2022届高三数学一轮复习（原卷版）5．4　平面向量的应用.doc

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1、 1 54 平面向量的应用平面向量的应用 1用向量方法解决几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题 (3)把运算结果“翻译”成几何关系 2向量的符号形式及图形形式的重要结论 (1) 向 量 的 和 与 差 的 模 ：|ab_， |ab _ (2)G 为ABC 重心的一个充要条件：_； O 为 ABC 外 心 的 一 个 充 要 条 件 ：_； P 为 ABC 垂 心 的 一 个 充 要 条 件 ：_ (3)不同的三点 A，B，C 共线存在 ，R，

2、使得OAOBOC，O 为平面任意一点，且_ 3向量坐标形式的几个重要结论 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)， 为 a 与 b 的夹角 (1)长度或模 | |a _；| |AB_ (2)夹角 cos_ (3)位置关系 ab _(b0且R) _ ab_ 自查自纠： 2(1) a22a bb2 a22a bb2 (2)GAGBGC0 | |OA| |OB| |OC PAPBPBPCPCPA (3)1 3(1) x21y21 （x4x3）2（y4y3）2 (2)a b| |a| |b x1x2y1y2x21y21x22y22 (3)ab x1y2x2y10 a

3、 b0 x1x2y1y20 设 a， b 是非零向量， 若函数 f(x)(xab) (axb)的图象是一条直线，则必有 ( ) Aab Bab C|a|b| D|a|b| 解：f(x)(a b)x2(a2b2)xa b 依题意知 f(x)的图象是一条直线， 所以 a b0，即 ab故选 A (2018广东惠州高三4月模拟)在ABC 中， AB2AC2，BAC120，点 D 为 BC 边上一点，且BD2DC，则ABAD ( ) A3 B2 C73 D23 解： 因为ADCDAC13CBAC13(ABAC)AC13AB23AC，所以ABAD13AB223ABAC432323故选 D (2018东莞

4、高三二模)已知四边形 ABCD是矩形，AB2AD2，点 E 是线段 AC 上一点， AEAC， 且AE BE45， 则实数 的取值为( ) A34 B25 C13 D15 解： 由平面向量的平行四边形法则， 得AEAC(ABAD)，BEAEAB(ABAD)AB (1)ABAD，因为AEBE45，所以 (ABAD) (1)ABAD45，即 4(1) 2 45，解得 25 另解：建立适当的平面直角坐标系，用向量的坐标运算求解故选 B 已知三个力 f1(2，1)，f2(3，2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力 f4，则 f4_ 解：由物理知识知：f1f2f3f4

5、0，故 f4(f1f2f3)(1，2)故填(1，2) (2017北京)已知点 P 在圆 x2y21 上，点 A 的坐标为(2，0)，O 为原点，则AOAP的最大值为_ 解： 设AO， AP夹角为 ， 则AO AP|AO| |AP|cos|AO| |AP|2(12)6， 所以最大值是 6故填 6 类型一类型一 向量与平面几何向量与平面几何 (1)（2017 驻马店质检)若 O 为ABC所在平面内任一点，且满足(OBOC) (OBOC2OA)0，则ABC 的形状为 ( ) A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 解：因为(OBOC) (OBOC2OA)0，即CB(ABAC)0，因

6、为ABACCB，所以(ABAC) (ABAC)0，即|AB|AC|，所以ABC 是等腰三角形故选 C (2)( 2018河南安阳高三二模) 已 知在 OAB中，OAOB2，AB2 3，动点 P 位于线段 AB上，则当PAPO取最小值时，向量PA与PO的夹角的余弦值为_ 解法一：如图，因为 OAOB2，AB2 3，所以A6，所以PAPOPA(PAAO) PA2PAAO|PA|2|PA|AO|cos56 |PA|2 3|PA|PA|3223434， 当且仅当|PA|32时取等号， 此时|OP|OA|2|AP|22|OA|AP|cosA 43422323272 所以向量PA与PO的夹角的余弦值为PA

7、PO|PA|PO|343272217 解法二：由已知AOB23，以 O 为原点，OB为 x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则 B(2，0)，A(1， 3)， 令 P(x，y)，BPBA(01)，则(x2，y)(3， 3)， 所以 x32，y 3，即 P(32， 3)则PA(33， 3 3)，PO(32， 3)，PAPO(33) (32)( 3 3)( 3)122186 因为 01，所以当 34时，PAPO取最小值，此时PA34，34，PO14，3 34，PA与 3 PO夹角的余弦值为PAPO|PA|PO|343272217故填217 点 拨： 向量与平面几何的综合问题， 往往要数形结合，借助平

8、面几何的知识解题根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法：基底法，坐标法 (1)若O为空间中一定点， 动点P在A，B， C 三点确定的平面内且满足(OPOA) (ABAC)0，则点 P 的轨迹一定过ABC 的 ( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 解：由已知得APCB0，所以 APCB，所以点 P 的轨迹一定过ABC 的垂心故选 D (2)(2018安徽马鞍山高三质监二)如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，E，F分别为 BC，CD 的中点，则AEEF ( ) A12 B32 C32 D12 解：菱形 ABCD 的边长为 2，BAD60，所以AB AD22cos60

9、2， 又因为AEABBEAB12AD， EF12BD12(ADAB)， 所以AE EFAB12AD12(ADAB)12(12AD212ABAD AB2)121241224 12 另解：连接 AC，BD 交于 O，易知 ACBD，则AEEF(AOOE) EFOEEF11 cos12012故选 D 类型二类型二 向量与函数、三角函数向量与函数、三角函数 (1) 已知|a|2|b|0，且关于 x 的函数f(x)13x312|a|x2a bx 在 R 上有极值，则 a 与 b 的夹角范围为_ 解：由题意得：f(x)x2|a|xa b 必有可变号零点， 即|a|24a b0， 即 4|b|28|b|2c

10、os a， b 0，即1cosa，b0，0，|0)的部分图象如图所示，A，B 分别是这部分图象上的最高点、最低点，O 为坐标原点，若OAOB0，则函数 f(x1)是 ( ) A周期为 4 的奇函数 B周期为 4 的偶函数 C周期为 2 的奇函数 7 D周期为 2 的偶函数 解：由题图可得 A2， 3，B32， 3，由OAOB0 得324230，又 0，所以 2，所以 f(x) 3sin2x， 所以 f(x1) 3sin2（x1） 3cos2x， 它是周期为 4 的偶函数故选 B 7过点 P(1， 3)作圆 x2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则PAPB_ 解： 在平面直角坐标系 xOy

11、 中作出圆 x2y21及其切线 PA，PB，如图所示连接 OA，OP，由图可知|OA|OB|1，|OP|2，|PA|PB|3， APOBPO6，则PA，PB的夹角为3，所以PAPB|PA|PB|cos3 3 31232故填32 8(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(2，0)，E、F 是 y 轴上的两个动点，且|EF|2，则AEBF的最小值为_ 解：设 E(0，m)依题意，当 F(0，m2)时，AE(1，m)，BF(2，m2)，AEBFm22m2(m1)23，最小值为3；当 F(0，m2)时，最小值仍为3故填3 9已知平面向量 a(4，5cos)，b(3，4tan)，0，

12、2，ab，求： (1)|ab|； (2)cos4的值 解：(1)因为 ab，所以 a b435cos (4tan)0，解得 sin35又因为 0，2， 所以 cos45，tansincos34， 所以 a(4，4)，b(3，3)，所以 ab(7，1)， 因此|ab|72125 2 (2)cos4coscos4sinsin4 45223522210 10已知角 A，B，C 是ABC 的内角，a，b，c 分别是其所对边长，向量 m2 3sinA2，cos2A2，ncosA2，2 ，mn (1)求角 A 的大小； (2)若 a2，cosB33，求 b 的长 解 ： (1) 已 知mn ， 所 以m

13、n 2 3sinA2，cos2A2cosA2，2 3sinA(cosA1)0， 即 3sinAcosA1，即 sinA612 因为 0A，所以6A656 所以 A66，所以 A3 (2)在ABC 中，A3，a2，cosB33， sinB 1cos2B11363 由正弦定理知asinAbsinB， 所以 basinBsinA263324 23 11ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 2， OAABAC0，且|OA|AB|，求CA在CB方向上的投影 解：如图，由题意可设 D 为 BC 的中点，由 8 OAABAC0，得OA2AD0，即AO2AD，所以 A，O，D 共线且|AO|2|AD|，又 O

14、为ABC的外心，所以 AO 为 BC 的中垂线，所以|AC| |AB|OA|2，|AD|1，所以|CD| 3，所以CA在CB方向上的投影为 3 (河北衡水武邑中学2018届高三下学期六模)已知 F 为抛物线 M：y24x 的焦点， A，B，C 为抛物线 M 上三点， 当FAFBFC0 时， 称ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 ( ) A0 个 B1 个 C3 个 D无数个 解：抛物线方程为 y24x，A，B，C 为曲线 M上三点， 当FAFBFC0 时，F 为ABC 的重心， 用如下办法构造ABC， 连接 AF 并延长至 D，使 FD12AF， 当 D 在抛物线内部时， 设 D(x0，y0)，若存在以 D 为中点的弦 BC， 设 B(m1，n1)，C(m2，n2)， 则 m1m22x0，n1n22y0，n1n2m1m2kBC， 则n214m1，n224m2，两式相减化为(n1n2)n1n2m1m24， kBCn1n2m1m22y0， 所以总存在以 D 为中点的弦 BC， 所以这样的三角形有无数个故选 D 9 10