2021届高三大题优练5 立体几何（理） 教师版.docx

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1、立体几何大题优练5优选例题例1如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为4，H是线段上（不含端点）的动点，（1）若H为EF的中点，证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：取的中点，连接，因为该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，所以截面是平行四边形，则因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面（2）解：如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，得，因为，所以直线与平面所成角的正弦值为例2如图，四棱锥中，平面，点在

2、线段上，且，平面（1）求证：平面平面；（2）若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，连接交于点，连接，平面，平面，平面平面，由，知，又，即，在中，由余弦定理，得，即，故，则，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面（2）由（1）知，如图建立空间直角坐标系，由题意，有，设平面的法向量为，则，即，令，得，则；设平面的法向量为，则，即，令，得，则，设平面和平面所成二面角的大小为，则，由平面和平面所成锐二面角，故其余弦值为例3如图，在平行四边形中，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动（1）当时，求点的位置；（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角

3、的余弦值【答案】（1）为的中点，理由见解析；（2）【解析】（1），由余弦定理可得，所以，四边形为矩形，平面平面，平面平面，平面，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设，则，解得，当点为的中点时，（2）由（1）知，设平面的一个法向量为，则，取，则，易知平面的一个法向量为，因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为例4如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，点是的中点（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）证明：连接，在中，因为，所

4、以因为点是的中点，所以在中，由余弦定理，有，所以，所以在中，满足，所以，又，所以平面（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，设，在中，而，得，所以平面的一个法向量为，直线与平面所成角为，因为，所以，所以因为，所以，得，所以或(舍)，所以模拟优练1如图，四棱锥中，底面是菱形，是棱上的点，是中点，且底面，（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】证明：在菱形中，为等边三角形又为的中点，底面，平面，平面，平面是棱上的点，平面，（2）解：底面，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，由，得设是平面的法向量，由，得，令，则，则，又平面的法向量为，由题知，二面

5、角为锐二面角，所以二面角的余弦值为2点，分别是正方形的边，的中点，点在边上，且，沿图中的虚线、将、折起使、三点重合，重合后的点记为点，如图（1）证明：；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为四边形是正方形，所以折起后有，又，所以平面，又平面，所以（2）解：如图，以为原点，、所在直线分别为、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长，则，所以，则有、，平面的一个法向量是；设平面的法向量是，又有，且，令，则，得，则，由图可知该二面角为锐角，故二面角的余弦值为3如图，在四棱锥中，已知，为上的动点（1）探究：当为何值时，平面？（2）在（1）的条件下，求直

6、线与平面所成角的正弦值【答案】（1）当时，平面，理由见解析；（2）【解析】（1）当时，平面理由如下：如图，连接，与交于点，连接，因为，所以，当，即时，有，又平面，平面，所以平面（2）取的中点，连接，因为，所以，所以，所以因为，所以，所以又，所以，所以因为，所以平面易知，两两垂直，故可以以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，由（1）可知，故，所以，易知平面的一个法向量为设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为4如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，（1）若，求二面角的正弦值；（2）若平面平面，求的长【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为平面

7、平面，平面平面，平面，所以平面，所以，又四边形为正方形，则，所以，以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系则，则，设平面的一个法向量为，则，所以，即，不妨取，则，所以；又，所以，所以，又，平面，平面，所以为平面的一个法向量，所以，所以二面角的正弦值为（2）设，则，所以，设平面的一个法向量为，则，所以，即，不妨令，则，所以；设平面的一个法向量为，则由，得，即，不妨取，则，得，因为平面平面，所以，即，得，即5如图所示，已知直棱柱的底面四边形是菱形，点，分别在棱，上运动，且满足：，（1）求证：平面；（2）是否存在点使得二面角的正弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析

8、；（2）存在，【解析】（1）设，则，故，因为底面四边形是菱形，故，设，则为的中点，设的中点为，连接，则，由直棱柱可得平面，故平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，故为共线向量，不共线，故，而平面，平面，故平面（2）设平面的法向量为，平面的法向量为，则，取，则，故；又，取，则，故，二面角的正弦值为，故二面角的余弦值的绝对值为，故，解得或(舍)，故存在使得二面角的正弦值为，且6如图所示的五面体中，四边形是正方形，平面平面，（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：取的中点，连接因为，所以是等边三角形，所以，又因为平面平面，且平

9、面平面，所以平面，所以因为，所以平面又平面，所以平面平面（2）取的中点，的中点，连接，由（1）可知，平面，易知，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系则，从而，因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，所以易知，所以设平面的法向量为，则，即，不妨取，则，所以设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为7如图所示，已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直，是线段的中点（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】（1）在平行四边形中，由余弦定理可得，因为四边形为矩形，则，平面，平面，所以（2）在中，由余弦定理可得，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，则，平面，平面，由勾股定理的逆定理知，设点在平面内的射影为，连接，则为直线与平面所成角，由，可得，可得，又，因此，直线与平面所成角的余弦值为（3）设与相交于，连接、，因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，且，为的中点，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，由图可知，当点在或时，三棱锥的体积最小，