2018高考数学（文）大一轮复习习题 第六章 不等式、推理与证明 Word版含答案.doc

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1、第六章第六章 不等式、推理与证明不等式、推理与证明 第一节第一节不等关系与不等式不等关系与不等式 1 1两个实数比较大小的依据两个实数比较大小的依据 (1)(1)a ab b0 0a ab b (2)(2)a ab b0 0a ab b (3)(3)a ab b0 0a ab b 2 2不等式的性质不等式的性质 (1)(1)对称性：对称性：a a b bb b b b，b b c ca a c c； (3)(3)可加性：可加性：a a b ba ac c b bc c； a a b b，c c d da ac c b bd d； (4)(4)可乘性：可乘性：a a b b，c c00acac

2、bcbc； a a b b00，c c d d00acac bdbd； (5)(5)可乘方：可乘方：a a b b00a an n b bn n( (n nN N，n n1)1)； (6)(6)可开方：可开方：a a b b00n na a n nb b( (n nN N，n n2)2) 1 1( (教材习题改编教材习题改编) )用不等号用不等号“”或或“”填空：填空： (1)(1)a ab b，c cd da ac c_b bd d； (2)(2)a ab b0 0，c cd d0 0acac_bdbd； (3)(3)a ab b0 03 3a a_3 3b b 答案：答案：(1)(1) (

3、2)(2) (3)(3) 2 2 限速 限速40 km/h40 km/h的路标， 指示司机在前方路段行驶时， 应使汽车的速度的路标， 指示司机在前方路段行驶时， 应使汽车的速度v v不超过不超过40 km/h40 km/h，写成不等式就是写成不等式就是_ 答案：答案：v v40 km/h40 km/h 3 3若若 00a a 00，则，则b bc ca ac c与与a ac cb bc c的大小关系为的大小关系为_ 答案：答案：b bc ca ac c a ac cb bc c 1 1在应在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ab b，b b c ca

4、 a b bacac2 2 bcbc2 2；若无若无c c00 这个条件，这个条件，a a b bacac2 2 bcbc2 2就是错误结论就是错误结论( (当当c c0 0 时，取时，取“”)”) 1 1设设a a，b b，c cR R，且，且a a b b，则，则( ( ) ) A Aacac bcbc B B1 1a a b b2 2 D D a a3 3 b b3 3 答案：答案：D D 2 2若若abab00，且，且a a b b，则，则1 1a a与与1 1b b的大小关系是的大小关系是_ 答案：答案：1 1a a 1 1b b 考点一考点一 比较两个数比较两个数式式的大小的大小基

5、础送分型考点基础送分型考点自主练透自主练透 1 1 已知 已知x xR R，m m( (x x1)1) x x2 2x x2 21 1 ，n n x x1 12 2( (x x2 2x x1)1)， 则， 则m m，n n的大小关系为的大小关系为( ( ) ) A Am mn n B Bm mn n C Cm mn n D Dm mn n 答案：答案：B B 2 2若若a aln 2ln 22 2，b bln 3ln 33 3，则，则a a_b b( (填填“”或或“”)”) 解析：易知解析：易知a a，b b都是正数，都是正数，b ba a2ln 32ln 33ln 23ln 2loglog

6、8 89 91 1，所以，所以b ba a 答案：答案： 3 3 已知等比数列 已知等比数列 a an n 中，中，a a1 10 0，q q0 0， 前， 前n n项和为项和为S Sn n， 则， 则S S3 3a a3 3与与S S5 5a a5 5的大小关系为的大小关系为_ 解析：当解析：当q q1 1 时，时，S S3 3a a3 33 3，S S5 5a a5 55 5，所以，所以S S3 3a a3 3S S5 5a a5 5 当当q q0 0 且且q q11 时，时， S S3 3a a3 3S S5 5a a5 5a a1 1q q3 3a a1 1q q2 2q qa a1

7、1q q5 5a a1 1q q4 4q q q q2 2q q3 3q q5 5q q4 4q qq q1 1q q4 40 0， 所以所以S S3 3a a3 3S S5 5a a5 5 综上可知综上可知S S3 3a a3 3S S5 5a a5 5 答案：答案：S S3 3a a3 3S S5 5a a5 5 比较两实数比较两实数( (式式) )大小的大小的 2 2 种常用方法种常用方法 作差法作差法 其基本步骤：作差，变形，判断符号，得出结论用作差法比较大小的其基本步骤：作差，变形，判断符号，得出结论用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子关键是判断差的正负，

8、常采用配方、因式分解、分子( (分母分母) )有理化等变有理化等变形方法形方法 作商法作商法 判断商与判断商与 1 1 的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与 1 1 的大小确定的大小确定后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤最容易漏掉的关键步骤 考点二考点二 不等式的性质不等式的性质重点保分型考点重点保分型考点师生共研师生共研 1 1设设a a，b bR R 则则“(“(a ab b)a a2 20”0”是是“a a b b”的的( ( ) )

9、A A充分不必要条件充分不必要条件 B B必要不充分条件必要不充分条件 C C充要条件充要条件 D D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析： 选解析： 选 A A ( (a ab b)a a2 20 0， 则必有， 则必有a ab b0 0， 即， 即a ab b； 而； 而a ab b时， 不能推出时， 不能推出( (a ab b)a a2 20 0，如，如a a0 0，b b1 1，所以，所以“(“(a ab b)a a2 20”0”是是“a ab b”的充分不必要条件的充分不必要条件 2 2若若a ab b0 0，c cd d0 0，则一定有，则一定有( ( ) ) A Aa

10、ad db bc c B Ba ad db bc c C Ca ac cb bd d D Da ac cb bd d 解析：选解析：选 B B 法一：因为法一：因为c cd d0 0，所以，所以c cd d0 0， 所以所以1 1d d1 1c c0 0 又又a ab b0 0，所以，所以a ad db bc c，所以，所以a ad db bc c故选故选 B B 法二：法二： c cd d0 0cdcd0 0c cd d0 0c ccdcdd dcdcd0 0 1 1d d1 1c c0 0 1 1d d1 1c c0 0a ab b0 0a ad db bc ca ad db bc c 法

11、三：令法三：令a a3 3，b b2 2，c c3 3，d d2 2， 则则a ac c1 1，b bd d1 1，排除选项，排除选项 C C、D D； 又又3 32 22 23 3，排除，排除 A A故选故选 B B 不等式性质应用问题的不等式性质应用问题的 3 3 大常见类型及解题策略大常见类型及解题策略 (1)(1)利用不等式性质比较大小 熟记不等式性质的条件和结论是基础， 灵活运用是关键，利用不等式性质比较大小 熟记不等式性质的条件和结论是基础， 灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件要注意不等式性质成立的前提条件 (2)(2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断与充要条

12、件相结合问题用不等式的性质分别判断p pq q和和q qp p是否正确，要注意是否正确，要注意特殊值法的应用特殊值法的应用 (3)(3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法用特殊值验证的方法 1 1(2016(2016河南六市第一次联考河南六市第一次联考) )若若1 1a a1 1b b0 0，则下列结论不正确的是，则下列结论不正确的是( ( ) ) A Aa a2 2b b2 2 B Bababb b2 2 C Ca ab b0 0 D D| |a a| | |b b|

13、| |a ab b| | 解析：选解析：选 D D 1 1a a1 1b b0 0，b ba a0 0，b b2 2a a2 2，ababb b2 2，a ab b0 0，选项选项 A A、B B、C C 均均正确，正确，b ba a0 0，| |a a| | |b b| | |a ab b| |，故，故 D D 项错误，故选项错误，故选 D D 2 2(2017(2017赣中南五校联考赣中南五校联考) )对于任意实数对于任意实数a a，b b，c c，d d，有以下四个命题：，有以下四个命题： 若若acac2 2bcbc2 2，则，则a ab b； 若若a ab b，c cd d，则，则a

14、ac cb bd d； 若若a ab b，c cd d，则，则acacbdbd； 若若a ab b，则，则1 1a a1 1b b 其中正确的有其中正确的有( ( ) ) A A1 1 个个 B B2 2 个个 C C3 3 个个 D D4 4 个个 解析：选解析：选 B B 由由acac2 2bcbc2 2，得，得c c00，则，则a ab b，正确；正确； 由不等式的同向可加性可知由不等式的同向可加性可知正确；正确； 错误，当错误，当 0 0c cd d时，不等式不成立时，不等式不成立 错误，令错误，令a a1 1，b b2 2，满足，满足1 12 2，但，但1 11 11 12 2故选故

15、选 B B 考点三考点三 不等式性质的应用不等式性质的应用重点保分型考重点保分型考点点师生共研师生共研 已知函数已知函数f f( (x x) )axax2 2bxbx，且，且 11f f( (1)21)2，22f f(1)4(1)4求求f f( (2)2)的取值范围的取值范围 解：由题意知解：由题意知f f( (1)1)a ab b，f f(1)(1)a ab b f f( (2)2)4 4a a2 2b b设设m m( (a ab b) )n n( (a ab b) )4 4a a2 2b b 则则 m mn n4 4，m mn n2 2，解得解得 m m1 1，n n3.3. f f( (

16、2)2)( (a ab b) )3(3(a ab b) )f f(1)(1)3 3f f( (1)1) 11f f( (1)2,21)2,2f f(1)4(1)4，55f f( (2)102)10 即即f f( (2)2)的取值范围为的取值范围为 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系

17、，最后通过是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性一次性”不等关系的不等关系的运算求解范围运算求解范围 1 1若若 6 6a a1010，a a2 2b b22a a，c ca ab b，则，则c c的取值范围是的取值范围是( ( ) ) A A B B(15,30)(15,30) C C D D(9,30)(9,30) 解析： 选解析： 选 D D a a2 2b b22a a， 3 3a a2 2a ab b33a a， 即， 即3 3a a2 2c c33a a 6 6a a1010， 9 9c c3030 故 故选选 D D 2 2已知已知11x x4,24,

18、2y y33，则，则x xy y的取值范围是的取值范围是_，3 3x x2 2y y的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：11x x4,24,2y y33， 33y y 2 2， 44x xy y22 由由11x x4,24,2y y33， 得得3333x x12,4212,42y y66， 1313x x2 2y y18 22，T T x x| |x x2 23 3x x4040，则，则( ( R RS S) )T T( ( ) ) A A( (2,12,1 B B( (，44 C C( (，1 1 D D 1 1不等式不等式x x3 3x x1 100 的解集为的解集为( ( ) ) A

19、 A x x| |x x1 1 或或x x3 3 B B x x|1|1x x33 C C x x|1|1x x3 3 D D x x|1|1x x33 解析：选解析：选 C C 由由x x3 3x x1 100，得，得 x xx x，x x1010， 解得解得 1 1x x33 2 2若不等式若不等式mxmx2 22 2mxmx1010 的解集为的解集为 R R，则，则m m的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：当当m m0 0 时，时，1010 显然成立显然成立 当当m m00 时，由条件知时，由条件知 m m00，4 4m m2 24 4m m0.0.得得 00m m11 由由知知 0

20、0m m100，则不等式则不等式f f( (x x) )x x22 的解集是的解集是_ 解析：当解析：当x x00 时，原不等式等价于时，原不等式等价于 2 2x x2 21 1x x22，1 12 2x x00；当；当x x00 时，原不等时，原不等式等价于式等价于2 2x xx x22，x x00综上所述，原不等式的解集为综上所述，原不等式的解集为 xxxx1 12 2 答案：答案： xxxx1 12 2 2 2不等式不等式2 2x x1 1x x5 51 1 的解集为的解集为_ 解析：将原不等式移项通分得解析：将原不等式移项通分得3 3x x4 4x x5 500， 等价于等价于 x x

21、x x，x x5050，解得解得x x5 5 或或x x4 43 3 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 x x x x4 43 3或或x x55 答案：答案： x x x x4 43 3或或x x55 3 3解下列不等式：解下列不等式： (1)(1)(易错题易错题) )3 3x x2 22 2x x8080； (2)0(2)0 x x2 2x x2424 解：解：(1)(1)原不等式可化为原不等式可化为 3 3x x2 22 2x x8080， 即即(3(3x x4)(4)(x x2)02)0 解得解得22x x4 43 3， 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 x x 22x

22、x4 43 3 (2)(2)原不等式等价于原不等式等价于 x x2 2x x2 20 0，x x2 2x x2424 x x2 2x x2 20 0，x x2 2x x6060 x xx x0 0，x xx x x x2 2或或x x1 1，22x x3.3. 借助于数轴，如图所示，借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 x x| |22x x1 1或或2 2x x33 解一元二次不等式的解一元二次不等式的 4 4 个步骤个步骤 考点二考点二 含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法重点保分型考点重点保分型考点师生共研师生共研 解关于解关于x x的不等

23、式的不等式axax2 2( (a a1)1)x x1 10(0(a a0)0) 解：原不等式变为解：原不等式变为( (axax1)(1)(x x1)1)0 0， 因为因为a a0 0，所以，所以a a x x1 1a a( (x x1)1)0 0， 所以当所以当a a1 1 时，解为时，解为1 1a ax x1 1； 当当a a1 1 时，解集为时，解集为 ； 当当 0 0a a1 1 时，解为时，解为 1 1x x1 1a a 综上，当综上，当 0 0a a1 1 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 x x 1 1x x1 1a a 当当a a1 1 时，不等式的解集为时，不等式的解集为

24、当当a a1 1 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 x x 1 1a ax x1 1 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)(1)二次项中若含有参数应讨论是等于二次项中若含有参数应讨论是等于 0 0，小于，小于 0 0，还是大于，还是大于 0 0，然后将不等式转化为一，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式次不等式或二次项系数为正的形式 (2)(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与与 0 0 的关系的关系 (3)(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨

25、论两根的大小关系，从而确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式确定解集形式 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于 0 0 的情况的情况 1 1已知不等式已知不等式axax2 2bxbx1010 的解集是的解集是 1 12 2，1 13 3，则不等式，则不等式x x2 2bxbxa a0 0 的解集是的解集是( ( ) ) A A(2,3)(2,3) B B( (，2)2)(3(3，) C C 1 13 3，1 12 2 D D ，1 13 3 1 12 2， 解析：选解析：选 A A

26、 由题意知由题意知1 12 2，1 13 3是方程是方程axax2 2b bx x1 10 0 的根，所以由根与系数的关系得的根，所以由根与系数的关系得1 12 2 1 13 3b ba a，1 12 2 1 13 31 1a a解得解得a a6 6，b b5 5，不等式，不等式x x2 2bxbxa a0 0 即为即为x x2 25 5x x6 60 0，解集为，解集为(2,3)(2,3) 2 2求不等式求不等式 1212x x2 2axax a a2 2( (a aR)R)的解集的解集 解：原不等式可化为解：原不等式可化为 1212x x2 2axaxa a2 200， 即即( (4 4x

27、 xa a)(3)(3x xa a)0)0， 令令(4(4x xa a)(3)(3x xa a) )0 0，解得，解得x x1 1a a4 4，x x2 2a a3 3 当当a a00 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 ，a a4 4 a a3 3， ； 当当a a0 0 时，不等式的解集为时，不等式的解集为( (，0)0)(0(0，)； 当当a a0040，g gx xx x2 24 4x x4040， 解得解得x x133 故当故当x x( (，1)1)(3(3，)时，对任意的时，对任意的m m，函数，函数f f( (x x) )的值恒大于零的值恒大于零 一元二次型不等式恒成立问题的一

28、元二次型不等式恒成立问题的 3 3 大破解方法大破解方法 方法方法 解解 读读 适合题型适合题型 判别式法判别式法 (1)(1)axax2 2bxbxc c00 对任意实数对任意实数x x恒成立的条件是恒成立的条件是 a a00，00； (2)(2)axax2 2bxbxc c00 对任意实数对任意实数x x恒成立的条件是恒成立的条件是 a a00)0恒成立恒成立 f fm mf fn n， 若若f f( (x x)0)010 得得x x11，即，即B B x x| |x x11， 所以所以A AB B x x|1|100的解集为的解集为 x x| |22x x12)|x x( (x x2)2

29、)的解集是的解集是_ 解析：不等式解析：不等式| |x x( (x x2)|2)|x x( (x x2)2)的解集即的解集即x x( (x x2)02)0 的解集，解得的解集，解得 00 x x22 答案：答案： x x|0|0 x x22 5 5若若 00a a100 的解集是的解集是_ 解析：原不等式为解析：原不等式为( (x xa a) ) x x1 1a a00， 由由 00a a11 得得a a 1 1a a，a a x x 1 1a a 答案：答案： x x a a x x 1 1a a 二保高考，全练题型做到高考达标二保高考，全练题型做到高考达标 1 1已知不等式已知不等式x x

30、2 22 2x x3 30 0 的解集为的解集为A A，不等式，不等式x x2 2x x6 60 0 的解集为的解集为B B，不等式，不等式x x2 2axaxb b0 0 的解集为的解集为A AB B，则，则a ab b等于等于( ( ) ) A A3 3 B B1 1 C C1 1 D D3 3 解析：选解析：选 A A 由题意得，由题意得，A A x x| |1 1x x33，B B x x| |3 3x x22，A AB B x x| |1 1x x22，由根与系数的关系可知，由根与系数的关系可知，a a1 1，b b2 2，则，则a ab b3 3 2 2不等式不等式2 2x x1

31、111 的解集是的解集是( ( ) ) A A( (，1)1)(1(1，) ) B B(1(1，) C C( (，1) 1) D D( (1,1)1,1) 解析：选解析：选 A A 2 2x x1 111，2 2x x1 11010，即，即1 1x xx x1 1001)0，x x 11 3 3(2017(2017郑州调研郑州调研) )规定记号规定记号“”表示一种运算，定义表示一种运算，定义a ab bababa ab b( (a a，b b为为正实数正实数) )，若，若 1 1k k2 23 3，则，则k k的取值范围是的取值范围是( ( ) ) A A( (1,1) 1,1) B B(0,

32、1)(0,1) C C( (1,0) 1,0) D D(0,2)(0,2) 解析：选解析：选 A A 因为定义因为定义a ab bababa ab b( (a a，b b为正实数为正实数) )， 1 1k k2 23 3，所以，所以k k2 21 1k k2 23 3， 化为化为(|(|k k| |2)(|2)(|k k| |1)1)0 0，所以，所以| |k k| |1 1， 所以所以1 1k k1 1 4 4某商场若将进货单价为某商场若将进货单价为 8 8 元的商品按每件元的商品按每件 1010 元出售，每天可销售元出售，每天可销售 100100 件，现准备件，现准备采用提高售价来增加利润

33、已知这种商品每件销售价提高采用提高售价来增加利润已知这种商品每件销售价提高 1 1 元，销售量就要减少元，销售量就要减少 1010 件那件那么要保证每天所赚的利润在么要保证每天所赚的利润在 320320 元以上，销售价每件应定为元以上，销售价每件应定为( ( ) ) A A1212 元元 B B1616 元元 C C1212 元到元到 1616 元之间元之间 D D1010 元到元到 1414 元之间元之间 解析：选解析：选 C C 设销售价定为每件设销售价定为每件x x元，利润为元，利润为y y， 则则y y( (x x8)8)， 依题意有，依题意有，( (x x8)8)320320， 即即

34、x x2 22828x x1921920 0， 解得解得 1212x x1616， 所以每件销售价应为所以每件销售价应为 1212 元到元到 1616 元之间元之间 5 5若不等式若不等式x x2 2( (a a1)1)x xa a00 的解集是的子集，则的解集是的子集，则a a的取值范围的取值范围是是( ( ) ) A A B B C C D D 解析：选解析：选 B B 原不等式为原不等式为( (x xa a)()(x x1)01)0，当，当a a11 时，不等式的解集为，此时只要时，不等式的解集为，此时只要a a4 4 即可，即即可，即44a a111 时，不等时，不等式的解集为，此时只

35、要式的解集为，此时只要a a33 即可，即即可，即 11a a33综上可得综上可得44a a33 6 6不等式不等式x x2 2axax4040 的解集不是空集，则实数的解集不是空集，则实数a a的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：不等式不等式x x2 2axax4040440，即，即a a2 21616 a a44 或或a a 0(1)0； (2)(2)若不等式若不等式f f( (x x)b b的解集为的解集为( (1,3)1,3)，求实数，求实数a a，b b的值的值 解：解：(1)(1)f f( (x x) )3 3x x2 2a a(6(6a a) )x x6 6， f f(1)(

36、1)3 3a a(6(6a a) )6 6a a2 26 6a a3 3， 原不等式可化为原不等式可化为a a2 26 6a a3030， 解得解得 3 32 2 3 3 a a332 2 3 3 原不等式的解集为原不等式的解集为 a a|3|32 2 3 3 a a3)b b的解集为的解集为( (1,3)1,3)等价于方程等价于方程3 3x x2 2a a(6(6a a) )x x6 6b b0 0 的两根为的两根为1,31,3， 等价于等价于 1 13 3a aa a3 3，13136 6b b3 3， 解得解得 a a33 3 3，b b3.3. 1010(2017(2017北京朝阳统一

37、考试北京朝阳统一考试) )已知函数已知函数f f( (x x) )x x2 22 2axax1 1a a，a aR R (1)(1)若若a a2 2，试求函数，试求函数y yf fx xx x( (x x0)0)的最小的最小值；值； (2)(2)对于任意的对于任意的x x，不等式，不等式f f( (x x)a a成立，试求成立，试求a a的取值范围的取值范围 解：解：(1)(1)依题意得依题意得y yf fx xx xx x2 24 4x x1 1x xx x1 1x x4 4 因为因为x x00，所以，所以x x1 1x x22 当且仅当当且仅当x x1 1x x时，即时，即x x1 1 时

38、，等号成立时，等号成立 所以所以y y2 2 所以当所以当x x1 1 时，时，y yf fx xx x的最小值为的最小值为2 2 (2)(2)因为因为f f( (x x) )a ax x2 22 2axax1 1， 所以要使得所以要使得“ x x，不等式，不等式f f( (x x)a a成立成立”， 只要只要“x x2 22 2axax1010 在恒成立在恒成立” 不妨设不妨设g g( (x x) )x x2 22 2axax1 1， 则只要则只要g g( (x x)0)0 在上恒成立即可在上恒成立即可 所以所以 g g，g g， 即即 0 00 01010，4 44 4a a1010， 解

39、得解得a a3 34 4 则则a a的取值范围为的取值范围为 3 34 4， 三上台阶，自主选做志在冲刺名校三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1 1(2016(2016太原模拟太原模拟) )若关若关于于x x的不等式的不等式x x2 24 4x x2 2a a00 在区间在区间(1,4)(1,4)内有解，则实数内有解，则实数a a的取值范围是的取值范围是( ( ) ) A A( (，2) 2) B B( (2 2，) C C( (6 6，) ) D D( (，6)6) 解析：选解析：选 A A 不等式不等式x x2 24 4x x2 2a a00 在区间在区间(1,4)(1,4)内有解等价于内有

40、解等价于a a(x x2 24 4x x2)2)maxmax，令，令g g( (x x) )x x2 24 4x x2 2，x x(1,4)(1,4)，g g( (x x)g g(4)(4)2 2，a a 0(0(a a0)0) 2 2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有 3 3在通过求直线的截距在通过求直线的截距z zb b的最值间接求出的最值间接求出z z的最值时，要注意：当的最值时，要注意：当b b

41、00 时，截距时，截距z zb b取最取最大值时，大值时，z z也取最大值；截距也取最大值；截距z zb b取最小值时，取最小值时，z z也取最小值；当也取最小值；当b b000，作出可行域如图所示，由题意知，作出可行域如图所示，由题意知y y1 1x x1 1的最小值是的最小值是1 14 4， 即即 y y1 1x x1 1minmin0 03 3a a1 13 3a a1 11 14 4a a1 1 答案：答案：1 1 2 2 (2016(2016天津高考天津高考) )某化肥厂生产甲、 乙两种混合肥料， 需要某化肥厂生产甲、 乙两种混合肥料， 需要A A，B B，C C三种主要原料 生三种

42、主要原料 生产产 1 1 车皮甲种肥料和生产车皮甲种肥料和生产 1 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 原料原料 肥料肥料 A A B B C C 甲甲 4 4 8 8 3 3 乙乙 5 5 5 5 1010 现有现有A A种原料种原料 200200 吨，吨，B B种原料种原料 360360 吨，吨，C C种原料种原料 300300 吨在此基础上生产甲、乙两种吨在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产肥料已知生产 1 1 车皮甲种肥料，产生的利润为车皮甲种肥料，产生的利润为 2 2 万元；生产万元；生产 1 1 车皮乙种肥料，产生的利车皮乙种肥

43、料，产生的利润为润为 3 3 万元分别用万元分别用x x，y y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数 (1)(1)用用x x，y y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)(2)问分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮， 能够产生最大的利润？并求出此最大利润问分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮， 能够产生最大的利润？并求出此最大利润 解：解： (1)(1)由已知，由已知，x x，y y满足的数学关系式为满足的数学关系式为 4 4x x5 5y y200200，8 8x x5 5y y360360

44、，3 3x x1010y y300300，x x00，y y0.0. 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的阴影部分 (2)(2)设利润为设利润为z z万元，则目标函数为万元，则目标函数为z z2 2x x3 3y y 考虑考虑z z2 2x x3 3y y，将它变形为，将它变形为y y2 23 3x xz z3 3，它的图象是斜率为，它的图象是斜率为2 23 3，随，随z z变化的一族平变化的一族平行直线，行直线，z z3 3为直线在为直线在 y y轴上的截距，当轴上的截距，当z z3 3取最大值时，取最大值时，z z的值最大根据的值最大

45、根据x x，y y满足的约束条件，由图满足的约束条件，由图可知，可知，当直线当直线z z2 2x x3 3y y经过可行域上的点经过可行域上的点M M时，截距时，截距z z3 3最大，即最大，即z z最大最大 解方程组解方程组 4 4x x5 5y y200200，3 3x x1010y y300300，得点得点M M的坐标为的坐标为(20,24)(20,24)， 所以所以z zmaxmax220220324324112112 答：生产甲种肥料答：生产甲种肥料 2020 车皮，乙种肥料车皮，乙种肥料 2424 车皮时利润最大，且最大利润为车皮时利润最大，且最大利润为 112112 万元万元 第

46、四节第四节基本不等式基本不等式 1 1基本不等式基本不等式ababa ab b2 2 (1)(1)基本不等式成立的条件：基本不等式成立的条件：a a00，b b00 (2)(2)等号等号成立的条件：当且仅当成立的条件：当且仅当a ab b 2 2几个重要的不等式几个重要的不等式 (1)(1)a a2 2b b2 2 2 2abab( (a a，b bR)R)；(2)(2)b ba aa ab b2 2( (a a，b b同号同号) )； (3)(3)abab a ab b2 22 2( (a a，b bR)R)；(4)(4) a ab b2 22 2a a2 2b b2 22 2( (a a，

47、b bR)R) 3 3算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 设设a a0 0，b b00，则，则a a，b b的算术平均数为的算术平均数为a ab b2 2，几何平均数为，几何平均数为abab，基本不等式可叙述，基本不等式可叙述为：为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4 4利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题 已知已知x x00，y y00，则，则 (1)(1)如果如果xyxy是定值是定值p p，那么当且仅当，那么当且仅当x xy y时，时，x xy y有最小值是有最小值是 2 2p p( (简记：积定和最简记：积定和最

48、小小) ) (2)(2)如果如果x xy y是定值是定值q q，那么当且仅当，那么当且仅当x xy y时，时，xyxy有最大值是有最大值是q q2 24 4( (简记：和定积最大简记：和定积最大) ) 1 1( (教材习题改编教材习题改编) )设设x x，y yR R，且，且x xy y1818，则，则xyxy的最大值为的最大值为_ 答案：答案：8181 2 2若实数若实数x x，y y满足满足xyxy1 1，则，则x x2 22 2y y2 2的最小值为的最小值为_ 解析解析：x x2 22 2y y2 2x x2 2( ( 2 2y y) )2 222x x( ( 2 2y y) )2 2

49、 2 2， 所以所以x x2 22 2y y2 2的最小值为的最小值为 2 2 2 2 答案：答案：2 2 2 2 1 1使用基本不等式求最值，使用基本不等式求最值，“一正一正”“”“二定二定”“”“三相等三相等”三个条件缺一不可三个条件缺一不可 2 2“当且仅当当且仅当a ab b时等号成立时等号成立”的含义是的含义是“a ab b”是等号成立的充要条件，这一点是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误至关重要，忽略它往往会导致解题错误 3 3连连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致 1 1判断正误判断正误(

50、 (在括号内打在括号内打“”“”或或“”)“”) (1)(1)当当a a00，b b00 时，时，a ab b2 2abab( ( ) ) (2)(2)两个不等式两个不等式a a2 2b b2 222abab与与a ab b2 2abab成立的条件是相同的成立的条件是相同的( ( ) ) (3)(3)x x0 0 且且y y00 是是x xy yy yx x22 的充要条件的充要条件( ( ) ) 答案：答案：(1)(1) (2)(2) (3)(3) 2 2若若f f( (x x) )x x1 1x x2 2( (x x2)2)在在x xn n处取得最小处取得最小值，则值，则n n等于等于(