2022届高三数学一轮复习(原卷版)专题08 数列(解析版).doc
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1、专题08 数列1(2021·北京高考真题)和是两个等差数列,其中为常值,则( )ABCD【答案】B【分析】由已知条件求出的值,利用等差中项的性质可求得的值.【详解】由已知条件可得,则,因此,.故选:B.2(2021·北京高考真题)数列是递增的整数数列,且,则的最大值为( )A9B10C11D12【答案】C【分析】使数列首项、递增幅度均最小,结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使n尽可能的大,则,递增幅度要尽可能小,不妨设数列是首项为3,公差为1的等差数列,其前n项和为,则,所以n的最大值为11.故选:C.3(2021·浙江高考真题)已知数列满足.记数
2、列的前n项和为,则( )ABCD【答案】A【分析】显然可知,利用倒数法得到,再放缩可得,由累加法可得,进而由局部放缩可得,然后利用累乘法求得,最后根据裂项相消法即可得到,从而得解【详解】因为,所以,由,即根据累加法可得,当且仅当时取等号,由累乘法可得,当且仅当时取等号,由裂项求和法得:所以,即故选:A【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系,再由累加法可求得,由题目条件可知要证小于某数,从而通过局部放缩得到的不等关系,改变不等式的方向得到,最后由裂项相消法求得4(2021·全国高考真题(理)等比数列的公比为q,前n项和为,设甲:,乙:是递增数列,则( )A甲是乙的充分条件但不
3、是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当是递增数列时,必有成立即可说明成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案【详解】由题,当数列为时,满足,但是不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件若是递增数列,则必有成立,若不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则成立,所以甲是乙的必要条件故选:B【点睛】在不成立的情况下,我们可以通过举反例说明,但是在成立的情况下,我们必须要给予其证明过程5(2021·全国高考真题)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴
4、把纸对折,规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_;如果对折次,那么_.【答案】5 【分析】(1)按对折列举即可;(2)根据规律可得,再根据错位相减法得结果.【详解】(1)由对折2次共可以得到,三种规格的图形,所以对着三次的结果有:,共4种不同规格(单位;故对折4次可得到如下规格:,共5种不同规格;(2)由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形,不论规格如何,其面积成公比为的等比数列,首项为120,第n次对折后的图形面积为,对于第n此对折
5、后的图形的规格形状种数,根据(1)的过程和结论,猜想为种(证明从略),故得猜想,设,则,两式作差得:,因此,.故答案为:;.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;(2)对于结构,其中是等差数列,是等比数列,用错位相减法求和;(3)对于结构,利用分组求和法;(4)对于结构,其中是等差数列,公差为,则,利用裂项相消法求和.6(2021·浙江高考真题)已知数列的前n项和为,且.(1)求数列的通项;(2)设数列满足,记的前n项和为,若对任意恒成立,求的范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)由,结合与的关系,分讨论,得到数列为等比数列,即可得
6、出结论;(2)由结合的结论,利用错位相减法求出,对任意恒成立,分类讨论分离参数,转化为与关于的函数的范围关系,即可求解.【详解】(1)当时,当时,由,得,得,又是首项为,公比为的等比数列,;(2)由,得,所以,两式相减得,所以,由得恒成立,即恒成立,时不等式恒成立;时,得;时,得;所以.【点睛】易错点点睛:(1)已知求不要忽略情况;(2)恒成立分离参数时,要注意变量的正负零讨论,如(2)中恒成立,要对讨论,还要注意时,分离参数不等式要变号.7(2021·全国高考真题)记是公差不为0的等差数列的前n项和,若(1)求数列的通项公式;(2)求使成立的n的最小值【答案】(1);(2)7.【分
7、析】(1)由题意首先求得的值,然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式;(2)首先求得前n项和的表达式,然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得:,则:,设等差数列的公差为,从而有:,从而:,由于公差不为零,故:,数列的通项公式为:.(2)由数列的通项公式可得:,则:,则不等式即:,整理可得:,解得:或,又为正整数,故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.8(2021·北京高考真题)定义数列:对实数p,满足:,;,(1)对于前4项2,-2,0,1的数列,
8、可以是数列吗?说明理由;(2)若是数列,求的值;(3)是否存在p,使得存在数列,对?若存在,求出所有这样的p;若不存在,说明理由【答案】(1)不可以是数列;理由见解析;(2);(3)存在;【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列;(2)由题意首先确定数列的前4项,然后讨论计算即可确定的值;(3)构造数列,易知数列是的,结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.【详解】(1)由性质结合题意可知,矛盾,故前4项的数列,不可能是数列.(2)性质,由性质,因此或,或,若,由性质可知,即或,矛盾;若,由有,矛盾.因此只能是.又因为或,所以或.若,则,不满足,舍去.当,则前四项为:0
9、,0,0,1,下面用纳法证明:当时,经验证命题成立,假设当时命题成立,当时:若,则,利用性质:,此时可得:;否则,若,取可得:,而由性质可得:,与矛盾.同理可得:,有;,有;,又因为,有即当时命题成立,证毕.综上可得:,.(3)令,由性质可知:,由于,因此数列为数列.由(2)可知:若;,因此,此时,满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”,“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌
10、握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.9(2021·全国高考真题)已知数列满足,(1)记,写出,并求数列的通项公式;(2)求的前20项和.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据题设中的递推关系可得,从而可求的通项.(2)根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为,利用(1)的结果可求.【详解】(1)由题设可得又, 故,即,即所以为等差数列,故.(2)设的前项和为,则,因为,所以.【点睛】方法点睛:对于数列的交叉递推关系,我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系,再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.10(2021·全国高考真题(理)已知数列的各
11、项均为正数,记为的前n项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立数列是等差数列:数列是等差数列;注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分【答案】答案见解析【分析】选作条件证明时,可设出,结合的关系求出,利用是等差数列可证;选作条件证明时,根据等差数列的求和公式表示出,结合等差数列定义可证;选作条件证明时,设出,结合的关系求出,根据可求,然后可证是等差数列.【详解】选作条件证明:设,则,当时,;当时,;因为也是等差数列,所以,解得;所以,所以.选作条件证明:因为,是等差数列,所以公差,所以,即,因为,所以是等差数列.选作条件证明:设,则,当时,;当时,;因为,所以,解得或;当时,当
12、时,满足等差数列的定义,此时为等差数列;当时,不合题意,舍去.综上可知为等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见,求解的关键是牢牢抓住已知条件,结合相关公式,逐步推演,等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.11(2021·全国高考真题(理)记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知(1)证明:数列是等差数列;(2)求的通项公式【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)由已知得,且,取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;(2)由(1)可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】(1)由已知得,且,,取,由得,由于为数列的前
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