左、右焦点，O 是坐标原点过是坐标原点过F2作作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若若|PF1| 6|OP|，则下列说法正确的是，则下列说法正确的是( ) A|F2P|b B双双曲线的离心率为曲线的离心率为 3 C双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为 y 3x D点点 P 在直线在直线 x33a 上上 解析：解析：选选 ABD

13、由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为 ybax，即，即 bxay0， 设焦点设焦点 F1(c,0)，F2(c,0)(a0，b0，c0)， 因为过因为过 F2作作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为的一条渐近线的垂线，垂足为 P， 所以所以|F2P|bca0|a2b2bccb，故，故 A 正确；正确； 因为因为|OP|OF2|2|PF2|2c2b2a，所以，所以|PF1| 6|OP| 6a，cosF1OP第 5 页 共 8 页 cos(180 F2OP)cosF2OP|OP|OF2|ac， 在三角形在三角形 OPF1中，根据余弦定理可知中，根据余弦

14、定理可知 cosF1OP|OP|2|OF1|2|F1P|22|OP| |OF1|a2c26a22acac，解得，解得 3a2c2，即，即离心率离心率 e 3或或 e 3(舍去舍去)，故，故 B 正确；正确； 因为因为 e 1b2a2 3，解得，解得ba 2，所以渐近线的方程为，所以渐近线的方程为 y 2x，故，故 C 错误；错误； 因为点因为点 P 在直线在直线 y 2x 上， 可设上， 可设 P(x， 2x)(x0)， 由， 由|OP|a 可知，可知， |OP|x2 2x 2 3xa，解得，解得 x33a，故，故 D 正确正确 9已知双曲线已知双曲线 C：x212y241，O 为坐标原点，为

15、坐标原点，F 为为 C 的右焦点，过的右焦点，过 F 的直线与的直线与 C 的的两条渐近线的交点分别为两条渐近线的交点分别为 P，Q，若，若POQ 为直角三角形，则为直角三角形，则|PQ|( ) A2 B4 C6 D8 解析：解析：选选 C 对于双曲线对于双曲线 C：x212y241，右焦点为，右焦点为 F(4,0)，双曲线的双曲线的两条渐近线方程为两条渐近线方程为 y33x，由过点，由过点 F 的直线交两渐近线于的直线交两渐近线于 P，Q，不妨，不妨设点设点 P 在第一象限，点在第一象限，点 Q 在第四象限，在第四象限，OPQ90 ，如图所示，如图所示， 则在则在 RtPOQ 中，中，POQ

16、60 . 又又POF30 ，|OF|4，|OP|2 3， |PQ| 3|OP|6.故选故选 C. 10已知曲线已知曲线x22y2k2k1，当曲线表示焦点在，当曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆时轴上的椭圆时 k 的取值范围是的取值范围是_；当曲线表示双曲线时；当曲线表示双曲线时 k 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：当曲线表示焦点在当曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆时，轴上的椭圆时，k2k2， 所以所以 k1 或或 k2； 当曲线表示双曲线时，当曲线表示双曲线时，k2k0，所以，所以 0k1. 答案：答案：(，1)(2，) (0,1) 11若点若点 P 是以是以 A(3,0)，B(3,0)为焦

17、点，实轴长为为焦点，实轴长为 2 5的双曲线与圆的双曲线与圆 x2y29 的一的一个交点，则个交点，则|PA|PB|_. 解析：解析：不妨设点不妨设点 P 在双曲线的右支上，则在双曲线的右支上，则|PA|PB|. 因为点因为点 P 是双曲线与圆的交点，是双曲线与圆的交点， 所以由双曲线的定义知，所以由双曲线的定义知，|PA|PB|2 5， 又又|PA|2|PB|236， 第 6 页 共 8 页 联立联立化简得化简得 2|PA| |PB|16， 所以所以(|PA|PB|)2|PA|2|PB|22|PA| |PB|52，所以，所以|PA|PB|2 13. 答案答案：2 13 12 已知双曲线已知双

18、曲线x2a2y2b21(a0， b0)的两条渐近线与抛物线的两条渐近线与抛物线 y24x 的准线分别交于的准线分别交于 A，B 两点，两点，O 为坐标原点，若为坐标原点，若 SAOB2 3，则双曲线的离心率，则双曲线的离心率 e_. 解析：解析：由题意，知抛物线的准线方程是由题意，知抛物线的准线方程是 x1，双曲线的渐近线方程是，双曲线的渐近线方程是 ybax.当当 x1 时，时， yba， 即， 即 A 1，ba， B 1，ba或或 A 1，ba， B 1，ba.所以所以 SAOB122ba12 3，即，即ba2 3，所以，所以 e 1 ba2 13. 答案答案： 13 13已知双曲线已知双

19、曲线 C：x2y281，过左焦点，过左焦点 F1的直线的直线 l 与双曲线与双曲线 C 的左支以及渐近线的左支以及渐近线 y2 2x 交于交于 A，B 两点，若两点，若F1A AB ，求直线，求直线 l 的斜率的斜率 解：解：由题意知，双曲线由题意知，双曲线 C 的左焦点的左焦点 F1(3，0)，故设直线，故设直线 l 的方程为的方程为yk(x3)，与，与 y2 2x 联立，得联立，得 B 3k2 2k，6 2k2 2k， 由由F1A AB ，得，得 A 为为 F1B 的中点，的中点， 由中点坐标公式得由中点坐标公式得 A 3 k 2 2 2k，3 2k2 2k. 点点 A 在双曲线上，在双曲

20、线上， 3 k 2 2 2k2 3 2k2 2k281. 即即 23k256 2k400，解得，解得 k10 223或或 k2 2(舍去舍去) 14已知双曲线已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为的右焦点为 F(c,0) (1)若双曲线的一条渐近若双曲线的一条渐近线方程为线方程为 yx 且且 c2，求双曲线的方程；，求双曲线的方程； (2)以原点以原点 O 为圆心，为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过，过 A 作圆作圆的切线，斜率为的切线，斜率为 3，求双曲线的离心率，求双曲线的离心率 解：解：(1)因为双曲线的

21、渐近线方程为因为双曲线的渐近线方程为 ybax，所以，所以 ab， 所以所以 c2a2b22a24，所以，所以 a2b22， 所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为x22y221. (2)设点设点 A 的坐标为的坐标为(x0，y0)， 第 7 页 共 8 页 所以直线所以直线 AO 的斜率满足的斜率满足y0 x0 ( 3)1， 所以所以 x0 3y0， 依题意，圆的方程为依题意，圆的方程为 x2y2c2， 将将代入圆的方程得代入圆的方程得 3y20y20c2， 即即 y012c， 所以所以 x032c，所以点，所以点 A 的坐标为的坐标为 32c，12c ， 代入双曲线方程得代入双曲线方程得34

22、c2a214c2b21， 即即34b2c214a2c2a2b2， 又因为又因为 a2b2c2，所以将，所以将 b2c2a2代入代入式，式， 整理得整理得34c42a2c2a40， 所以所以 3 ca48 ca240，所以所以(3e22)(e22)0， 因为因为 e1，所以所以 e 2，所以双曲线的离心率为所以双曲线的离心率为 2. 三、自选练三、自选练练高考区分度练高考区分度 1过双曲线过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点的右顶点 A 作斜率为作斜率为1 的直线，该直线与双曲线的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为的两条渐近线的交点分别为 B，C.若若 AB 12BC ，则

23、双曲线的离心率是，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B 3 C. 5 D 10 解析解析：选选 C 直线直线 l：yxa 与渐近线与渐近线 l1：bxay0 交于交于 B a2ab，abab，l 与渐与渐近线近线 l2：bxay0 交于交于 C a2ab，abab，A(a,0)， 所以所以 AB abab，abab，BC 2a2ba2b2，2a2ba2b2， 因为因为 AB 12BC ，所以所以 b2a，所以所以 c2a24a2，所以所以 e2c2a25，所以所以 e 5，故选故选C. 2设设 F1，F2分别为离心率分别为离心率 e 5的双曲线的双曲线 C：x2a2y2b21()a0，b0

24、的左、右焦点，的左、右焦点，A1，A2分别为双曲线分别为双曲线 C 的左、右顶点，以的左、右顶点，以 F1，F2为直径的圆交双曲线的渐近线为直径的圆交双曲线的渐近线 l 于于 M，N第 8 页 共 8 页 两点，若四边形两点，若四边形 MA2NA1的面积为的面积为 4，则，则 b( ) A2 B2 2 C4 D4 2 解析解析：选选 A 由由 e 5ca，得得ba2，故渐近线方程为故渐近线方程为 y2x, 以以 F1，F2为直径的圆的为直径的圆的方程为方程为 x2y2c2， 联立联立 x2y2c2，y2x，得得 y2c5， 由双曲线与圆的对称性知四边形由双曲线与圆的对称性知四边形 MA2NA1

25、为平行四边形为平行四边形，不妨设不妨设 yM2c5，则四边形则四边形 MA2NA1的面积的面积 S2a2c54，得得 ac 5，又又5ca，得得 a1，c 5，b2，故选故选 A. 3(多选多选)已知动点已知动点 P 在双曲线在双曲线 C：x2y231 上，双曲线上，双曲线 C 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，下列结论正确的是下列结论正确的是( ) AC 的离心率为的离心率为 2 BC 的渐近线方程为的渐近线方程为 y33x C动点动点 P 到两条渐近线的距离之积为定值到两条渐近线的距离之积为定值 D当动点当动点 P 在双曲线在双曲线 C 的左支上时，的左支上时，|PF1|P

26、F2|2的最大值为的最大值为14 解析：解析：选选 AC 对于双曲线对于双曲线 C：x2y231，a1，b 3，c2, 所以双曲线所以双曲线 C 的离心率为的离心率为 eca2， 渐近线方程为， 渐近线方程为 y 3x， A 选项正确，选项正确， B 选项错误；选项错误； 设点设点 P 的坐标为的坐标为(x0，y0)，则，则 x20y2031，双曲线，双曲线 C 的两条渐近线方程分别为的两条渐近线方程分别为 x33y0和和 x33y0， 则点则点 P 到两条渐近线的距离之积为到两条渐近线的距离之积为 x033y01 332 x033y01 332 x20y2034334，C 选项选项正确；正确； 当动点当动点 P 在双曲线在双曲线 C 的左支上时，的左支上时，|PF1|ca1，|PF2|2a|PF1|PF1|2， 所以所以|PF1|PF2|2|PF1| |PF1|2 2|PF1|PF1|244|PF1|1|PF1|4|PF1|412 |PF1|4|PF1|418， 当且仅当当且仅当|PF1|2 时，等号成立，所以时，等号成立，所以|PF1|PF2|2的最大值为的最大值为18，D 选项错误故选选项错误故选 A、C.