高考数学一轮复习总教案：5.4　三角恒等变换.doc

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1、5.4三角恒等变换典例精析题型一三角函数的求值【例1】已知0，0，3sin sin(2)，4tan 1tan2，求的值.【解析】由4tan 1tan2，得tan .由3sin sin(2)得3sin()sin()，所以3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ，来源:学§科§网来源:即2sin()cos 4cos()sin ，所以tan()2tan 1.又因为、(0，)，所以.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan()，tan()，那么ta

2、n()等于()A. B. C. D.【解析】因为()()，所以tan()tan()().故选C.题型二等式的证明【例2】求证：2cos().【证明】证法一：右边左边.证法二：2cos()，所以2cos().【点拨】证法一将2写成()，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式训练2】已知5sin 3sin(2)，求证：tan()4tan 0.来源:【证明】因为5sin 3sin(2)，所以5sin()3sin()，所以5sin()cos 5cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，所以2sin()cos 8cos()sin

3、 0.即tan()4tan 0.题型三三角恒等变换的应用【例3】已知ABC是非直角三角形.(1)求证：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；(2)若AB且tan A2tan B，求证：tan C；(3)在(2)的条件下，求tan C的最大值.【解析】(1)因为C(AB)，所以tan Ctan(AB)，所以tan Ctan Atan Btan Ctan Atan B，即tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.(2)由(1)知tan C.来源:(3)由(2)知tan C，当且仅当2tan B，即tan B时，等号成立.所以tan C的最大值为.【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.来源:【变式训练3】在ABC中，tan Btan Ctan Btan C，tan Atan B1tan Atan B，试判断ABC的形状.【解析】由已知得tan Btan C(1tan Btan C)，(tan Atan B)(1tan Atan B)，即，.所以tan(BC)，tan(AB).因为0BC，0AB，所以BC，AB.又ABC，故A，BC.所以ABC是顶角为的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：统一角度，即化为同一个角的三角函数；统一名称，即化为同一种三角函数；统一结构形式.