2022届高三数学一轮复习（原卷版）第九章 9.7抛物线-学生版.docx

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1、 抛物线知识梳理1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py (p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1抛物线y22px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径2y2ax的焦

2、点坐标为，准线方程为x.3设AB是过抛物线y22px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦例题解析题型一 基础【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对

3、称图形()(4)AB为抛物线y22px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()【例2】1抛物线y24x的焦点坐标是()A(0,2) B(0,1)C(2,0) D(1,0)2过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于()A9 B8 C7 D63设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2C1,1 D4,44已知抛物线y22px(p>0)的准线与圆x2y26x70

4、相切，则p的值为_题型二抛物线的定义及应用【例3】(1)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1 C. D.(2)设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_【同步练习】1若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值2若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值3、设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之

5、和的最小值为_题型三抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程【例4】已知双曲线C1：1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y命题点2抛物线的几何性质【例5】已知抛物线y22px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开

6、口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此【同步练习】(1)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8(2)抛物线y22px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为()A. B1 C. D2题型四

7、直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题【例6】已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点若·0，则k_.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题【例7】已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过

8、抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解【同步练习】1、已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过点M(4,0)(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求2、已知抛物线C：ymx2(m>0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐

9、标；(2)若抛物线C上有一点R(xR ,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.课后练习1若抛物线yax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于()A1 B. C2 D.2已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴

10、的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果·12，那么抛物线C的方程为()Ax28y Bx24yCy28x Dy24x3已知抛物线y22px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1 Cx2 Dx24已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为()A. B. C3 D25过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|6，则的值为()A. B. C. D36.已知直线yk(x2)(k&g

11、t;0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为()A. B. C. D.7设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|_.8已知抛物线C：y22px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若，则p_.9已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.10.设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这

12、样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_11已知过抛物线y22px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值12抛物线E：x22py(p>0)的焦点为F，以A(x1，y1)(x10)为直角顶点的等腰直角ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线E上(1)过Q(0，3)作抛物线E的切线l，切点为R，点F到切线l的距离为2，求抛物线E的方程；(2)求ABC面积的最小值13.如图，由部分抛物线：y2mx1(m>0，x0)和半圆x2y2r2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(，)(1)求“黄金抛物线C”的方程；(2)设P(0,1)和Q(0，1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由 17 / 17 数形结合思想（教师版）