2022届高三数学一轮复习（原卷版）第06讲 二次函数与幂函数 （讲）解析版.docx

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1、第06讲 二次函数与幂函数 【学科素养】数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析【课标解读】1.了解二次函数、幂函数的概念，掌握幂函数，的图象和性质。2.了解幂函数的变化特征。【备考策略】1.与二次函数相关的单调性、最值问题，除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；2.幂函数的图象与性质的应用；3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质。【核心知识】知识点一 幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在

2、(0，)上单调递增；当<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减.知识点二 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数yax2bxc(a>0)yax2bxc(a<0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x顶点坐标奇偶性当b0时是偶函数，当b0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数【特别提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的

3、开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)ax2bxc(a0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.【高频考点】高频考点一 幂函数的图象与性质例1.(2018·上海卷)已知，.若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则_.【答案】1【解析】由题意知可取1，1，3.又yx在(0，)上是减函数，<0，取1.【方法技巧】幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)判断幂函数yx(R)的奇偶性时，当是分数时，一般将其先化为根式，再判断(3)若幂函数yx在(0，)上单调递增，

4、则>0，若在(0，)上单调递减，则<0.【变式探究】(2021·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f (x)(m1)xn的图象上设af ，bf (ln )，cf (2)，则a，b，c的大小关系是()Aa<c<b Ba<b<c Cb<c<a Db<a<c【答案】A【解析】因为f (x)(m1)xn为幂函数，所以m11，则m2，f (x)xn.又点(2,8)在函数f (x)xn的图象上，所以82n，知n3，故f (x)x3，且在R上是增函数又ln >1>2>，所以f (ln )>f (2)>f

5、，则b>c>a.【变式探究】(2021·山西省晋城模拟)当0<x<1时，f(x)x1.1，g(x)x0.9，h(x)x2的大小关系是_【解析】如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)【答案】h(x)>g(x)>f(x)高频考点二 求二次函数的解析式例2.(2021·辽宁省鞍山模拟)已知二次函数f (x)x2bxc满足f (0)3，对xR，都有f (1x)f (1x)成立，则f (x)_.【答案】x22x3【解析】由f (0)3，得c3.又f (1x)f (1x)，所以

6、函数f (x)的图象关于直线x1对称，所以1，所以b2，所以f (x)x22x3.【方法技巧】求二次函数解析式的策略（1）已知三点坐标，选用一般式（2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式（3）已知与x轴两点坐标，选用零点式【变式探究】(2021·吉林省四平模拟)已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式【解】法一：(利用一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.法二：(利用顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)因为f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为x.所以m.又根据

7、题意函数有最大值8，所以n8，所以f(x)a8.因为f(2)1，所以a81，解得a4，所以f(x)484x24x7.法三：(利用零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，即8.解得a4或a0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)4x24x7.高频考点三二次函数的图象及应用例3.(2021·黑龙江省双鸭山模拟)已知abc>0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()【答案】D【解析】A项，因为a<0，<0，所以b<0.又因为abc>0，所以c>0，而f(

8、0)c<0，故A错B项，因为a<0，>0，所以b>0.又因为abc>0，所以c<0，而f(0)c>0，故B错C项，因为a>0，<0，所以b>0.又因为abc>0，所以c>0，而f(0)c<0，故C错D项，因为a>0，>0，所以b<0，因为abc>0，所以c<0，而f(0)c<0，故选D.【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线

9、的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【变式探究】(2021·江苏省常州模拟)如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为直线x1.下面四个结论中正确的是()A b2<4acB2ab1Cabc0D5a<b【答案】D【解析】因为二次函数yax2bxc的图象与x轴交于两点，所以b24ac>0，即b2>4ac，A错误；二次函数的图象的对称轴为直线x1，即1，得2ab0，B错误；结合图象知，当x1时，y>0，即abc>0，C错误；因为函数的图象开口向下，所以a<0

10、，所以5a<2a，即5a<b，D正确故选D高频考点四 二次函数的单调性例4.（2021·广东广雅中学模拟）已知函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0)B(，3C2,0 D3,0【答案】D【解析】当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0【方法技巧】(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对

11、称性转化到同一单调区间上比较【变式探究】（2021·山东淄博模拟）函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)>f(cx) D与x有关，不确定【答案】A【解析】 由题意知，函数f(x)的图象关于直线x1对称，b2，又f(0)3，c3，则bx2x，cx3x.易知f(x)在(，1)上单调递减，在1，)上单调递增若x0，则3x2x1，f(3x)f(2x)；若x0，则3x2x1，f(3x)>f(2x)f(3x)f(2x)，即f(bx)f(cx)故选A.高频考点五 二

12、次函数的最值问题例5.(2021·安徽省芜湖模拟)已知函数f(x)x22ax1，x1，2(1)若a1，求f(x)的最大值与最小值；(2)f(x)的最小值记为g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值【解析】(1)当a1时，f(x)x22x1(x1)2，x1，2，则当x1时，f(x)的最小值为0，x1时，f(x)的最大值为4.(2)f(x)(xa)21a2，x1，2，当a<1时，f(x)的最小值为f(1)22a，当1a2时，f(x)的最小值为f(a)1a2，当a>2时，f(x)的最小值为f(2)54a，则g(a)可知，g(a)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减

13、，g(a)的最大值为g(0)1.【方法技巧】(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象反之，也可以从图象中得到如上信息(2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：对称轴和区间都是给定的；对称轴动，区间固定；对称轴定，区间变动解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴具体方法是利用函数的单

14、调性及分类讨论的思想求解对于、，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论【变式探究】(2021·福建省福清华侨中学模拟)若函数f(x)ax220x14(a0)对任意实数t，在闭区间t1，t1上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)f(x2)|8成立，则实数a的最小值为_【解析】因为a0，所以二次函数f(x)ax220x14的图象开口向上在闭区间t1，t1上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)f(x2)|8成立，只需t时f(t1)f(t)8，即a(t1)220(t1)14(at220t14)8，即2ata208，将t代入得a8.所以a的最小值为8.故答案为8.【答案】8高

15、频考点六 二次函数中的恒成立问题例6.（2021·湖北武汉模拟） 已知函数f(x)x2x1，在区间1,1上，不等式f(x)>2xm恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】(，1)【解析】f(x)>2xm等价于x2x1>2xm，即x23x1m>0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m>0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m1>0，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)【方法技巧】由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.【变式探究】(2021·山东省烟台模拟)设函数f (x)ax22x2，对于满足1<x<4的一切x值都有f (x)>0，则实数a的取值范围为_【解析】由题意得a>对1<x<4恒成立又2，<<1，所以max.所以a>.