2022届高三数学一轮复习（原卷版）第六章 6.3等比数列-教师版.docx

《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第六章 6.3等比数列-教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第六章 6.3等比数列-教师版.docx（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第1课时进门测1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列(×)(2)G为a，b的等比中项G2ab.(×)(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列(×)(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列(×)2、已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A B2C2 D.答案D解析由题意知q3，q.3、设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6等于()A31 B32 C63 D64答案C解析根据题意知，等比数列a

2、n的公比不是1.由等比数列的性质，得(S4S2)2S2·(S6S4)，即1223×(S615)，解得S663.故选C.4、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为_答案27,81解析设该数列的公比为q，由题意知，2439×q3，q327，q3.插入的两个数分别为9×327,27×381.5、设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，·11.作业检查无第2课时阶段训练题型一等比数列基本量的运算例1(1)已

3、知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于()A2 B1 C. D.(2)在各项均为正数的等比数列an中，a2，a42，a5成等差数列，a12，Sn是数列an的前n项的和，则S10S4等于()A1 008 B2 016C2 032 D4 032答案(1)C(2)B解析(1)由an为等比数列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.故选C.(2)由题意知2(a42)a2a5，即2(2q32)2q2q4q(2q32)，得q2，所以an2n，S1021122 046，S4252

4、30，所以S10S42 016.故选B.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解【同步练习】(1)已知等比数列an的首项a11，且a2，a4，a3成等差数列，则数列an的公比q_，数列an的前4项和S4_.(2)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.答案(1)1或4或(2)3n1解析(1)由a2，a4，a3成等差数列得2a1q3a1qa1q2，即2q3qq2，解得q1或q.当q1时，S44a14，当q时，S4.(2)由3S1,2S2，S3成等差

5、数列知，4S23S1S3，可得a33a2，所以公比q3，故等比数列的通项ana1qn13n1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2，得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又由，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an3·2n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)·

6、;，故an(3n1)·2n2.引申探究若将例2中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变，求数列an的通项公式解由已知得n2时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，n2，又a11，S2a1a22a12，a23，当n1时上式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an12·2n12n，an2n1.【同步练习】1、已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：<.证明(1)由an13an1，得an13(an)又a1，所以an是首项为，公比为3的等

7、比数列所以an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n12×3n1，所以.于是1(1)<，所以<.第3课时阶段重难点梳理1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1·qn1.3等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam·qnm(n，mN*)(2

8、)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则ak·alam·an.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，an·bn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.【知识拓展】等比数列an的单调性(1)满足或时，an是递增数列(2)满足或时，an是递减数列(3)当时，an为常数列(4)当q<0时，an为摆动数列重点题型训练题型

9、三等比数列性质的应用例3（1）若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.答案(1)50(2)解析(1)因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)·(a2a19)··(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)方法一S6S312，an的公比q1.由÷，得q3，.方法二an是等比数列，且，公比q

10、1，S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即(S6S3)2S3·(S9S6)，将S6S3代入得.【同步练习】(1)已知在等比数列an中，a1a410，则数列lg an的前4项和等于()A4 B3 C2 D1(2)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. B C. D.答案(1)C(2)A解析(1)前4项和S4lg a1lg a2lg a3lg a4lg(a1a2a3a4)，又等比数列an中，a2a3a1a410，S4lg 1002.(2)因为a7a8a9S9S6，且公比不等于1，在等比数列中，S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9

11、S6成等比数列，所以有8(S9S6)(1)2，S9S6，即a7a8a9.题型四 分类讨论思想在等比数列中的应用典例(15分)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN*)思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.3分又a1，所以等比数列an的通项公式为an×n1(1)n1·

12、;.5分(2)证明由(1)知，Sn1n，Sn1n8分当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.11分当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.13分故对于nN*，有Sn（nN*）.15分思导总结一、等比数列的证明(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证二、等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即

13、可找出解决问题的突破口作业布置1在各项均为正数的等比数列an中，a31，a51，则a2a2a6a3a7等于()A4 B6C8 D84答案C解析在等比数列中，a3a7a，a2a6a3a5，所以a2a2a6a3a7a2a3a5a(a3a5)2(11)2(2)28.2在等比数列an中，若a1<0，a218，a48，则公比q等于()A. B.C D.或答案C解析由解得或又a1<0，因此q.3在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n等于()A12 B13C14 D15答案C解析设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq1

14、2，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故选C.4在各项均为正数的等比数列an中，a12，且a2，a42，a5成等差数列，记Sn是数列an的前n项和，则S5等于()A32 B62 C27 D81答案B解析设正项等比数列an的公比为q，则q>0，由a2，a42，a5成等差数列，得a2a52(a42)，即2q2q42(2q32)，(q2)(1q3)0，解得q2或q1(舍去)，S562，故选B.5已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，则的值是()A B5C5 D.答案B解析由log3an1log3an1(nN

15、*)，得log3an1log3an1，即log31，解得3，所以数列an是公比为3的等比数列因为a5a7a9(a2a4a6)q3，所以a5a7a99×3335.所以5.6在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为()A. B.C1 D答案B解析因为a3a4a53a，所以log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a，所以sin(log3a1log3a2log3a7).7设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42，3S2a32，则公比q_.答案4解析因为由，得3a3a4a3，即4a3a4，则q4.

16、8设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和且S1010，S3070，那么S40_.答案150解析依题意，知数列an的公比q1，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030；又S20>0，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080，S40150.9已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn1(nN*)，则通项an_.答案解析anSn1，a1，an1Sn11(n2)，由，得anan1an0，即(n2)，数列an是首项为，公比为的等

17、比数列，则an×()n1.10已知数列an的首项为1，数列bn为等比数列且bn，若b10·b112，则a21_.答案1 024解析b1a2，b2，a3b2a2b1b2，b3，a4b1b2b3，anb1b2b3··bn1，a21b1b2b3··b20(b10b11)102101 024.11已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan是等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和解(1)设等差数列的公差为d，由题意得d3，所以ana1(n1)d3n(nN*)设等比数列bnan

18、的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(nN*)(2)由(1)知bn3n2n1(nN*)，数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为1×2n1.所以数列bn的前n项和为n(n1)2n1.12已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意，得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.13已知数列an中，a11，an·an1n，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.解(1)an·an1n，an1·an2n1，即an2an.bna2na2n1，a11，a1·a2，a2b1a1a2.bn是首项为，公比为的等比数列bn×n1.(2)由(1)可知，an2an，a1，a3，a5，是以a11为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以a2为首项，以为公比的等比数列，T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3.18