2018高考数学（文）大一轮复习习题 升级增分训练 定点、定值、证明问题 Word版含答案.doc

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1、升级增分训练升级增分训练 定点、定值、证明问题定点、定值、证明问题 1 1已知椭圆已知椭圆C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的离心率为的离心率为3 32 2，短轴端点到焦点的距离为，短轴端点到焦点的距离为 2 2 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程； (2)(2)设设A A，B B为椭圆为椭圆C C上任意两点，上任意两点，O O为坐标原点，且为坐标原点，且OAOAOBOB求证：原点求证：原点O O到直线到直线ABAB的距离为定值的距离为定值 ，并求出该定值，并求出该定值 解：解：(1)(1)由题意知，由题意知，e ec ca a3 3

2、2 2，b b2 2c c2 22 2， 又又a a2 2b b2 2c c2 2， 所以所以a a2 2，c c 3 3，b b1 1， 所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为x x2 24 4y y2 21 1 (2)(2)证明：当直线证明：当直线ABAB的斜率不存在时，直线的斜率不存在时，直线ABAB的方程为的方程为x x2 2 5 55 5，此时，原点，此时，原点O O到到直线直线ABAB的距离为的距离为2 2 5 55 5 当直线当直线ABAB的斜率存在时，设直线的斜率存在时，设直线ABAB的方程为的方程为y ykxkxm m， A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B(

3、 (x x2 2，y y2 2) ) 由由 x x2 24 4y y2 21 1，y ykxkxm m，得得(1(14 4k k2 2) )x x2 28 8kmxkmx4 4m m2 24 40 0 则则(8(8kmkm) )2 24(14(14 4k k2 2)(4)(4m m2 24)4)16(116(14 4k k2 2m m2 2) )0 0，x x1 1x x2 28 8kmkm1 14 4k k2 2，x x1 1x x2 24 4m m2 24 41 14 4k k2 2， 则则y y1 1y y2 2( (kxkx1 1m m)()(kxkx2 2m m) )m m2 24

4、4k k2 21 14 4k k2 2， 由由OAOAOBOB，得，得k kOAOAk kOBOB1 1， 即即y y1 1x x1 1y y2 2x x2 21 1， 所以所以x x1 1x x2 2y y1 1y y2 25 5m m2 24 44 4k k2 21 14 4k k2 20 0， 即即m m2 24 45 5(1(1k k2 2) )，满足满足0 0 所以原点所以原点O O到直线到直线ABAB的距离为的距离为| |m m| |1 1k k2 22 2 5 55 5 综上，原点综上，原点O O到直线到直线ABAB的距离为定值的距离为定值2 2 5 55 5 2 2(2017(

5、2017湖南省东部六校联考湖南省东部六校联考) )设椭圆设椭圆C C1 1：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的离心率为的离心率为3 32 2，F F1 1，F F2 2是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点，P P是椭圆上任意一点，且是椭圆上任意一点，且PFPF1 1F F2 2的周长是的周长是 4 42 2 3 3 (1)(1)求椭圆求椭圆C C1 1的方程；的方程； (2)(2)设椭圆设椭圆C C1 1的左、的左、右顶点分别为右顶点分别为A A，B B，过椭圆，过椭圆C C1 1上的一点上的一点D D作作x x轴的垂线交轴的垂线交x x轴于轴于点点E

6、 E，若，若C C点满足点满足ABAB BCBC ，ADAD OCOC ，连接，连接ACAC交交DEDE于点于点P P，求证：，求证：PDPDPEPE 解：解：(1)(1)由由e e3 32 2，知，知c ca a3 32 2，所以，所以c c3 32 2a a， 因为因为PFPF1 1F F2 2的周长是的周长是 4 42 2 3 3， 所以所以 2 2a a2 2c c4 42 2 3 3， 所以所以a a2 2，c c 3 3， 所以所以b b2 2a a2 2c c2 21 1， 所以椭圆所以椭圆C C1 1的方程为的方程为x x2 24 4y y2 21 1 (2)(2)证明：由证明

7、：由(1)(1)得得A A( (2,0)2,0)，B B(2,0)(2,0)， 设设D D( (x x0 0，y y0 0) )，所以，所以E E( (x x0,0,0)0)， 因为因为ABAB BCBC ，所以可设，所以可设C C(2(2，y y1 1) )， 所以所以ADAD ( (x x0 02 2，y y0 0) )，OCOC ( (2 2，y y1 1) )， 由由ADAD OCOC 可得可得( (x x0 02)2)y y1 12 2y y0 0， 即即y y1 12 2y y0 0 x x0 02 2 所以直线所以直线ACAC的方程为：的方程为：y y2 2y y0 0 x x0

8、 02 2x x2 24 4 整理得整理得y yy y0 0 x x0 0( (x x2)2) 又点又点P P在直线在直线DEDE上，上， 将将x xx x0 0代入直线代入直线ACAC的方程可得的方程可得y yy y0 02 2， 即点即点P P的坐标为的坐标为 x x0 0，y y0 02 2， 所以所以P P为为DEDE的中点，的中点， 所以所以PDPDPEPE 3 3椭圆椭圆C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的离心率为的离心率为1 12 2，其左焦点到点，其左焦点到点P P(2(2，1)1)的距离为的距离为 1010 (1)(1)求椭圆

9、求椭圆C C的标准方程的标准方程 (2)(2)若直线若直线l l：y ykxkxm m与椭圆与椭圆C C相交于相交于A A，B B两点两点( (A A，B B不是左、右顶点不是左、右顶点) )，且以，且以ABAB为直径的圆过椭圆为直径的圆过椭圆C C的右顶点求证：直线的右顶点求证：直线l l过定点，并求出该定点的坐标过定点，并求出该定点的坐标 解：解：(1)(1)因为左焦点因为左焦点( (c,c,0)0)到点到点P P(2,1)(2,1)的距离为的距离为 1010， 所以所以c c2 21 1 1010，解得，解得c c1 1 又又e ec ca a1 12 2，解得，解得a a2 2， 所以

10、所以b b2 2a a2 2c c2 23 3 所以所求椭圆所以所求椭圆C C的方程为的方程为x x2 24 4y y2 23 31 1 (2)(2)证明：设证明：设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 由由 y ykxkxm m，x x2 24 4y y2 23 31 1， 消去消去y y，得，得(3(34 4k k2 2) )x x2 28 8mkxmkx4(4(m m2 23)3)0 0， 6464m m2 2k k2 216(316(34 4k k2 2)()(m m2 23)3)0 0， 化简，得化简，得 3 34 4k k2

11、2m m2 20 0 所以所以x x1 1x x2 28 8mkmk3 34 4k k2 2，x x1 1x x2 2m m2 23 34 4k k2 2 y y1 1y y2 2( (kxkx1 1m m)()(kxkx2 2m m) ) k k2 2x x1 1x x2 2mkmk( (x x1 1x x2 2) )m m2 2m m2 24 4k k2 23 34 4k k2 2 因为以因为以ABAB为直径的圆过椭圆右顶点为直径的圆过椭圆右顶点D D(2,0)(2,0)， 则则k kADADk kBDBD1 1， 所以所以y y1 1x x1 12 2y y2 2x x2 22 21 1

12、， 所以所以y y1 1y y2 2x x1 1x x2 22(2(x x1 1x x2 2) )4 40 0， 所以所以m m2 24 4k k2 23 34 4k k2 2m m2 23 34 4k k2 21616mkmk3 34 4k k2 24 40 0 化为化为 7 7m m2 21616mkmk4 4k k2 20 0， 解得解得m m1 12 2k k，m m2 22 2k k7 7，满足，满足 3 34 4k k2 2m m2 20 0 当当m m2 2k k时，时， l l：y yk k( (x x2)2)，直线过定点，直线过定点(2,0)(2,0)与已知矛盾；与已知矛盾；

13、 当当m m2 2k k7 7时，时，l l：y yk k x x2 27 7，直线，直线过定点过定点 2 27 7，0 0 综上可知，直线综上可知，直线l l过定点过定点 2 27 7，0 0 4 4 (2016(2016南昌一模南昌一模) )已知椭圆已知椭圆C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的两焦点与短轴的一个端点的连的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线线构成等边三角形，直线x xy y2 2 2 21 10 0 与以椭圆与以椭圆C C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切为半径的圆相切 (

14、1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程； (2)(2)设点设点B B，C C，D D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B B与点与点D D关于原点关于原点O O对称设直对称设直线线CDCD，CBCB，OBOB，OCOC的斜率分别为的斜率分别为k k1 1，k k2 2，k k3 3，k k4 4，且，且k k1 1k k2 2k k3 3k k4 4 求求k k1 1k k2 2的值；的值； 求求| |OBOB| |2 2| |OCOC| |2 2的值的值 解：解：(1)(1)设椭圆设椭圆C C的右焦点为的右焦点为F F2 2( (c,c,0)0)， 则则c

15、c2 2a a2 2b b2 2( (c c0)0) 由题意可得，以椭圆由题意可得，以椭圆C C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为( (x xc c) )2 2y y2 2a a2 2， 圆心到直线圆心到直线x xy y2 2 2 21 10 0 的距离的距离 d d| |c c2 2 2 21|1|2 2a a(*)(*) 椭圆椭圆C C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形， b b 3 3c c，a a2 2c c，把，把a a2 2c c代入代入(*)(*)式得式得c

16、c1 1，b b 3 3，a a2 2， 故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为x x2 24 4y y2 23 31 1 (2)(2)设设B B( (x x1 1，y y1 1) )，C C( (x x2 2，y y2 2) )， 则则D D( (x x1 1，y y1 1) )， 于是于是k k1 1k k2 2y y2 2y y1 1x x2 2x x1 1y y2 2y y1 1x x2 2x x1 1y y2 22 2y y2 21 1x x2 22 2x x2 21 1 3 34 4x x2 22 23 34 4x x2 21 1x x2 22 2x x2 21 13 34 4 由由

17、及题意知，及题意知，k k3 3k k4 4k k1 1k k2 23 34 4，故，故y y1 1y y2 23 34 4x x1 1x x2 2 9 91616x x2 21 1x x2 22 2y y2 21 1y y2 22 23 34 4(4(4x x2 21 1)3 34 4(4(4x x2 22 2) )， 即即x x2 21 1x x2 22 216164(4(x x2 21 1x x2 22 2) )x x2 21 1x x2 22 2， x x2 21 1x x2 22 24 4 又又 2 2 x x2 21 14 4y y2 21 13 3 x x2 22 24 4y y2 22 23 3x x2 21 1x x2 22 24 4y y2 21 1y y2 22 23 3， 故故y y2 21 1y y2 22 23 3 | |OBOB| |2 2| |OCOC| |2 2x x2 21 1y y2 21 1x x2 22 2y y2 22 27 7