2021届高三大题优练6 圆锥曲线之定值定点问题(文) 教师版.docx
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1、圆锥曲线之定值定点问题大题优练6优选例题例1已知椭圆,其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点的直线(的斜率存在)交椭圆于两点,弦的垂直平分线交轴于点,问:是否是定值?若是,求出定值;若不是,说明理由【答案】(1);(2)是定值,定值为4【解析】(1)为正三角形,可得,且,椭圆的方程为(2)分以下两种情况讨论:当直线斜率不为0时,设其方程为,且,联立,消去得,则,且,弦的中点的坐标为,则弦的垂直平分线为,令,得,又,;当直线斜率为0时,则,则,综合得是定值且为4例2已知是椭圆的左焦点,焦距为,且过点(1)求的方程;(2)过点作两条互相垂直的直线,若与交
2、于两点,与交于两点,记的中点为的中点为,试判断直线是否过定点,若过点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由【答案】(1);(2)过定点,【解析】(1)由题意可得,解得或(舍),故椭圆的方程为(2)由题意知,当其中一条的斜率不存在时,另外一条的斜率为,此时直线为轴;当的斜率都存在且不为时,设,设,联立,整理得,则,所以的中点,同理由,可得的中点,则,所以直线的方程为,化简得,故直线恒过定点综上,直线过定点模拟优练1已知椭圆()的左右焦点分别为,离心率为,点是椭圆上一点,的周长为(1)求椭圆的方程;(2)直线与椭圆交于,两点,且四边形为平行四边形,求证:的面积为定值【答案】(1);(2)证明见解
3、析【解析】(1)因为的周长为,所以,即又离心率,解得,椭圆的方程为(2)设,将代入,消去并整理得,则,四边形为平行四边形,得,将点坐标代入椭圆方程得,点到直线的距离为,平行四边形的面积为,故平行四边形的面积为定值为2如图,已知椭圆的左焦点为,直线与椭圆交于,两点,且时,(1)求的值;(2)设线段,的延长线分别交椭圆于,两点,当变化时,直线与直线的斜率之比是否为定值?若是定值,求出定值;若不是定值,请说明理由【答案】(1);(2)为定值5【解析】(1)设,则,由题意得焦点为,所以,当时,有联立,得,从而将代入,得,所以,故(2)由(1)知,椭圆设,代入椭圆,得而,即,从而同理,从而于是,所以,的
4、斜率之比为定值53已知椭圆()的离心率,过右焦点的直线与椭圆交于A,两点,A在第一象限,且(1)求椭圆的方程;(2)若过点的任一直线与椭圆交于两点、证明:在轴上存在点,使得为定值【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)由,得,设椭圆方程为,联立方程组,得,则,所以,所以,所以椭圆的方程为(2)证明:当直线不与轴重合时,设,联立方程组,得设,则有,于是,若为定值,则有,得,此时;当直线与轴重合时,也有,综上,存在点,满足4已知经过原点O的直线与离心率为的椭圆交于A,B两点,、是椭圆C的左、右焦点,且面积的最大值为1(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图所示,设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意
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