人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：数列求和.docx

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1、数列求和知识讲解一、数列求和的常用方法1.公式法1）直接用等差、等比数列的求和公式2）掌握一些常见的数列的前n项和；2.倒序相加法如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和即是用此法推导的3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和就是用此法推导的4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常见的拆项公式有：1）；2）；3）；4）；5）6）5.分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不

2、是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并，形如：1），其中是等差数列，是等比数列；2）6.并项求和如求的和经典例题一选择题（共10小题）1设Sn为等差数列an的前n项和，a4=4，S5=15，若数列1anan+1的前m项和为1011，则m=（）A8B9C10D11【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：a4=4S5=15=5a3，解得d=1，则an=4+（n4）=n由于1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1，则Sm=1-12+12-13+1m-1m+1，=1-1m+1=1011，解得m=10故答

3、案为：10故选：C2数列1，13，13，13，15，15，15，15，15，17的前100项之和为（）A10B19119C11D20921【解答】解：由数列可知，12n-1占了数列的2n1项，且相对应的12n-1项的和均为1，则项数和为1+3+5+（2n1）=n(1+2n-1)2=n2，n2=100，解得n=10，S100=10，故选：A3已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前6项之和等于（）A15B18C21D42【解答】解：a2+a4=4，a3+a5=10a2+a4+a3+a5=2（a1+a6）=14a1+a6=7S6=3（a1+a6）=21故选：C4已知数列an的

4、前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*），可归纳猜想出Sn的表达式为（）A2nn+1B3n-1n+1C2n+1n+2D2nn+2【解答】解：在数列an中，前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*），s1=a1=1=2×11+1；s2=1+a2=4a2，a2=13，s2=43=2×22+1；s3=1+13+a3=9a3，a3=16，s3=32=2×33+1；s4=1+13+16+a4=16a4，a4=110，s4=85=2×44+1；于是猜想：sn=2nn+1故选：A5设Sn为等差数列an的前n项和，（n+1）SnnSn+1（nN*）

5、，若a8a71，则（）ASn的最大值为S8BSn的最小值为S8CSn的最大值为S7DSn的最小值为S7【解答】解：（n+1）SnnSn+1，SnnSn+1nSn=nan+1即na1+n(n-1)d2na1+nd，整理得（n2n）d2n2dn2n2=3n2n0d0a8a710a70，a80数列的前7项为负，故数列Sn中最小值是S7故选：D6已知数列an的前n项和Sn=2n1，则此数列奇数项的前n项和为（）A2n+1-13B2n+1-23C22n-13D22n-23【解答】解：当n=1时，a1=S1=211=1，当n2时，an=SnSn1=2n1（2n11）=22n12n1=2n1，对n=1也适合

6、an=2n1，数列an是等比数列，此数列奇数项也构成等比数列，且首项为1，公比为4此数列奇数项的前n项和为1(1-4n)1-4=4n-13=22n-13故选：C7已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2（an+1），则a5=（）A16B32C32D64【解答】解：令n=1，得S1=2（a1+1），解得a1=2，由Sn=2（an+1），得Sn+1=2（an+1+1），得，an+1=2an+12an，即an+1=2an，an为以2为公比的等比数列，则a5=a1×24=2×24=32，故选：B811×2+12×3+13×4+19×10=（）

7、A0.1B0.3C0.6D0.9【解答】解：11×2+12×3+13×4+19×10=（112）+（12-13）+（13-14）+（19-110）=1110=0.9故选：D9an和bn，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=7n+2n+3，则a2+a20b2+b20等于（）A94B378C7914D14924【解答】解：a2+a20b2+b20=a1+a21b1+b21=212(a1+a21)212(b1+b21)=s21T21=7×21+221+3=14924故选：D10设an是等比数列，若a2=3，a7=1，则数列an前8项的积为（）A5

8、6B80C81D128【解答】解：an是等比数列，若a2=3，a7=1，1=3q5q5=13数列an前8项的积为：a1a2a3a8=a28q1+0+1+2+3+4+5+6=38×（13）4=34=81故选：C二填空题（共5小题）11已知数列an的前n项和公式为Sn=n2，若bn=2an，则数列bn的前n项和Tn=23(4n-1)【解答】解：Sn=n2，当n=1时，S1=a1=1，当n2时，Sn1=（n1）2，由可得an=2n1，当n=1时也成立，an=2n1，bn=2an=2×4n1，Tn=2(1-4n)1-4=23(4n-1)，故答案为：23(4n-1)12数列an前项和

9、Sn=2n23n+1，则an=&0，n=1&4n-5，n2【解答】解：数列an前项和Sn=2n23n+1，a1=S1=23+1=0，an=SnSn1=（2n23n+1）2（n1）23（n1）+1=4n5当n=1时，4n5=1a1，an=&0，n=1&4n-5，n2故答案为：&0，n=1&4n-5，n213数列an的通项公式为an=14n2-1，则其前n项和为n2n+1【解答】解：an=14n2-1=1(2n-1)(2n+1)=12（12n-112n+1），其前n项和为12（113）+（1315）+（1517）+（12n-112n+1）=12（11

10、2n+1）=n2n+1，故答案为：n2n+114等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan的前8项和等于4【解答】解：等比数列an中a4=2，a5=5，a4a5=2×5=10，数列lgan的前8项和S=lga1+lga2+lga8=lg（a1a2a8）=lg（a4a5）4=4lg（a4a5）=4lg10=4故答案为：415数列an中，若an=&2n-1，n为奇数&2n，n为偶数，则其前6项和为99【解答】解：an=&2n-1，n为奇数&2n，n为偶数，可得其前6项和为（a1+a3+a5）+（a2+a4+a6）=（1+5+9）+（4+16+64）

11、=15+84=99故答案为：99三解答题（共5小题）16已知等比数列an的前n项和为Sn，a1=2，an0（nN*），S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log12a2n-1，数列2bnbn+1的前n项和为Tn，求Tn【解答】解：（1）S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项2（S4+a4）=S4+a4+S5+a5化简得4a6=a4a1=2，an是等比数列，设公比为q，则q2=a6a4=14an0（nN*），q0q=12数列an的通项公式an=2×(12)n-1=(12)n-2；（2）由bn=log12a2n-1=log12(12

12、)2n-3=2n3数列bn的通项公式bn=2n3那么：1bnbn+1=2(2n-3)(2n-1)=12n-3-12n-1数列2bnbn+1的前n项和为Tn=（11）+（113）+（13-15）+（12n-3-12n-1）=112n-1=-2n2n-117已知数列an的前n项和为Sn满足Sn=32an-12a1(nN*)，且a11，2a2，a3+7成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=2log9an（nN*），求数列1bnbn+1的前n项和Tn【解答】解：（1）由Sn=32an-12a1得2Sn=3ana1，由&2Sn=3an-a1&2Sn-1=3an-1-a1(n

13、2)，做差得an=3an1（n2），数列an是公比为3的等比数列，又a11，2a2，a3+7成等差数列，4a2=a1+a3+6，即12a1=a1+9a1+6，解得a1=3，an=3n（2）bn=2log93n=n，1bnbn+1=1n-1n+1，Tn=1-12+12-13+1n-1n+1=nn+118已知等差数列an满足a2=2，a1+a4=5（I）求数列an的通项公式；（II）若数列bn满足：b1=3，b2=6，bnan为等比数列，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（）等差数列an满足a2=2，a1+a4=5，则&2=a1+d&5=2a1+3d，解得a1=d=1，an=1+

14、（n1）=n，（）b1=3，b2=6，bnan为等比数列，设公比为q，b1a1=31=2，b2a2=62=4，q=2，bnan=2×2n1=2n，bn=n+2n，数列bn的前n项和Tn=（1+2+3+n）+（2+22+2n）=n(n+1)2+2(1-2n)1-2=n(n+1)2+2n+1219已知数列an是递增的等差数列，a2=3，若a1，a3a1，a8+a1成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=3anan+1，数列bn的前n项和Sn，求Sn【解答】解：（1）设an的公差为d，d0，由条件得&a1+d=3&a1(2a1+7d)=(2d)2&d0，

15、&a1=1&d=2，an=1+2（n1）=2n1（2）bn=3anan+1=3(2n-1)(2n+1)=32(12n-1-12n+1)，Sn=32（113+1315+12n-112n+1）=3n2n+120已知等差数列an的前三项为a1，4，2a，记前n项和为Sn（）设Sk=2550，求a和k的值；（）设bn=Snn，求b3+b7+b11+b4n1的值【解答】解：（）由已知得a1=a1，a2=4，a3=2a，又a1+a3=2a2，（a1）+2a=8，即a=3（2分）a1=2，公差d=a2a1=2由Sk=ka1+k(k-1)2d，得（4分）2k+k(k-1)2×2=2550即k2+k2550=0解得k=50或k=51（舍去）a=3，k=50（6分）（）由Sn=na1+n(n-1)d2，得Sn=2n+n(n-1)2×2=n2+n（8分）bn=Snn=n+1（9分）bn是等差数列则b3+b7+b11+b4n1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+（4n1+1）=（3+7+11+4n1）+n=(3+4n-1)n2+n=(4n+2)n2+n（11分）b3+b7+b11+b4n1=2n2+2n（12分）