2022届高三数学一轮复习（原卷版）第七章 7.2一元二次不等式-教师版.docx

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1、 进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)若不等式ax2bxc<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(2)若不等式ax2bxc>0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc>0的解集为R.(×)(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a<0且b24ac0.(×)(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc<0的解集一定不是空集()阶段训练题型一一元二次不等式的求解命题点1不含

2、参数的不等式例1求不等式2x2x3<0的解集解化2x2x3<0为2x2x3>0，解方程2x2x30得x11，x2，不等式2x2x3>0的解集为(，1)(，)，即原不等式的解集为(，1)(，)命题点2含参数的不等式例2解关于x的不等式：x2(a1)xa<0.解由x2(a1)xa0，得(xa)(x1)0，x1a，x21，当a>1时，x2(a1)xa<0的解集为x|1<x<a，当a1时，x2(a1)xa<0的解集为，当a<1时，x2(a1)xa<0的解集为x|a<x<1引申探究将原不等式改为ax2(a1)x1<

3、0，求不等式的解集解若a0，原不等式等价于x1<0，解得x>1.若a<0，原不等式等价于(x)(x1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等价于(x)(x1)<0.当a1时，1，(x)(x1)<0无解；当a>1时，<1，解(x)(x1)<0，得<x<1；当0<a<1时，>1，解(x)(x1)<0，得1<x<.综上所述，当a<0时，解集为x|x<或x>1；当a0时，解集为x|x>1；当0<a<1时，解集为x|1<x<；当a1

4、时，解集为；当a>1时，解集为x|<x<1思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集解下列不等式：(1)0<x2x24；(2)求不等式12x2axa2(aR)的解集解(1)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为x|2

5、x<1或2<x3(2)12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，得x1，x2.a0时，解集为；a0时，x20，解集为x|xR且x0；a0时，解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题例3(1)若一元二次不等式2kx2kx<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0 B3,0)C3,0 D(3,0)(2)设a为常数，任意xR，ax2ax1>0，则a的取值范围是()A(0,4) B0,4)C(0

6、，) D(，4)答案(1)D(2)B解析(1)2kx2kx<0为一元二次不等式，k0，又2kx2kx<0对一切实数x都成立，则必有解得3<k<0.(2)任意xR，ax2ax1>0，则必有或a0，0a<4.命题点2在给定区间上的恒成立问题例4设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)<m5在x1,3上恒成立，即m2m6<0在x1,3上恒成立有以下两种方法：方法一令g(x)m2m6，x1,3当m>0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m6<0，所以m<

7、，所以0<m<；当m0时，6<0恒成立；当m<0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是m|m<方法二因为x2x12>0，又因为m(x2x1)6<0，所以m<.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m<即可所以，m的取值范围是.命题点3给定参数范围的恒成立问题例5对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1,1上，g(

8、m)的值恒大于零，解得x<1或x>3.故当x的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是_答案(，0)解析作出二次函数f(x)的草图，

9、对于任意xm，m1，都有f(x)<0，则有即解得<m<0.(2)已知不等式mx22xm1<0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解不等式mx22xm1<0恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x<0，则x>，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知，不存在这样的m.题型三一元二次不等式的应用例6某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x

10、成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解(1)由题意得，y100·100.因为售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0,2(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130，解得x.所以x的取值范围是.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语

11、言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为()A12元 B16元C12元到16元之间 D10元到14元之间答案C解析设销售价定为每件x元，利润为y，则y(x8)10010(x10)，依题意有(x8)10010(x10)>320，即x228x192<0，解得12<x

12、<16，所以每件销售价应定为12元到16元之间第3课时阶段重难点梳理1“三个二次”的关系判别式b24ac>00<0二次函数yax2bxc (a>0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc>0 (a>0)的解集x|x<x1或x>x2x|xx|xR一元二次不等式ax2bxc<0 (a>0)的解集x|x1< x<x22.常用结论(xa)(xb)>0或(xa)(xb)<0型不等式的解法不等式解集a<b

13、aba>b(xa)·(xb)>0x|x<a或x>bx|xax|x<b或x>a(xa)·(xb)<0x|a<x<bx|b<x<a口诀：大于取两边，小于取中间【知识拓展】1.>0(<0)f(x)·g(x)>0(<0)2.0(0)f(x)·g(x)0(0)且g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式重点题型训练典例(1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_(2)已知

14、函数f(x)，若对任意x1，)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是_思想方法指导函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题解析(1)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)<c，2<c，即<x<.，得26，c9.(2)x1，)时，f(x)>0恒成立，即x22xa>0恒成立即当x1时，a>(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)3，故a>3.实数a的取值范围是a|a>3答

15、案(1)9(2)a|a>31不等式x23x10>0的解集是()A(2,5) B(5，)C(，2) D(，2)(5，)答案D解析解方程x23x100得x12，x25，由于yx23x10的图象开口向上，所以x23x10>0的解集为(，2)(5，)2设集合Mx|x23x4<0，Nx|0x5，则MN等于()A(0,4 B0,4)C1,0) D(1,0答案B解析Mx|x23x4<0x|1<x<4，MN0,4)3不等式<1的解集是()A(，1)(1，)B(1，)C(，1)D(1,1)答案A解析由<1得<0，(x1)(x1)>0，x>1

16、或x<1.4若关于x的不等式ax2bx2>0的解集是(，)，则ab_.答案14解析x1，x2是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.作业布置1不等式(x1)(2x)0的解集为()Ax|1x2 Bx|x1或x2Cx|1<x<2 Dx|x<1或x>2答案A解析由(x1)(2x)0可知(x2)(x1)0，所以不等式的解集为x|1x22不等式组的解集为()Ax|2<x<1 Bx|1<x<0Cx|0<x<1 Dx|x>1答案C解析x(x2)>0的解集为x|x<2或x>0，又1<x<1，0<

17、;x<1，即x|0<x<13若集合Ax|ax2ax1<0，则实数a的取值范围是()Aa|0<a<4 Ba|0a<4Ca|0<a4 Da|0a4答案D解析由题意知a0时，满足条件当a0时，由得0<a4.所以0a4.4设函数f(x)则不等式f(x)>f(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，)D(，3)(1,3)答案A解析由题意得或解得3<x<1或x>3.5已知不等式x22x3<0的解集为A，不等式x2x6<0的解集为B，不等式x2axb<0的解集为AB，那么ab等于

18、()A3 B1C1 D3答案A解析由题意，Ax|1<x<3，Bx|3<x<2，ABx|1<x<2，则不等式x2axb<0的解集为x|1<x<2由根与系数的关系可知，a1，b2，所以ab3，故选A.6已知函数f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)>0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)<0的解集是()A(，)(，)B(，)C(，)(，)D(，)答案A解析由题意得f(x)0的两个解是x11，x23且a<0，由f(2x)<0得2x>3或2x<1，x<或x>.7已知不等式ax2bx10的解集

19、是，则不等式x2bxa<0的解集是()A(2,3) B(，2)(3，)C. D.答案A解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，×.解得a6，b5，不等式x2bxa<0即为x25x6<0，解集为(2,3)*8.已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，当x1,1时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是()A1<b<0 Bb>2Cb<1或b>2 D不能确定答案C解析由f(1x)f(1x)知f(x)图象的对称轴为直线x1，则有1，故a2.由f(x)的图象可知f(x)

20、在1,1上为增函数x1,1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2，令b2b2>0，解得b<1或b>2.9若不等式2x22axa1有唯一解，则a的值为_.答案解析若不等式2x22axa1有唯一解，则x22axa1有两个相等的实根，所以4a24(a1)0，解得a.10设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)<1.<1<0(3a2)(a1)<0，1<a<.*11.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x

21、)x24x，那么，不等式f(x2)<5的解集是_答案x|7<x<3解析令x<0，则x>0，x0时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，x<0时，f(x)x24x，故有f(x)再求f(x)<5的解，由得0x5；由得5<x<0，即f(x)<5的解集为(5,5)由于f(x)向左平移两个单位即得f(x2)，故f(x2)<5的解集为x|7<x<312设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m<n)(1)若m1，n2，求不等式F(x)&

22、gt;0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小解(1)由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn)当m1，n2时，不等式F(x)>0，即a(x1)(x2)>0.当a>0时，不等式F(x)>0的解集为x|x<1或x>2；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为x|1<x<2(2)f(x)mF(x)xma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，a>0，且0<x<m<n<，xm<0,1anax>0.f(x)m<0，即f(x)<m.*13.已知不等式(ab)x(2a3b)<0的解为x>，解不等式(a2b)x22(ab1)x(a2)>0.解因为(ab)x(2a3b)<0，所以(ab)x<3b2a，因为不等式的解为x>，所以ab<0，且，解得a3b<0，则不等式(a2b)x22(ab1)x(a2)>0等价为bx2(4b2)x(3b2)>0，即x2(4)x(3)<0，即(x1)(x3)<0.因为3<1，所以不等式的解为3<x<1.即所求不等式的解集为x|3<x<119