2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（二）（全国2卷）（解析版）.docx

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1、2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（二）（全国2卷）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1若集合,则（ ）ABCD【答案】D【解析】因为或,所以.故选D.2已知为实数,复数（为虚数单位）,复数的共轭复数为,若为纯虚数,则（ ）ABCD【答案】B【解析】为纯虚数,则,则,故选B.3某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成0,5)，5,10)，30,35)，35

2、,40时，所作的频率分布直方图是()【答案】A【解析】由于频率分布直方图的组距为5，排除C、D，又0,5)，5,10)两组各一人，排除B，故选A.4已知是定义在上的奇函数,且,当时,则（ ）ABCD【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数,所以图象的对称中心为,且因为,所以图象的对称轴方程为,故的周期,从而,故选A5申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数学联赛,4名同学各自对结果的估计如下,A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”;C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”；已知其中有且只有2人的估计是正确的,则取得参加联赛的是（ ）AA同学BB同学CC同

3、学DD同学【答案】A【解析】假设参赛的是A同学,则A、C同学估计正确,B、D同学估计错误,则只有2人的估计是正确,即参加联赛的是A同学；假设参赛的是B同学,则B、C、D同学估计正确,A同学估计错误；假设参赛的是C同学,则A、B、C、D同学估计错误；假设参赛的是D同学,则A、B、C同学估计错误,D同学估计正确；故选A.6函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为,所以为奇函数,排除C,D；又因为时,排除B,故选A.7设抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点若ABD90°,且ABF的面积为9,则下列

4、说法正确的是（ ）ABF是等边三角形；|BF|3；点F到准线的距离为3；抛物线C的方程为y26x.ABCD【答案】C【解析】根据题意,作出示意图,因为以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,ABD90°,由抛物线的定义可得|AB|AF|BF|,所以ABF是等边三角形,所以FBD30°.因为ABF的面积为|BF|29,所以|BF|6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°3p,则该抛物线的方程为y26x.故选C.8已知数列的前项和为,且满足,则（ ）ABCD【答案】D【解析】,所以数列是以3为周期的周期数列,前三项和,所以,所以.故选D.9不等式组的解集

5、记为,则“,使成立”的必要不充分条件是（ ）ABCD【答案】A【解析】画出不等式组表示的区域,如图中阴影部分所示,其中、,使成立,则,平移直线,当直线经过点时,直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即,因此,“,使成立”的必要不充分条件可以是“”.故选A.10已知为等边三角形,所在平面内的点满足,的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】,所以,由平面向量模的三角不等式可得.当且仅当与方向相反时,等号成立.因此,的最小值为.故选C.11如图,正方体中,分别为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】A 【解析】取的中点,连接,由分别为的中点,则且,在正方体中且,所以且,所以四边

6、形为平行四边形,所以 ,则（或其补角）为异面直线与所成角.设正方体的棱长为2,则在中, ,所以,故选A.12若数列满足：对任意,只有有限个正整数,使得成立,记这样的的个数为,则得到一悠闲的数列,例如,若数列是1,2,3,则得数列是0,1,2,已知对任意的,则（ ）AB2014CD2015【答案】C【解析】因为,故满足的正整数的个数为不等式的整数解的个数.当,关于的不等式的整数解的个数即为,故,其中,故中项的大小为共有项.将列举如下： 而即为中的个数.由可得中的个数为.故选C.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 执行如图所示的程序框图,如果输入的是,则输出的是_.【答案】720【解析】

7、模拟程序的运行可得,第一次循环,；第二次循环,；第三次循环,；第四次循环,；第五次循环,；第六次循环,.14若函数的图象在闭区间上是轴对称曲线,则的最小值为_.【答案】【解析】当的定义域为时,图象的对称轴满足：,即对称轴方程是,因为函数在闭区间上是对称曲线,所以,所以,因为,所以取最小值5时,最小值为.15已知三棱锥,底面是边长为2的正三角形,平面平面ABC.,M为棱PC上一点,且,过M作三棱锥外接球的截面,则截面面积最小值为_.【答案】【解析】在中,所以为直角三角形,该三角形的外接圆圆心为中点,连接,因为面面CAB,所以球心在上,又因为为等边三角形,故球心O在上靠近的三等分点处,因为M为PC

8、的三等分点,故,所以,因为,所以外接球半径,过点M的所有截面圆中,截面与MO垂直的截面圆为最小截面圆,其半径,所以截面圆面积.16已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线交双曲线于P,Q两点,且,则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】如图,可设为双曲线右支上一点,由,在直角三角形中,由双曲线的定义可得：,由,即有,即为,解得,由勾股定理可得：,可得.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且（1）求角C的大小（2）若,且的面积为,求的周长解：（

9、1）,(2分),.(6分)（2）由题意可得,(8分)联立可得,由余弦定理可得,此时周长为.(12分) 18.(12分) 如图,在直三棱柱中,分别是棱,的中点,点在直线上（1）求直线与平面所成的角最大时,线段的长度；（2）是否存在这样的点,使平面与平面所成的二面角为,如果存在,试确定点的位置；如果不存在,请说明理由解：如图,以为原点建立空间直角坐标系,则,设,则,；(2分)（1）因为是平面的一个法向量,所以所以,当时,取得最大值,此时,即：当时,取得最大值,此时,故的长度为(7分)（2）设是平面的一个法向量.则得令,得,所以,（9分）所以,化简得因为,所以方程无解；故不存在点使得平面与平面所成的

10、二面角为.（12）19.(12分) 近年来,共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放,为了确定车辆投放量,对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计,得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示,根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示（1）观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合,请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可,不必说明理由）,并求出关于的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为元,年调度费以及维修等的使用成本为每人次元

11、,按用户每使用一次,收费元计算,若投入辆单车,则几年后可实现盈利？参考数据：其中,参考公式：对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,解：（1）由散点图判断,适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型由,两边同时取常用对数得(1分)设,则因为,所以(5分)把代入,得,所以,所以,则,故关于的回归方程为(8分)（2）投入千辆单车,则年使用人次为千人次,每年的收益为（千元）,总投资千元,假设需要年开始盈利,则,即,故需要年才能开始盈利(12分)20.(12分) 已知点F是椭圆的右焦点,P是椭圆E的上顶点,O为坐标原点且.（1）求椭圆的离心率e；（2）已知,过点M作任意直线l与椭圆

12、E交于A,B两点.设直线,的斜率分别为,若,求椭圆E的方程.解：（1）由题可得,即,；(5分)（2）由（1）可得椭圆方程为,当直线l的斜率存在时,设l：,设,联立直线与椭圆,得,则,即,则,(7分),(10分)即对任意成立,即,则椭圆方程为,当直线斜率不存在时,则直线方程为,则,且此时,满足题意,综上,椭圆方程为.(12分)21.(12分) 已知函数（其中为自然对数的底数,）（1）当时,求的单调区间；（2）若有两个极值点,求实数的取值范围解：（1）当时,令,令,解得,令,解得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以的单调递增区间为,无单调递减区间(5分)（2）若有两个极值点,即有两个变号零

13、点令,(6分)（）当时,在上单调递减,最多只有一个零点,不合题意；(7分)（）当时,最多只有一个零点,不合题意(8分)（）当时,令,得；当,当,；所以在单调递减,在单调递增,(9分)则,而当时,又,根据零点存在性定理可知,使得,（*）,令,所以,为单调递增函数,所以,则（*）式大于零,且,所以,使得,又在单调递减,在单调递增,故在有唯一零点,在上有唯一零点综上知：若有两个极值点,的取值范围为(12分) (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4：坐标系与参数方程 (10分) 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极

14、点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（1）当为参数,时,曲线与相交于,且,求的值；（2）当为参数,时,曲线与只有一个公共点,求的值解：（1）曲线的直角坐标方程为：,当为参数时,曲线为过点的直线,又曲线是直径为4的圆,且,所以直线过圆的圆心,则直线的斜率,所以(5分)（2）当为参数时,曲线的直角坐标方程为又曲线与只有一个公共点,两圆外切或内切则或所以或(10分)23选修4-5：不等式选讲 (10分)已知函数（1）当时,求不等式的解集；（2）若不等式对于恒成立,求实数a的取值范围解：（1）由题意,当时,函数当时,解得,即；当时,解得,即；当时,解得,即不存在x,综上所述,不等式的解集为. (5分)（2）不等式,可得因为,所以不等式可化为对恒成立,即对恒成立,即,解得,故实数a的取值范围是(10分)