2021年高考数学（理）12月模拟评估卷（三）（全国2卷）（解析版）.docx

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1、2021年高考数学（理）12月模拟评估卷（三）（全国2卷）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知i是虚数单位,a为实数,且,则a（ ）A2B1C-2D-1【答案】B【解析】由,得a1.故选B2已知集合,则的子集的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】因为,所以,它的子集有,共有4个,故选D.3函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】D【解析】函数的定义域为,则函数为偶函数,图象关于轴对称,排除,当时,排除,当时,排

2、除,故选D.4已知,则向量在上的投影为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意知：,而,又,而向量在上的投影为,故选C.5已知双曲线的右焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为的等边三角形（为原点）,则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】不妨设点在第一象限,由题意可知,由于是等边三角形,则,所以,由题意可得,解得,因此,该双曲线的标准方程为.6已知中,则的面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由余弦定理得：,解得：,.故选.7执行如图所示的程序框图,若输入的的值为-3,的值为0,则输出的和值分别是（ ）A0和2B0和1C1和2D1和1【答案】A【解析】第一次运行程序,第二次运行程序,满足

3、条件,执行运算,输出0,2,结束程序.故选A.8琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中国传统文化,某校以这十种乐器为题材,在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座,共连续安排八节课,一节课只讲一种乐器,一种乐器最多安排一节课,则琵琶、二胡、编钟一定安排,且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】从这十种乐器中挑八种全排列,有情况种数为从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列,有种情况,再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器,有种情况,故琵琶、二胡、编钟一定安排,且这三种乐器

4、互不相邻的情况种数为所以所求的概率,故选B9已知函数在同一周期内有最高点和最低点,则此函数在的值域为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意知,解得A2,b1；又,且,解得2,；函数f（x）2sin（2x）1,又,所以,所以,所以,故选A.10.已知函数,若,则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】设,根据图像有两个交点,即,则,在上单调递减,当时,；当时,；所以.故选B.11.在正方体中,记平面为,若平面,平面,则,所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图,连接,可得在正方体中,即四边形是平行四边形,平面,平面,平面,又平面,同理可得平面,平面,即为,所成角,为等边三角形,.

5、故选D.12已知椭圆的两个焦点,与短轴的两个端点,都在圆上,是上除长轴端点外的任意一点,的平分线交的长轴于点,则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由椭圆的两个焦点,与短轴的两个端点,都在圆上,得,则,所以椭圆的方程为,故,由的平分线交长轴于点,显然,又,所以,即,由,得,设,则,而,即,也就是,所以,所以,所以.故选B.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13.曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】由得,则曲线在点处的切线斜率为,因此所求切线方程为,即.故答案为.14. 已知,满足约束条件,则的最小值为_【答案】2【解析】画出可行域,由图可知平移直线到处时,取得最小值为.15.

6、已知,则_.【答案】【解析】由,可得,即,解得,又由.16.已知A,B,C,D四点均在以点为球心的球面上,且,.若球在球内且与平面相切,则球直径的最大值为_.【答案】8【解析】由题意,得,所以,所以为等腰直角三角形.如图,设的中点为O,则O为的外心,且外接圆半径.连接,因为,所以,又,所以,所以,所以平面,所以球心在直线上.设球的半径为R,则有,即,解得.当球直径最大时,球与平面相切,且与球内切,此时A,O,四点共线,所以球直径的最大值为. 三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已

7、知等差数列的前项和为,且,.（1）求数列的通项公式以及前项和；（2）求数列的前项和.解：（1）依题意,解得,故,而,故,故,.(2分)联立两式,解得,故.(5分).(6分)（2）依题意,(8分)故.(12分)18(12分) 如图,在梯形中,四边形为矩形,平面平面,设点在线段上运动.（1）证明：；（2）设平面与平面所成锐二面角为,求的最小值.（1）证明：在梯形中,因为,所以,所以,所以,所以.(3分)因为平面平面,平面平面,因为平面,所以平面.所以； (5分)（2）解：由（1）可建立分别以直线,为轴,轴,轴的如图所示的空间直角坐标系,令,则,.,.(7分)设为平面的一个法向量,由得,取,则,(9

8、分)是平面的一个法向量,(11分),当时,有最大值,的最小值为. (12分)19(12分) 已知为抛物线的焦点,以为圆心作半径为的圆,圆与轴的负半轴交于点,与抛物线分别交于点、.（1）若为直角三角形,求半径的值；（2）判断直线与抛物线的位置关系,并给出证明.解：（1）如图,结合题意绘出图像：由抛物线与圆的对称性可知,点、关于轴对称,则为直角,为等腰直角三角形,轴,线段为直径,故点的横坐标为,代入中,解得,故,.(5分)（2）设,则根据抛物线的定义可得,故点坐标为,(7分)因为抛物线的上半部分为函数,所以在点处的切线斜率为,故直线为抛物线在点处的切线,直线与抛物线相切. (12分)20(12分)

9、 首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行,吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展,成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会,提升行业竞争力,加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：科技投入24681012收益5.66.512.027.580.0129.2并根据数据绘制散点图如图所示：根据散点图的特点,甲认为样本点分布在指数曲线的周围,据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：43.54.5854.034.712730.470其中,.（1）（i）请根据表中数据,建立关于的回归方程（保留一位小数）；（ii）

10、根据所建立的回归方程,若该企业想在下一年收益达到2亿,则科技投入的费用至少要多少？（其中）（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围,并计算得回归方程为,以及该回归模型的相关指数,试比较甲乙两人所建立的模型,谁的拟合效果更好.附：对于一组数据,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,相关指数：.解：（1）（i）,令；令,则.根据最小二乘估计可知：从而,故回归方程为,即.(5分)（ii）设,解得,即故科技投入的费用至少要13.2百万元,下一年的收益才能达到2亿. (7分)（2）甲建立的回归模型的残差：5.66.512.027.580.0129.2481632641281.6-1.5-4-4.

11、5161.2则,从而,即甲建立的回归模型拟合效果更好. (12分)21(12分) 已知函数,为的导数.（1）当时,求的最小值；（2）当时,恒成立,求的取值范围.解：（1）,令,则.当时,为增函数,；当时,.故时,为增函数,故,即的最小值为1.（2）令,则本题即证当时,恒成立.当时,若,则由（1）可知,所以为增函数,故恒成立,即恒成立；若,则,在上为增函数,又,故存在唯一,使得.当时,为减函数；时,为增函数.又,故存在唯一使得.故时,为增函数；时,为减函数.又,所以时,为增函数,故,即恒成立；当时,由（1）可知在上为增函数,且,故存在唯一,使得.则当时,为减函数,所以,此时,与恒成立矛盾.综上所

12、述,. (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4：坐标系与参数方程 (10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,为参数）.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的直角坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；（2）射线,和曲线分别交于点,与直线分别交于,两点,求四边形的面积.解：（1）曲线的参数方程为,为参数）,转换为直角坐标方程为.曲线的直角坐标方程为,根据,整理得,即.(5分)（2）射线,和曲线分别交于点,与直线分别交于,两点,如图所示：所以直线的直角坐标方程为,直线的直线方程为,所以,解得,设直线与轴交于点,将代入,得,即.所以.同理：,解得：,所以,所以(10分)23选修4-5：不等式选讲 (10分)已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的解集包含,求实数的取值范围.解：（1）,由,解得,故不等式的解集是；(5分)（2）的解集包含,即当时不等式恒成立,当时,即,因为,所以,令,易知在上单调递增,所以的最小值为,因此,即的取值范围为. (10分)