2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5讲　高效演练分层突破 (2).doc

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1、 基础题组练 1(2020 开封市定位考试)等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a34S20，则公比 q( ) A1 B1 C2 D2 解析：选 C法一：因为 a34S20，所以 a1q24a14a1q0，因为 a10，所以 q24q40，所以 q2，故选 C 法二：因为 a34S20，所以 a2q4a2q4a20，因为 a20，所以 q4q40，即(q2)20，所以 q2，故选 C 2(2020 宁夏银川一中一模)已知等比数列an中， 有 a3a114a7， 数列bn是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 b7a7，则 S13( ) A26 B52 C78 D104 解析：选 B设等比数

2、列an的公比为 q，因为 a3a114a7，所以 a274a70，解得 a74， 因为数列bn是等差数列，且 b7a7， 所以 S1313(b1b13)213b713a752.故选 B 3(2020 吉林长春 5 月联考)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差 d0，a6和 a8是函数 f(x)154ln x12x28x 的极值点，则 S8( ) A38 B38 C17 D17 解析：选 A因为 f(x)154ln x12x28x，所以 f(x)154xx8x28x154xx12x152x， 令 f(x)0，解得 x12或 x152. 又 a6和 a8是函数 f(x)的极值点，且公差 d

3、0， 所以 a612，a8152，所以a15d12，a17d152，解得a117，d72. 所以 S88a18(81)2d38，故选 A 4(多选)(应用型)一个弹性小球从 100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的23再落下 设它第 n次着地时， 经过的总路程记为Sn， 则当 n2时， 下面说法正确的是( ) ASn500 BSn500 CSn的最小值为7003 DSn的最大值为 400 解析： 选AC 第一次着地时， 共经过了100 m， 第二次着地时， 共经过了100100232 m，第三次着地时，共经过了1001002321002322 m，以此类推，第 n 次着地时，共经

4、过了1001002321002322100 23n12 m所以 Sn1004003123n1123100400123n1.则 Sn是关于 n 的增函数，所以当 n2 时，Sn的最小值为 S2，且 S27003.又 Sn100400123n1100400500.故选 AC 5(创新型)(2020 山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即 F(1)F(2)1，F(n)F(n1)F(n2)(n3，nN*)此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用若此数列被 2 除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前 2 019 项

5、的和为( ) A672 B673 C1 346 D2 019 解析：选 C由于an是数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，各项除以 2 的余数， 故an为 1，1，0，1，1，0，1，1，0，1， 所以an是周期为 3 的周期数列， 且一个周期中的三项之和为 1102. 因为 2 0196733， 所以数列an的前 2 019 项的和为 67321 346.故选 C 6(2019 高考北京卷)设等差数列an的前 n 项和为 Sn.若 a23，S510，则 a5_，Sn的最小值为_ 解析：设等差数列an的公差为 d，因为a23，S510，即a1d3，5a110d10，所以可得 a

6、14，d1，所以 a5a14d0，因为 Snna1n(n1)2d12(n29n)，所以当 n4 或 n5时，Sn取得最小值，最小值为10. 答案：0 10 7若数列an满足1an12an0，则称an为“梦想数列”已知正项数列1bn为“梦想数列”，且 b1b2b31，则 b6b7b8_ 解析： 由1an12an0 可得 an112an，故an是公比为12的等比数列， 故1bn是公比为12的等比数列，则bn是公比为 2 的等比数列，b6b7b8(b1b2b3)2532. 答案：32 8(2020 湖南岳阳一模)曲线 yn2xln x(nN*)在 x2n处的切线斜率为 an，则数列1anan1的前

7、n 项的和为_ 解析：对 yn2xln x(nN*)求导，可得 yn21x，由曲线 yn2xln x(nN*)在 x2n处的切线斜率为 an，可得 ann2n2n.所以1anan11n(n1)1n1n1，则数列1anan1的前 n项的和为 11212131n1n1nn1. 答案：nn1 9(2020 湖南省湘东六校联考)已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn Sn11(n2，nN)，且 a11. (1)求数列an的通项公式 an； (2)记 bn1anan1，Tn为bn的前 n 项和，求使 Tn2n成立的 n 的最小值 解：(1)由已知有 Sn Sn11(n2，nN)，所以数列 Sn为等差

8、数列，又 S1 a11，所以 Snn，即 Snn2. 当 n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1. 又 a11 也满足上式，所以 an2n1. (2)由(1)知，bn1(2n1)(2n1)1212n112n1， 所以 Tn12113131512n112n112112n1n2n1. 由 Tn2n得 n24n2，即(n2)26，所以 n5， 所以 n 的最小值为 5. 10(创新型)(2019 高考江苏卷节选)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列” (1)已知等比数列an(nN*)满足：a2a4a5，a34a24a10，求证：数列an为“M数列”； (2)已知数列bn(nN*)满

9、足：b11，1Sn2bn2bn1，其中 Sn为数列bn的前 n 项和求数列bn的通项公式 解：(1)证明：设等比数列an的公比为 q，所以 a10，q0. 由a2a4a5，a34a24a10，得a21q4a1q4，a1q24a1q4a10， 解得a11，q2. 因此数列an为“M数列” (2)因为1Sn2bn2bn1，所以 bn0. 由 b11，S1b1，得11212b2，则 b22. 由1Sn2bn2bn1，得 Snbnbn12(bn1bn)， 当 n2 时，由 bnSnSn1， 得 bnbnbn12(bn1bn)bn1bn2(bnbn1)， 整理得 bn1bn12bn. 所以数列bn是首项

10、和公差均为 1 的等差数列 因此，数列bn的通项公式为 bnn(nN*) 综合题组练 1(综合型)(2020 湖北十堰调研)已知等差数列an的公差为2，前 n 项和为 Sn.若 a2，a3，a4为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为 120 ，则 Sn的最大值为( ) A5 B11 C20 D25 解析：选 D由等差数列an的公差为2 可知该数列为递减数列，则 a2，a3，a4中 a2最大，a4最小又 a2，a3，a4为三角形的三边长，且最大内角为 120 ，由余弦定理得 a22a23a24a3a4.设首项为 a1，则(a12)2(a14)2(a16)2(a14)(a16)，整理得(a14

11、)(a19)0，所以 a14 或 a19.又 a4a160，即 a16，故 a14 舍去，所以 a19.数列 an的前 n 项和 Sn9nn(n1)2(2)(n5)225.故 Sn的最大值为 S525.故选 D 2(创新型)(2020 江西上高模拟)定义：若数列an对任意的正整数 n，都有|an1|an|d(d 为常数)，则称|an|为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和”已知“绝对和数列”an中，a12，绝对公和为 3，则其前 2 019 项的和 S2 019的最小值为( ) A2 019 B3 010 C3 025 D3 027 解析：选 C依题意，要使“绝对和数列”an前 2 019 项的

12、和 S2 019的值最小，只需每一项的值都取最小值即可因为 a12，绝对公和 d3，所以 a21 或 a21(舍)，所以a32 或 a32(舍)，所以 a41 或 a41(舍)，所以满足条件的数列an的通项公式 an2，n1，2，n为大于1的奇数，1，n为偶数，所以 S2 019a1(a2a3)(a4a5)(a2 018a2 019)2(12)2 019123 025，故选 C 3已知 an3n(nN*)，记数列an的前 n 项和为 Tn，若对任意的 nN*，Tn32k3n6 恒成立，则实数 k 的取值范围是_ 解析：Tn3(13n)13323n12， 所以 Tn323n12， 则原不等式可以

13、转化为 k2(3n6)3n12n43n恒成立， 令 f(n)2n43n， 当 n1 时，f(n)23，当 n2 时，f(n)0， 当 n3 时，f(n)227，当 n4 时，f(n)481，即 f(n)是先增后减，当 n3 时，取得最大值227，所以 k227. 答案：k227 4(创新型)(2020 山西太原期中改编)已知集合 Px|x2n，nN*，Qx|x2n1，nN*，将 PQ 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，记 Sn为数列an 的前 n项和，则 a29_，使得 Sn1 000 成立的 n 的最大值为_ 解析：数列an的前 n 项依次为 1，2，3，22，5，7，23，.利用

14、列举法可得，当 n 35 时，PQ 的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列an，所以数列an的前 35 项分别为 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，57，59，2，4，8，16，32，故 a2949.S353030(301)222(251)213022629621 000.当 n36 时，PQ 中的所有元素从小到大依次排列， 构成一个数列an， 所以数列an的前 36 项分别为 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，59，61，2，4，8，16，32，S363131(311)222(251)21961621 0231 000.所

15、以 n 的最大值为 35. 答案：49 35 5(应用型)(2020 重庆八中 4 月模拟)某地区 2018 年人口总数为 45 万实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从 2019 年开始到 2028 年，每年人口总数比上一年增加 0.5 万人，从 2029 年开始到 2038 年，每年人口总数为上一年的 99%. (1)求实施“二孩”政策后第 n 年的人口总数 an(单位：万人)的表达式(注：2019 年为第一年)； (2)若“二孩”政策实施后的 2019 年到 2038 年人口平均值超过 49 万，则需调整政策，否则继续实施，问到 2038 年结束后是否需要调整政策？(参考

16、数据：0.99100.9) 解：(1)由题意知，当 1n10 时，数列an是首项为 45.5，公差为 0.5 的等差数列，可得 an45.50.5(n1)0.5n45，则 a1050； 当 11n20 时，数列an是公比为 0.99 的等比数列，则 an500.99n10. 故实施“二孩”政策后第 n 年的人口总数 an(单位：万人)的表达式为 an0.5n45，1n10，500.99n10，11n20. (2)设 Sn为数列an的前 n 项和从 2019 年到 2038 年共 20 年，由等差数列及等比数列的求和公式得 S20S10(a11a12a20)477.54 950(10.9910)

17、972.5. 所以“二孩”政策实施后的 2019 年到 2038 年人口平均值为S202048.63，则S202049， 故到 2038 年结束后不需要调整政策 6(创新型)已知在等差数列an中，a25，a4a622，在数列bn中，b13，bn2bn11(n2) (1)分别求数列an，bn的通项公式； (2)定义 xx(x)，x是 x 的整数部分，(x)是 x 的小数部分，且 0(x)1.记数列cn满足 cnanbn1，求数列cn的前 n 项和 解：(1)设等差数列an的公差为 d，因为 a25，a4a622，所以 a5a4a6211，所 以 da5a2522，所以 ana22(n2)52(n2)2n1.又 b13，bn12(bn11)(n2)，所以bn1是首项为 4，公比为 2 的等比数列，所以 bn12n1(n2)，所以 bn2n11(n2)易知 b13 满足上式，所以 bn2n11(nN*) (2)由二项式定理知，当 n1 时，2n12(11)n2(C0nC1n)2(1n)2n1，所以 cnanbn12n12n1，所以 Sn3225237242n12n1， 12Sn3235247252n12n2， ，得12Sn3412212312412n2n12n2 341212n2n12n2 542n52n2， 故 Sn522n52n1.