2022届高三数学一轮复习（原卷版）课时跟踪检测（四十三） 与圆有关的综合问题 作业.doc

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1、第 1 页 共 7 页 课时跟踪检测（四十三）课时跟踪检测（四十三） 与圆有关的综合问题与圆有关的综合问题 一、综合练一、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1直线直线 ykx3 与圆与圆(x3)2(y2)24 相交于相交于 M，N 两点，若两点，若|MN|2 3，则，则 k 的的取值范围是取值范围是( ) A. ，34 B. 34，0 C. 33，33 D. 23，0 解析：解析： 选选 B 圆心圆心(3,2)到直线到直线 ykx3 的距离的距离 d|3k23|k21|3k1|k21， 由， 由|MN|2 3，得得 2 32 4d2，所以，所以 d21，即，即 8k26k034k0，故选，故选

2、B. 2已知圆已知圆 C：x2y28y140，直线，直线 l：mxy3m10 与与 x 轴、轴、y 轴分别交于轴分别交于 A，B 两点 设圆两点 设圆 C 上任意一点上任意一点 P 到直线到直线 l 的距离为的距离为 d， 当， 当 d 取最大值时，取最大值时， PAB 的面积为的面积为( ) A3 2 B8 C6 D4 2 解析：解析：选选 B 直线直线 l：mxy3m10 过定点过定点 M(3,1) 圆圆 C：x2y28y140 的圆心为的圆心为 C(0,4)，半径，半径 r 2. 当当 MCl 时，圆心时，圆心 C 到直线到直线 l 的距离最大，的距离最大， 此时圆心此时圆心 C 到直线

3、到直线 l 的距离为的距离为|MC|3 2， 则点则点 P 到直线到直线 l 的最大距离的最大距离 d3 2r4 2. 又又|MC|43m1|1m23 2， 所以所以 m1，直线，直线 l 的方程为的方程为 xy20， 所以所以|AB|2 2. 从而从而PAB 的面积的面积 S122 24 28. 3在平面直角坐标系内，过点在平面直角坐标系内，过点 P(0,3)的直线与圆心为的直线与圆心为 C 的圆的圆 x2y22x30 相交于相交于A，B 两点，则两点，则ABC 面积的最大值是面积的最大值是( ) A2 B4 C. 3 D2 3 解析：解析：选选 A 过点过点 P(0,3)的直线与圆心为的直

4、线与圆心为 C 的圆的圆 x2y22x30 相交于相交于 A，B 两点，两点， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为当直线的斜率不存在时，直线的方程为 x0，在，在 y 轴上所截得的线段长为轴上所截得的线段长为 d2 22122 3，所以，所以 SABC122 31 3. 第 2 页 共 7 页 当直线的斜率存在时设圆心到直线的距离为当直线的斜率存在时设圆心到直线的距离为 d，则所截得的弦长，则所截得的弦长 l2 4d2.所以所以SABC122 4d2d 4d2 d24d2d222， 当且仅当， 当且仅当 d 2时成立 所以时成立 所以ABC面积的最大值为面积的最大值为 2. 4(多选多选)如图

5、，已知如图，已知 A(2,0)，B(1,1)，C(1,1)，D(2,0)，CD是是以以 OD 为直径的圆上的一段圆弧，为直径的圆上的一段圆弧，CB是以是以 BC 为直径的圆上的一段圆为直径的圆上的一段圆弧，弧，BA是以是以 OA 为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线 W，则下则下述正确的是述正确的是( ) A曲线曲线 W 与与 x 轴围成区域的面积等于轴围成区域的面积等于 2 B曲线曲线 W 上有上有 5 个整点个整点(横、纵坐标均为整数的点横、纵坐标均为整数的点) C. CB所在圆的方程为所在圆的方程为 x2(y1)21 D. CB与与BA的公切线方程

6、为的公切线方程为 xy 21 解析：解析：选选 BCD 如图所示，连接如图所示，连接 BC，过点，过点 C 作作 CKx 轴于轴于 K，过点过点 B 作作 BLx 轴于轴于 L.则曲线则曲线 W 和和 x 轴围成区域的面积轴围成区域的面积 S2，故故 A 错误；错误； 曲线曲线 W 上有上有 A， B， C， D， M 这这 5 个整点， 故个整点， 故 B 正确；正确；CB所在圆的圆心为所在圆的圆心为(0,1)，半径为，半径为 1，故，故CB所在圆的方程为所在圆的方程为 x2(y1)21，故，故 C 正确；设正确；设CB与与BA的公切线方程为的公切线方程为 ykxb，由图可知，由图可知 k0

7、，则，则|kb|1k21，|1b|1k21，解得，解得 k1，b 21，即，即 xy 21，故，故 D 正确故选正确故选 B、C、D. 5在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，圆中，圆 C 经过点经过点(0,1)，(0,3)，且与，且与 x 轴的正半轴相切，若圆轴的正半轴相切，若圆C 上存在点上存在点 M，使得直线，使得直线 OM 与直线与直线 ykx(k0)关于关于 y 轴对称，则轴对称，则 k 的最小值为的最小值为( ) A.2 33 B. 3 C2 3 D4 3 解析：解析：选选 D 由圆由圆 C 经过点经过点(0,1)，(0,3)可知，圆心的纵坐标为可知，圆心的纵坐标为1322

8、， 又圆又圆 C 与与 x 轴的正半轴相切，所以圆的半径为轴的正半轴相切，所以圆的半径为 2， 则圆心的横坐标为则圆心的横坐标为 22 3122 3， 即圆心为点即圆心为点( 3，2)， 由此可得圆由此可得圆 C 的方程为的方程为(x 3)2(y2)24. 由直线由直线 OM 与直线与直线 ykx(k0)关于关于 y 轴对称知直线轴对称知直线 OM 的方程为的方程为 ykx(k0)， 由由 ykx， x 3 2 y2 24， 第 3 页 共 7 页 消去消去 y 得得(1k2)x2(4k2 3)x30， 则则 (4k2 3)24(1k2)30， 即即 4k216 3k0，解得，解得 k4 3.

9、 故故 k 的最小值为的最小值为 4 3. 6(多选多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点到两个定点 A，B 的距离之比为定值的距离之比为定值 (1)的点所形成的图形是圆后来，人们将这个圆的点所形成的图形是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系 xOy 中，中， A(2,0)，B(4,0)，点，点 P 满足满足PAPB12，设点，设点 P 所构成的曲线为所构成的曲线为 C，下列

10、结论正确的是，下列结论正确的是( ) AC 的方程为的方程为(x4)2y216 B在在 C 上存在点上存在点 D，使得，使得 D 到点到点(1,1)的距离为的距离为 3 C在在 C 上存在点上存在点 M，使得，使得|MO|2|MA| D在在 C 上存在点上存在点 N，使得，使得|NO|2|NA|24 解析：解析：选选 ABD 设点设点 P(x，y)，A(2,0)，B(4,0)， 由由PAPB12，得，得 x2 2y2 x4 2y212， 化简得化简得 x2y28x0，即，即(x4)2y216，故，故 A 选项正确；选项正确； 曲线曲线 C 的方程表示圆心为的方程表示圆心为(4,0)， 半径为，

11、 半径为 4 的圆， 圆心与点的圆， 圆心与点(1,1)的距离为的距离为 41 21 26，则点，则点(1,1)与圆上的点的距离的最小值为与圆上的点的距离的最小值为 264，最大值为，最大值为 264，而，而 3 264，264，故，故 B 选项正确；选项正确； 对于对于 C 选项，设选项，设 M(x0，y0)，由，由|MO|2|MA|， 得得 x20y202 x02 2y20， 又又(x04)2y2016，联立方程消去，联立方程消去 y0得得 x02，再代入，再代入(x04)2y2016 得得 y0无解，故无解，故C 选项错误；选项错误； 对于对于 D 选项，设选项，设 N(x0，y0)，由

12、，由|NO|2|NA|24，得，得 x20y20(x02)2y204， 又又(x04)2y2016，联立方程消去，联立方程消去 y0得得 x00，再代入，再代入(x04)2y2016 得得 y00，故，故 D选项正确选项正确 7已知实数已知实数 x，y 满足满足(x2)2(y1)21，则，则 zy1x的最大值与最小值分别为的最大值与最小值分别为_和和_ 解析解析：由题意，得：由题意，得y1x表示过点表示过点 A(0，1)和圆和圆(x2)2(y1)21 上的动点上的动点(x，y)的直的直线的斜率，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值设切线方程线的斜率，当且仅当直线与圆相切时，

13、直线的斜率分别取得最大值和最小值设切线方程为为 ykx1， 即即 kxy10， 则， 则|2k2|k211， 解得， 解得 k4 73， 所以， 所以 zmax4 73， zmin4 73. 第 4 页 共 7 页 答案答案：4 73 4 73 8已知点已知点 P 是直线是直线 l：kxy40(k0)上一动点，上一动点，PA，PB 是圆是圆 C：x2y22y0 的的两条切线，切点分别为两条切线，切点分别为 A，B.若四边形若四边形 PACB 的最小面积为的最小面积为 2，则，则 k_. 解析：解析：由由 x2y22y0，即，即 x2(y1)21，可知圆，可知圆 C 的圆心为的圆心为C(0,1)

14、，半径为，半径为 1.根据条件根据条件 PA，PB 是圆是圆 C 的两条切线，如图所示则的两条切线，如图所示则PAC，PBC 为两个全等的直角三角形为两个全等的直角三角形 所以四边形所以四边形 PACB 的面积的面积 S2SPAC|AC| |PA|PA| |PC|21， 显然当显然当|PC|最小时，四边形最小时，四边形 PACB 的面积最小的面积最小 由四边形由四边形 PACB 的最小面积为的最小面积为 2， 得得 |PC|212，即，即|PC|的最小值为的最小值为 5. 又又 P 是直线是直线 l：kxy40(k0)上一动点，上一动点， 所以所以|PC|的最小值为点的最小值为点 C 到直线到

15、直线 l 的距离的距离 d|5|1k2 5(k0)，解得，解得 k2. 答案：答案：2 9已知点已知点 P(2,2)，圆，圆 C：x2y28y0，过点，过点 P 的动直线的动直线 l 与圆与圆 C 交于交于 A，B 两点，两点，线段线段 AB 的中点为的中点为 M，O 为坐标原点为坐标原点 (1)求求 M 的轨迹方程；的轨迹方程； (2)当当|OP|OM|时，求时，求 l 的方程及的方程及POM 的面积的面积 解解：(1)圆圆 C 的方程可化为的方程可化为 x2(y4)216， 所以圆心为所以圆心为 C(0,4)，半径为，半径为 4. 设设 M(x，y)，则，则CM (x，y4)，MP (2x

16、,2y) 由题设知由题设知CM MP 0， 故故 x(2x)(y4)(2y)0， 即即(x1)2(y3)22. 所以所以 M 的轨迹方程是的轨迹方程是(x1)2(y3)22. (2)由由(1)可知可知 M 的轨迹是以点的轨迹是以点 N(1,3)为圆心，为圆心， 2为半径的圆为半径的圆 由于由于|OP|OM|， 故故 O 在线段在线段 PM 的垂直平分线上，的垂直平分线上， 又又 P 在圆在圆 N 上，从而上，从而 ONPM. 因为因为 ON 的斜率为的斜率为 3，所以，所以 l 的的斜率为斜率为13， 第 5 页 共 7 页 故故 l 的方程为的方程为 y13x83. 又又|OM|OP|2 2

17、，O 到到 l 的距离为的距离为4 105， 故故|PM|4 105， 所以所以POM 的面积为的面积为 SPOM124 1054 105165. 10已知圆已知圆 C：x2(ya)24，点，点 A(1,0) (1)当过点当过点 A 的圆的圆 C 的切线存的切线存在时，求实数在时，求实数 a 的取值范围；的取值范围； (2)设设 AM，AN 为圆为圆 C 的两条切线，的两条切线，M，N 为切点，当为切点，当|MN|4 55时，求时，求 MN 所在直线所在直线的方程的方程 解：解：(1)过点过点 A 的切线存在，即点的切线存在，即点 A 在圆外或圆上，在圆外或圆上， 1a24，a 3或或 a 3

18、. 故实数故实数 a 的取值范围为的取值范围为(， 3 3，) (2)设设 MN 与与 AC 交于点交于点 D，O 为坐标原点为坐标原点 |MN|4 55，|DM|2 55. 又又|MC|2，|CD| 4202545， cosMCA45225，|AC|MC|cosMCA225 5， |OC|2，|AM|1， MN 是以点是以点 A 为圆心，为圆心，1 为半径的圆为半径的圆 A 与圆与圆 C 的公共弦，圆的公共弦，圆 A 的方程为的方程为(x1)2y21， 圆圆 C 的方程为的方程为 x2(y2)24 或或 x2(y2)24， MN 所在直线的方程为所在直线的方程为(x1)2y21x2(y2)2

19、40，即，即 x2y0 或或(x1)2y21x2(y2)240，即，即 x2y0， 因此因此 MN 所在直线的方程为所在直线的方程为 x2y0 或或 x2y0. 二、自选练二、自选练练高考区分度练高考区分度 1 若圆 若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线上至少有三个不同点到直线l： axby0的距离为的距离为2 2，则直线则直线 l 的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是( ) A2 3，1 B2 3，2 3 第 6 页 共 7 页 C. 33， 3 D0，) 解析：解析：选选 B 圆圆 x2y24x4y100 可化为可化为(x2)2(y2)218， 则圆心为则圆心为(2,2)，半

20、径为，半径为 3 2. 由圆由圆 x2y24x4y100 上至少有三个不同点到直线上至少有三个不同点到直线 l： axby0 的距离为的距离为 2 2可可得，得， 圆心到直线圆心到直线 l：axby0 的距离的距离 d3 22 2 2. 即即|2a2b|a2b2 2，则，则 a2b24ab0. 若若 a0，则，则 d2，不符合题意；，不符合题意； 故故 a0，则上式可化为，则上式可化为 1 ba24ba0， 由于直线由于直线 l 的斜率的斜率 kab， 所以上式可化为所以上式可化为 1k24k0， 则则 k2 3，2 3，故选，故选 B. 2阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统

21、的研究，主要研究成果阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线集中在他的代表作圆锥曲线论一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已论一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点知动点M与两定点与两定点A， B的距离之比为的距离之比为(0， 1)， 那么点， 那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆 下的轨迹就是阿波罗尼斯圆 下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆 O：x2y21 上的动点上的动点 M 和定点和定点 A 12，0 ，B(1,1)，则，则 2|MA|MB|的最小值为的最小值为( )

22、A. 6 B 7 C. 10 D 11 解析：解析：选选 C 当点当点 M 在在 x 轴上时，点轴上时，点 M 的的坐标为坐标为(1,0)或或(1,0) 若点若点 M 的坐标为的坐标为(1,0)，则，则 2|MA|MB|212 11 2121 5；若点；若点 M 的坐的坐标为标为(1,0)，则，则 2|MA|MB|232 11 2124. 当点当点 M 不在不在 x 轴上时，取点轴上时，取点 K(2,0)， 连接连接 OM，MK，因为，因为|OM|1，|OA|12，|OK|2， 所以所以|OM|OA|OK|OM|2. 因为因为MOKAOM， 所以所以MOKAOM，则，则|MK|MA|OM|OA

23、|2， 所以所以|MK|2|MA|，则，则 2|MA|MB|MB|MK|. 第 7 页 共 7 页 易知易知|MB|MK|BK|， 可知可知|MB|MK|的最小值为的最小值为|BK|. 因为因为 B(1,1)，K(2,0)， 所以所以(2|MA|MB|)min|BK| 21 2 01 2 10. 综上，易知综上，易知 2|MA|MB|的最小值为的最小值为 10.故选故选 C. 3在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，中，O 为坐标原点，以为坐标原点，以 O 为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线 x 3y40相切相切 (1)求圆求圆 O 的方程；的方程； (2)若直线若直线 l：ykx3 与

24、圆与圆 O 交于交于 A，B 两点，在圆两点，在圆 O 上是否存在一点上是否存在一点 Q，使得，使得OQ OA OB ？若存在，求出此时直线？若存在，求出此时直线 l 的斜率；若不存在，请说明理由的斜率；若不存在，请说明理由 解解： (1)设圆设圆 O 的半径为的半径为 r， 因为直线， 因为直线 x 3y40 与圆与圆 O 相切， 所以相切， 所以 r|0 304|132，所以圆，所以圆 O 的方程为的方程为 x2y24. (2)假设存在点假设存在点 Q，使得，使得OQ OA OB . 因为因为 A，B 在圆上，且在圆上，且OQ OA OB ，同时，同时|OA |OB |，由向量加法的平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知四边形法则可知四边形 OAQB 为菱形，所以为菱形，所以 OQ 与与 AB 互相垂直且平分，所以原点互相垂直且平分，所以原点 O 到直线到直线 l：ykx3 的距离的距离 d12|OQ|1.即即|3|1k21，解得，解得 k28，则，则 k 2 2，经验证满足条件所，经验证满足条件所以存在点以存在点 Q，使得，使得OQ OA OB ，此时直线，此时直线 l 的斜率为的斜率为 2 2.