2022届高三数学一轮复习（原卷版）4．3　三角函数的图象与性质.doc

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1、43 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1“五点法”作图 (1)在确定正弦函数 ysinx 在0， 2上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ， ， ， ， (2)在确定余弦函数 ycosx 在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ， ， ， ， 2周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取 定 义 域 内 的 每 一 个 值 时 ， 都 有_，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的_ 3三角函数的图象和性质 函数 性质 ysinx yc

2、osx ytanx 定义域 _ _ _ 图象 （一个周期） 值域 _ _ R 对称性 对称轴： _ ；对称中心： _ 对称轴： _； 对称中心： _ 无对称轴； 对称中心： _ 最小正 周期 _ _ _ 单调性 单调增区间 _； 单调增区间 _ 单调减区间 _； 单调减区间 _ 单调增区间 _ 奇偶性 _ _ 21_ 自查自纠： 1(1)(0， 0) 2，1 (， 0) 32，1 (2，0) (2)(0，1) 2，0 (，1) 32，0 (2，1) 2f(xT)f(x) 最小正周期 3R R x|xk2，kZ 1，1 1， 1 xk2(kZ) (k， 0)(kZ) xk(kZ) k2，0 (k

3、Z) k2，0 (kZ) 2 2 2k2，2k2(kZ) 2k2，2k32(kZ) 2k，2k(kZ) 2k，2k(kZ) k2，k2(kZ) 奇函数 偶函数 21奇函数 下列函数中，最小正周期为 的奇函数是 ( ) Aysin2x2 Bycos2x2 Cysin2xcos2x Dysinxcosx 解：对 A 项，ysin2x2cos2x，最小正周期为 ，且为偶函数，不符合题意； 对 B 项，ycos2x2sin2x，最小正周期为 ，且为奇函数，符合题意； 对 C 项，ysin2xcos2x 2sin2x4，最小正周期为 ，为非奇非偶函数，不符合题意； 对 D 项，ysinxcosx 2si

4、nx4，最小正周期为 2，为非奇非偶函数，不符合题意 故选 B. (2018全国卷)函数 f(x)tanx1tan2x的最小正周期为 ( ) A.4 B.2 C D2 解：由已知得 f(x)tanx1tan2xsinxcosx1sinxcosx2sinxcosx12sin2x，所以 f(x)的最小正周期 T22.故选 C. (2017山西五校联考)设 kR，则函数 f(x)sinkx6k 的部分图象不可能为 ( ) A B C D 解：当 k0 时，f(x)sin612，其图象为 A；当k2 时，f(x)sin2x62，其图象为 B；当 k1 时，f(x)sinx61，其图象为 C；由选项D

5、的图象可知 f(x)max2，则 21kk1，此时 f(x)sinx61 的图象关于直线 x3对称，这与图象不符故选 D. (2016 浙江)已知 2cos2xsin2xAsin(x)b(A0)，则 Ab_. 解：由于 2cos2xsin2x1cos2xsin2x 2sin2x41，所以 A 2，b1，即 Ab 21.故填 21. (2018湖南六校联考改编)已知函数 f(x)2sin2x3的图象为 C，则： C 关于直线 x712对称； C 关于点12，0 对称； f(x)在3，12上是增函数； 把 y2cos2x 的图象向右平移12个单位长度可以得到图象 C. 以上结论正确的有_(填所有正

6、确的序号) 解：当 x712时，f(x)2，为最小值，故 C 关于直线 x712对称，正确 当 x12时，f(x)2，为最大值，故 C 不关于点12，0 对称，错误 令 2k22x32k2，kZ， 解得 k512xk12，kZ， 因为3，12512，12， 所以 f(x)在3，12上单调递增，故正确(或由 T 及解所述知正确) 把 y2cos2x 的图象向右平移12个单位长度， 可得 y2cos2x12 2cos2x62sin22x6 2sin2x3f(x)，故正确故填. 类型一类型一 三角函数的定义域、值域三角函数的定义域、值域 (1)函数 ylg(sinxcosx)的定义域是_ 解：要使函

7、数有意义，必须使 sinxcosx0. 方法一： 利用图象在同一坐标系中画出0， 2上 ysinx 和 ycosx 的图象，如图所示： 在0，2内，满足 sinxcosx 的 x 为4，54，在4，54内 sinxcosx，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以定义域为x|42kx542k， kZ 方法二： 利用三角函数线如图， MN 为正弦线，OM 为余弦线， 要使 sinxcosx， 只须4x54(在0，2内) 所以定义域为x|42kx542k，kZ 方法三：sinxcosx 2sinx40，由正弦函数ysinx的图象和性质可知2kx42k，解得 2k4x542k，kZ. 所以定义域为x|

8、42kx542k，kZ . 故填x|42kx542k，kZ . 点 拨： 求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)； 求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集 (2)(2017全国卷)函数 f(x)sin2x 3cosx34x0，2的最大值是_ 解：f(x)1cos2x 3cosx34cos2x 3cosx14cosx3221，由自变量的范围x0，2可得，cosx0，1，当 cosx32时，函数 f(x)取得最大值 1.故填 1. 点

9、拨： 本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题求最值时，要注意三角函数的取值范围 (3)已知函数 f(x) 2cos2x4，求函数 f(x)在区间2，0 上的最大值和最小值 解：因为2x0，所以342x44， 所以当 2x434，即 x2时，f(x)有最小值，f(x)min1； 当 2x40， 即 x8时， f(x)有最大值， f(x)max 2，即 f(x)在2，0 上的最小值为1，最大值为 2. 点 拨： 求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例 1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等

10、对于形如 yAsin(x)b(或 yAcos(x)b)， 可直接求出 x 在区间的范围，然后根据单调性求解 (1)函数 ylgsinx2sinx 3的定义域为_ 解：因为 ylgsinx2sinx 3，所以sinx0，2sinx 30. 所以原函数的定义域为x|2kx2k，且x2k3，x2k23，kZ故填x|2kx2k，且 x2k3，x2k23，kZ (2)已知函数 f(x)sin2x6，xR，求 f(x)在0，2 上的最大值和最小值 解：因为 x0，2，所以 2x66，56. 当 2x66，即 x0 时，函数 f(x)有最小值12； 当 2x62，即 x3时，函数 f(x)有最大值 1. (

11、3)函数 ysinxcosxsinxcosx 的值域为_ 解：设 tsinxcosx，则 t212sinxcosx，sinxcosx1t22，且 2t 2. 所以 yt22t1212(t1)21. 当 t1 时， ymax1； 当 t 2时， ymin122. 所以函数 ysinxcosxsinxcosx 的值域为12 2，1 . 故填 12 2，1 . 类型二类型二 三角函数的周期性三角函数的周期性 求下列函数的最小正周期 (1)y(asinxcosx)2(aR)； (2)y2cosxsinx3 3sin2xsinxcosx； (3)y2sin4x3. 解：(1)y a21sin(x)2 (

12、a21)sin2(x) (a21)1cos（2x2）2( 为辅助角)， 所以此函数的最小正周期为 T22. (2)y2cosx12sinx32cosx 3sin2xsinxcosx sinxcosx 3cos2x 3sin2xsinxcosx sin2x 3cos2x 2sin2x3， 该函数的最小正周期为 T22. (3)y2sin4x3的最小正周期是 y2sin(4x3)的最小正周期的一半，即 T12244. 点 拨： 求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义；利用公式 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，yAtan(x)的最小正周期为|；对于形如 yasinxbcos

13、x 的函数，一般先把其化为 y a2b2 sin(x)的形式再求周期；带绝对值的三角函数的周期是否减半，要根据图象来确定 (2018全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则 ( ) Af(x)的最小正周期为 ，最大值为 3 Bf(x)的最小正周期为 ，最大值为 4 Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 解：根据题意有 f(x)2cos2xsin2x23cos2x132(2cos2x1)32132cos2x52， 所以函数 f(x)的最小正周期为 T22，且最大值为 f(x)max32524.故选 B. 类型三类型三 三角函数的奇偶

14、性三角函数的奇偶性 (1)判断下列函数的奇偶性 ()f(x)cos22x cos(x)； ()f(x)6cos4x5sin2x4cos2x. 解：()f(x)cos22x cos(x) (sin2x)(cosx) cosxsin2x. 因为 f(x)cos(x)sin2(x)cosxsin2xf(x)，xR，所以 f(x)是奇函数 ()由 cos2x0 得 2xk2，kZ，解得 x k24， k Z ， 所 以f(x) 的 定 义 域 为x|xR，且xk24，kZ . 因为 f(x)的定义域关于原点对称，且 f(x)6cos4（x）5sin2（x）4cos（2x） 6cos4x5sin2x4c

15、os2xf(x) 所以 f(x)是偶函数 (2)已知函数f(x)2sinx3 2，2 是偶函数，则 的值为 ( ) A0 B.6 C.4 D.3 解：因为函数 f(x)为偶函数，所以 3k2(kZ)又因为 2，2，所以 32，解得 6，经检验符合题意故选 B. 点 拨： 判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证 f(x)是否等于f(x)或 f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用x 取代 x，再化简判断，还可利用 f(x) f(x)0 是否成立来判断其奇偶性 (1)判断下列函数

16、的奇偶性 ()f(x) 2sinx1； ()f(x)lg(sinx 1sin2x) 解：()因为 2sinx10，所以 sinx12， 即 x2k6，2k56(kZ)， 此区间不关于原点对称 所以 f(x)是非奇非偶函数 ()由题意知函数 f(x)的定义域为 R. f(x)lgsin(x) 1sin2（x） lg()sinx 1sin2x lg11sin2xsinx lg( 1sin2xsinx)f(x) 所以函数 f(x)是奇函数 (2)若函数 y3cos(2x3)为奇函数，则|的最小值为_ 解：依题意得，3k2(kZ)， k56(kZ)，因此|的最小值是6.故填6. 类型四类型四 三角函数

17、的单调性三角函数的单调性 (1)(2017浙江)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sinxcosx(xR) ()求 f23的值； ()求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解：()由 sin2332，cos2312，得 f233221222 332122. ()由 cos2xcos2xsin2x 与 sin2x2sinxcosx得 f(x)cos2x 3sin2x2sin2x6. 所以 f(x)的最小正周期是 . 函数 f(x)的单调递增区间即 ysin2x6的单调递减区间 由22k2x6322k，kZ， 解得6kx23k，kZ. 所以 f(x)的单调递增区间是6k，23k(kZ)

18、 (2)(2017洛阳模拟)已知 0，函数 f(x)sinx4 在2， 上单调递减，则 的取值范围是 ( ) A.12，54 B.12，34 C.0，12 D(0，2 解：由2x 得24x44，由题 意 知24，42，32， 所 以242，432， 解得1254.故选 A. 点 拨： 求三角函数单调区间的两种方法：求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律；求形如 yAsin(x)(A0， 0)的单调区间时， 要视“x”为一个整体， 通过解不等式求解(若 0， 应先用诱导公式化 x 的系数为正数，以防止把单调性弄错)，由22kx22k(kZ)求增区间

19、； 由22kx322k(kZ)求减区间对于逆向的已知三角函数的单调区间求参数问题，常先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 (1)(2016衡阳模拟)设函数 f(x) 3sinxcosx，(3，0)，若 f(x)的最小正周期为 ，则 f(x)的一个单调递减区间是 ( ) A.2，0 B.6，3 C.3，56 D.2， 解：f(x)2sinx6，f(x)的最小正周期 T 2|，又 (3，0)，所以 2，所以 f(x)2sin2x6，令 2k22x62k2，kZ，得 k6xk3，kZ，当 k0 时，可得 f(x)的一个单调递减区间是6，3.故选 B. (2)(2018全国卷)若 f(x)c

20、osxsinx 在a，a上是减函数，则 a 的最大值是 ( ) A.4 B.2 C.34 D 解：因为 f(x)cosxsinx 2cosx4， 所以由 2kx42k(kZ)，得42kx342k(kZ)， 因此a， a4，34， 所以aa，a4，a34，所以 0a4，从而 a 的最大值为4.故选 A. 类型五类型五 三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性 (1)( 2017全国卷 ) 设 函 数 f(x) cos(x3)，则下列结论错误的是 ( ) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线 x83对称 Cf(x)的一个零点为 x6 Df(x)在2， 单调递减 解法一：(数形结合法

21、) 函数 f(x)cosx3的图象可由 ycosx 向左平移3个单位得到，如图可知，f(x)在2， 上先递减后递增，D 选项错误 解法二：(排除法) 函数的最小正周期为 T212， 则函数的周期为 T2k(kZ 且 k0)，取 k1，可得函数 f(x)的一个周期为2，选项 A 正确； 令 x3k(kZ)，可得对称轴 xk3(kZ)，取 k3，可得函数 yf(x)的图象关于直线 x83对称，则选项 B 正确； f(x)cosx3 cosx3，代入 x6得 y0，则选项 C 正确； 当 x2， 时，x356，43，函数在该区间不单调，选项 D 错误故选 D. (2)(2018东北四市二联)将函数

22、f(x)sin(2x)|2的图象向右平移12个单位， 所得到的图象关于y轴对称， 则函数f(x)在0，2上的最小值为( ) A.32 B.12 C12 D32 解： f(x)sin(2x)的图象向右平移12个单位得到函数 g(x)sin2x12 sin2x6 的图象， 此函数图象关于 y 轴对称， 即函数 g(x)为偶函数，则62k，kZ，由|0)的最小正周期为 ，则该函数的图象( ) A关于点3，0 对称 B关于直线 x4对称 C关于点4，0 对称 D关于直线 x3对称 解：由 T 知 2T22， 所以函数 f(x)sin2x3. 函数 f(x)的对称轴满足 2x32k(kZ)，解得 x12

23、k2(kZ)； 函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x3k(kZ)， 解得 x6k2(kZ)故选 A. (2)( 2018江苏 ) 已 知 函 数y sin(2x )22的图象关于直线 x3对称， 则 的值是_ 解：由题意可得 sin23 1，所以232k， 6k(kZ), 因为20，0)，由22kx22k(kZ)求其增区间；由22kx322k(kZ)求其减区间关于复合函数的单调性的求法，参见本书“2.2 函数的单调性与最大(小)值” (2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内若不是同名三角函数，

24、则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较， 与1比较等)求解 1(2017全国卷)函数 f(x)sin2x3的最小正周期为 ( ) A4 B2 C D.2 解：函数 f(x)的最小正周期为 T22.故选 C. 2(2019届湖南师大附中高三上学期月考)已知函数 f(x)sin2x2sin2x1，给出下列四个结论： 函数 f(x)的最小正周期是 2； 函数 f(x)在区间8，58上是减函数； 函数 f(x)的图象关于直线 x8对称； 函数 f(x)的图象可由函数 y 2sin2x 的图象向左平移4个单位得到 其中正确结论的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 解：f(x)sin2xco

25、s2x 2sin2x4. 因为 2，则 f(x)的最小正周期 T，结论错误 当 x8，58时，2x42，32，则 f(x)在区间8，58上是减函数，结论正确 因为 f8 2为 f(x)的最大值，则 f(x)的图象关于直线 x8对称，结论正确 设 g(x) 2sin2x，则 gx4 2sin2x4 2sin2x2 2cos2xf(x)，结论错误故选B. 3(2018届武汉二月调研测试)已知函数 f(x)sin(2x)acos(2x)(0)的最大值为 2，且满足 f(x)f2x ，则 ( ) A.6 B.3 C.3或23 D.6或56 解：由 f(x)的最大值为 2，知1a22，即 a 3，所以

26、f(x)2sin2x3，由 f(x)f2x知 f(x)的图象关于直线 x4对称，所以当 x4时，2x3k2， 即 k3(kZ)又因为 00)在区间2，23上是增函数，且在区间0，上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是 ( ) A(0，1 B.0，34 C.12，34 D1，) 解：由题意，得 f(x)2sinx(0)，且在区间2，23上是增函数， 则22，232，解得 034，又函数在区间0，上恰好取得一次最大值，所以252，解得12cosx时，f(x)sinx.给出以下结论： f(x)是周期函数； f(x)的最小值为1； 当且仅当 x2k(kZ)时，f(x)取得最小值； 当且仅当 2k2x0

27、； f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2. 其中正确的结论序号是_ 解：易知函数 f(x)是周期为 2 的周期函数函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示 由图象可得，f(x)的最小值为22，当且仅当 x2k54(kZ)时，f(x)取得最小值；当且仅当 2k2x0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2.所以正确的结论的序号是.故填. 9(2017江西上饶模拟)设函数 f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线 x8. (1)求 的值； (2)求函数 yf(x)的单调递增区间 解：(1)由 f8 1 得 sin4 1， 因为0，所以3440，|2)，x4为 f(x)的零点，x4为yf(x)的图象的对称轴， 且f(x)在18，536上单调，则的最大值为 ( ) A11 B9 C7 D5 解：由题意得 4k，4m2(k，mZ)， 所以 mk24，12(mk)， 又|2，所以 4或 4. 当 4时，14k， 若 9， 当 x18，536时， 9x4的范围为34，32， 满足 f(x)在18，536上单调， 当 4时，14k，若 11，当x18，536 时，11x4的范围为1336，2318，不满足 f(x)在18，536上单调， 所以 的最大值为 9.故选B.