2021届高考二轮精品专题十一 坐标系与参数方程（文） 教师版.docx

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1、专题 11××坐标系与参数方程命题趋势本部分内容主要考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化；已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程，求距离、面积等综合问题，本部分考查难度一般不大考点清单1平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到点P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个

2、极坐标系点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)一般地，不做特殊说明时，我们认为0，可取任何实数注：极坐标(，)与(，+2k)(kZ)表示同一个点极点O的坐标为(0，)(R)若<0，则->0，规定点(-，)与点(，)关于极点对称，即(-，)与(，+)表示同一点如果规定>0，0<2，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平

3、面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点P (，)，但平面内任一个点P的极坐标不唯一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (，)（极点除外）的全部坐标为(，2k)或（-，(2k+1)），(kZ)极点的极径为0，而极角任意取若对、的取值范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定>0，0<2或<0，-<等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不唯一的3极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，从图中可以得出：，4常见曲

4、线的极坐标方程曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为的直线（1）=R和=+R（2）=(0)和=+(0)过点a，0，与极轴垂直的直线cos=a过点，与极轴平行的直线sin=a0<<过点a，0，倾斜角为的直线sin-=asin圆心为极点，半径为a的圆=a0<2圆心为a，0，半径为a的圆圆心为，半径为a的圆=2asin0<5参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，

5、直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程6常见曲线的参数方程（1）经过定点P(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程（t为参数）设P是直线上的任意一点，则t表示有向线段P0P的数量参数的几何意义是有向线段P0P的数量（2）圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为（为参数）；（3）椭圆的参数方程为（为参数）；椭圆的参数方程为（为参数）；（4）抛物线y2=2px参数方程为参数，）；参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数7参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致参数方程

6、化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过根据t的取值范围导出x，y的取值范围 精题集训（70分钟）经典训练题一、选择题1极坐标系中，若等边ABC的两个顶点、，那么顶点C的极坐标可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】由于等边ABC的两个顶点、，则线段AB的中点为极点O，由等腰三角形三线合一的性质可得OCAB，且，因此，顶点C的极坐标可能是，故选A【点评】本题考查顶点的极坐标的求法，考查对称、中点坐标公式等基础知识，考查推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题二、解答题2在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为

7、极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）射线OP的极坐标方程为，若射线OP与曲线C的交点为A (异于点O)，与直线l的交点为B，求线段AB的长【答案】（1）C：x2+y-12=1，l：x+3y-23=0；（2）1【解析】（1）由，可得，所以曲线C的普通方程为x2+y-12=1，由，所以，所以直线l的直角坐标方程为x+3y-23=0（2）曲线C的方程可化为x2+y2-2y=0，所以曲线C的极坐标方程为=2sin，由题意设，将代入=2sin，1=1；将代入，可得2=2，所以AB=1-2=1【点评】本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：1

8、直角坐标系下的弦长公式AB=1+k2x1+x22-4x1x2或；2利用直线参数方程t的几何意义可知AB=t1-t2；3极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长AB=1-23在直角坐标系xOy中，直线l过点P(0，2)，倾斜角为以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos 2-2sin=0（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，M为AB中点，且满足|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，求直线l的斜率【答案】（1）l的参数方程为 (t为参数)，C的直角坐标方程为x2=2y；（2）斜率为±2【解析】（1）因为直线

9、l过点P(0，2)，倾斜角为，所以直线l的参数方程为 (t为参数)；因为，所以，所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y（2）将直线l的参数方程为 (t为参数)代入x2=2y，可得，设A，B所对应的参数为t1，t2，所以，因为|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，所以，即，解得，故直线l的斜率为±2【点评】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题4在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (为参数)以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标

10、系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标【答案】（1）；C2：x+y-2=0；（2）22，【解析】（1）对于曲线C1有，所以C1的普通方程为对于曲线C2有，即C2的直角坐标方程为x+y-2=0（2）联立，整理可得4x2-12x+9=0，=-122-4×4×9=0，所以椭圆C1与直线C2无公共点，设，点P到直线x+y-2=0的距离为，当时，d取最大值为22，此时点P的坐标为【点评】本题主要考查极坐标和参数方程的运算，以及点到直线距离公式的使用，属于中档题5在平面直

11、角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (m为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于点P，求圆心在极轴上，且经过极点和点P的圆的直角坐标方程【答案】（1）l:x-y-2=0，x2-y2=8；（2）【解析】（1）曲线C的参数方程为 (m为参数)，两式平方相减得曲线C的普通方程为x2-y2=8直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为x-y-2=0（2）由，得，所以点P的直角坐标为(3，1)，设圆心为，则a2=(a-3)2+1，解得，所以，圆的直角坐标方程为【点评】（1）关键点

12、：极坐标方程与普通方程的转换主要应用于cos=x，sin=y（2）求直线与曲线的交点坐标，列方程组、解方程组、可得交点坐标；求圆的方程可根据圆心x0，y0和半径r，得出圆的方程6在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2相交于A，B两点，设P-1，3，求PAPB【答案】（1），；（2）【解析】（1）由，得，由，得，将x=cos，y=sin代入可得x+3y-2=0（2）经检验P-1，3在曲线C2上，则曲线C2的参数方程可写为（t为参数），代入曲线C1

13、，得13t2+203t+12=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得，故【点评】本题解题的关键是理解直线参数方程中t的几何意义7在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0<），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C的交点为A，B（1）若，求AB；（2）设点P1，1，求的最小值【答案】（1）3；（2）【解析】（1）由曲线C的极坐标方程得32+2sin 2=12，化为直角坐标方程为3x2+y2+y2=12，即3x2+4y2=12将直线l的参数方程代入其中，得当时，上述方程即4t2+8t-5=0，解得，所以AB=

14、t1-t2=3（2）由根与系数的关系可知：，所以，其中，当时取等号，所以的最小值为【点评】直线参数方程的几何意义：（1）直线参数方程中参数t的几何意义是这样的：如果点A在定点P的上方，则点A对应的参数tA就表示点A到点P的距离|PA|，即tA=|PA|如果点B在定点P的下方，则点B对应的参数tB就表示点B到点P的距离的相反数，即tB=-|PB|（2）由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上A，B两点间的距离|AB|，不管A，B两点在哪里，总有|AB|=|tA-tB|8以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线，M是C1上的动点，点N在射线OM上且满足2ON=OM，设点

15、N的轨迹为C2（1）写出曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为 (t为参数，)，曲线C2截直线l所得线段的中点坐标为，求的值【答案】（1）2=(sin+3cos)，；（2）【解析】（1）设N(，)，因为2ON=OM，可得M(2，)，代入满足C1的方程，可得，即，两边同乘以并展开整理得2=(sin+3cos)，又由，所以C2的直角坐标方程为（2）将l的参数方程代入C2的直角坐标方程，整理得，可得，又由直线l的参数方程经过点，可得t1+t2=0，即，即tan=-3，因为，所以【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根与系数

16、关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题9以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知在极坐标系中曲线C是以点为圆心，以1为半径的圆，以极点为坐标系原点O，极轴为x轴的非负半轴，且单位长度相同建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）（1）写出l的普通方程及曲线C的极坐标方程；（2）判断l与C是否相交，若相交，设交点为P，Q两点，求线段PQ的长，若不相交，说明理由【答案】（1）l的普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为；（2）相交，长度为2【解析】（1）l的普通方程为y=x+1，由，曲线C圆心的直角坐标为，曲线C的直角坐标方程为，由x=co

17、s，y=sin，得，所以曲线C的极坐标方程（2）曲线C圆心的直角坐标为，半径r=1，所以圆心到直线y=x+1的距离为，所以l与C是相交，PQ=2r2-d2=2【点评】本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题高频易错题一、解答题1在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数，0<)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=4cos（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于AB两点，求OAB面积的最大值【答案】（1）l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4；（2）最大

18、值是22【解析】（1）将直线l的参数方程 (t为参数，0<)中的参数消去，得到直线l的普通方程，为，由曲线C的极坐标方程，可得，又2=x2+y2，x=cos，曲线C的直角坐标方程为，即(x-2)2+y2=4（2）把直线l的参数方程代入到曲线C的直角坐标方程(x-2)2+y2=4，得，设AB对应的参数分别为t1t2，则，t1t2=-2，由参数t的几何意义知：，又点O到直线l的距离，OAB的面积：，当，即时等号成立，故OAB的面积的最大值是22【点评】本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化，关键是能够根据参数t的几何意义将已知弦长用韦达定理的形式表示，再利用点O到直

19、线l的距离表示三角形的高精准预测题一、解答题1在平面直角坐标系xOy中，直线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且，求【答案】（1）y2=4x；（2）【解析】（1）由，得又x=cos，y=sin，的直角坐标方程为y2=4x（2）直线l的参数方程为（其中t为参数，），将它代入y2=4x，得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则，又，即【点评】直角坐标方程与极坐标方程互化的关键是利用公式，求直线与圆锥曲线的弦长时，利用直线参数方程的几何意义更简单2已知圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的

20、正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）写出点C的极坐标及圆C的极坐标方程；（2）点AB分别是圆C和直线l上的点，且，求线段AB长的最小值【答案】（1）(1，0)，2-2cos-8=0；（2）【解析】（1）由参数方程知：，由知：圆C的方程为(x-1)2+y2=9，点C的极坐标是(1，0)，又x=cos，y=sin，圆C的极坐标方程为2-2cos-8=0（2）在ABC中，由题意知：直线l为y=x，点C到直线l的距离，故当时，线段AB的长取得最小值【点评】由参数方程结合同角三角函数的平方关系可得普通方程，应用x=cos，y=sin将方程转化为极坐标方程；由余弦定理得到|AB|关于|BC

21、|的函数，根据点线距离求得|BC|的范围，应用函数性质即可求|AB|的最小值3在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P0，2，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求PA-PB的值【答案】（1）C：x-12+y-22=2，l：x-y+2=0；（2）2【解析】（1）由曲线C的参数方程，得，曲线C的普通方程为x-12+y-22=2由，得sin-cos=2cos=x，sin=y，直线l的直角坐标方程为x-y+2=0（2）设直线l的参数方程为（t为参数，），设在直线

22、l的参数方程中点A，B所对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得t2-2t-1=0，>0，则有t1+t2=2，t1t2=-1PA-PB=t1-t2=t1+t2=2【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查与弦长有关问题的求解（1）将参数方程化为普通方程式，只需要将原式合理变形，进行消参即可；将极坐标方程化为直角坐标方程为利用求解；（2）过点Mx0，y0，倾斜角为的直线l的参数方程为 (t为参数)，且t的几何意义为：t是直线上任一点px，y到Mx0，y0的距离，设A，B是直线l上任意两点，则有MA+MB=t1+t2，MA-MB=t1-t2，

23、MAMB=t1t24已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1、C2交于M、N两点，求的值【答案】（1）曲线C1的普通方程为，曲线C2的直角坐标方程为x-3y-6=0；（2）【解析】（1）曲线C1的参数方程为为参数），转换为，所以，-得曲线C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为x-3y-6=0（2）点在直线x-3y-6=0上，转换为参数方程为为参数），代入，得到t2+82t+24=0(t1和t2为点M和N对应的参数），所以t1+t2

24、=-82，t1t2=24，所以【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，（1）公式可实现极坐标方程与直角坐标方程的互化；（2）直线的标准参数方程中参数具有几何意义：过P0x0，y0的直线l的参数方程为（t为参数），则t=P0P从P0向上的点对应t>0，向下的点对应参数5中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴含了极致的数学美和丰富的文化信息，现有一幅剪纸的设计图（如图），其中的4个小圆均过边长为2的正方形的中心O，且内切于正方形的邻边，现以O为极点，OA为极轴建立极坐标系（1）求圆的极坐标方程；（2）若射线和与

25、图中阴影部分边界有交点，连接所有交点的线段围成了几何图形，求该几何图形的面积【答案】（1）=22-2sin；（2）3-22【解析】（1）依题意，AB=2，所以OB=2，设圆O1的半径为r，则，即2r=2-2r，解得，所以圆O1的直角坐标方程为x2+y-2+22=2-22，即x2+y2-22-2y=0，又，所以2-22-2sin=0，所以=22-2sin（2）圆O2的直角坐标方程为x+2-22+y2=2-22，则圆O2的极坐方程为=-22-2cos，当时，；当时，所以的面积【点评】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化，以及极坐标下两点的距离公式的应用，属于中档题6在平面直角坐标系xOy中，曲线

26、C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取两点M，N与原点O构成MON，且满足，求MON面积的最大值【答案】（1）；（2）4【解析】（1）可知曲线C的普通方程为x-32+y-12=4，所以曲线C的极坐标方程为2-23cos-2sin=0，即（2）由（1）不妨设M1，(1>0，2>0)，所以MON面积的最大值为4【点评】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程相互转化，考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问题属于中档题维权 声明江西多宝格教育咨询有限公司（旗下网站：好教育http：/wwwjtyh

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