2022届高三数学一轮复习（原卷版）1．3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.doc

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1、13 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1逻辑联结词 命 题 中 的 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 称 为_ 2全称量词 “所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做_， 并用符号“_”表示含有全称量词的命题称为_，全称命题“对 M 中任意一个 x， 有 p(x)成立”可用符号简记为：xM，p(x) 3存在量词 “存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做_，并用符号“_”表示含有存在量词的命题称为_，特称命题“存在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为：x0M，p(x0) 注：特称命题也称存在性命题 4含有一个量词的命

2、题的否定 命 题 命题的否定 xM，p(x) x0M，p(x0) 因此，全称命题的否定是_命题；特称命题的否定是_命题 5命题 pq，pq，綈 p 的真假判断(真值表) p q pq pq 綈 p 真 真 真 假 假 真 假 假 10 注：“pq”“pq”“綈 p”统称为复合命题，构成复合命题的 p 命题，q 命题称为简单命题 自查自纠： 1逻辑联结词 2全称量词 全称命题 3存在量词 特称命题 4x0M，綈 p(x0) xM，綈 p(x) 特称 全称 5真 真 假 假 真 假 假 真 真 10假 假 真 (2018陕西部分学校摸底)命题“x0，xx10” 的否定是 ( ) Ax00，x0 x

3、010 Bx00，0 x01 Cx0，xx10 Dx0 x1，所以xx10 的否定是 0 x1，所以命题的否定是“x00，0 x01”故选 B. (2018河北武邑中学模拟)下列命题为假命题的是 ( ) AxR，2 018x20 Bx0R，tanx0R Cx0R，lgx00 DxR，(x100)2 0180 解：对于 A，指数式 2 018x2恒大于 0，A 为真命题；对于 B，正切函数的值域为 R，B 为真命题；对于 C，对数函数的值域为 R，故 C 为真命题；对于 D，x100 时，(x100)2 01802 0180，D 为假命题故选 D. (2017山东)已知命题 p：x0，ln(x1

4、)0；命题 q：若 ab，则 a2b2，下列命题为真命题的是 ( ) Apq Bp(綈 q) C(綈 p)q D(綈 p)(綈 q) 解：由 x0 时 x11，知 p 是真命题，由12，(1)2(2)2可知 q 是假命题，即 p，綈 q均是真命题故选 B. 命题“xR，|x2|x4|3”的否定是_ 解：由定义知命题的否定为“x0R，|x02|x04|3”故填x0R，|x02|x04|3. 已知命题 p：xR，x22axa0，若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是_ 解：因为 p 是假命题，则綈 p 为真命题，即 “xR，x22axa0”为真命题，所以 4a24a0，解得 0a1.故填(

5、0，1) 类型一类型一 含有逻辑联结词的命题含有逻辑联结词的命题及其真假判断及其真假判断 (1)(2018江西南昌模拟)设命题 p： x0(0，)，x01x03，命题 q：x(2，)，x22x，则下列命题为真命题的是( ) Ap(綈 q) B(綈 p)q Cpq D(綈 p)q 解：命题 p：x0(0，)，x01x03，当 x03 时，3133，命题为真命题 q：x (2， )， x22x， 当 x4 时， 两式相等， 命题为假则p(綈 q)为真命题故选 A. (2)已知命题 p：xN*，12x13x；命题 q：x0N*，2x021x02 2，则下列命题中为真命题的是 ( ) Apq B(綈

6、p)q Cp(綈 q) D(綈 p)(綈 q) 解：根据幂函数的性质，可知命题 p 为真命题；由 2x021x02 2，得 22x02 22x020，解得2x0 2，即 x012(或 2x021x022 x021x02 2，当且仅当 2x021x0，即 x012时等号成立)，命题 q 为假命题所以只有 p (綈 q)为真命题故选C. 点 拨： 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤：第一步，判断复合命题的结构；第二步，判断构成这个命题的每个简单命题的真假；第三步，依据“或” ：一真即真， “且” ：一假即假， “非” ：真假相反作出判断 (1)已知命题 p：x0R，x02lgx0；命题 q：x

7、R，ex1.则 ( ) A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题 C命题 p(綈 q)是真命题 D命题 p(綈 q)是假命题 解：取 x010，得 x02lgx0，所以命题 p 是真命题； 取x1， 得ex1， 所以命题q是假命题则pq 是真命题， pq 是假命题， p(綈 q)是真命题，p(綈 q)是真命题故选 C. (2)(2018安徽皖江名校联考)命题 p：存在 x0，2，使 sinxcosx 2；命题 q：“x0(0，)，lnx0 x01”的否定是“x(0，)， lnxx1”，则四个命题：(綈 p)(綈 q)，pq， (綈 p)q，p(綈 q)中，正确的命题个数为 ( ) A1

8、B2 C3 D4 解：因为 sinxcosx 2sinx4 2，所以命题 p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题 q 为真命题则(綈 p)(綈 q)为真命题， pq 为假命题，(綈 p)q 为真命题，p(綈 q)为假命题，所以 4 个命题中正确的有 2 个故选 B. 类型二类型二 含有逻辑联结词的命题含有逻辑联结词的命题的综合问题的综合问题 已知函数 f(x)x1，x2，x3，2x12. (1)求函数 f(x)的最小值； (2)已知 mR，p：关于 x 的不等式 f(x)m22m2 对任意的 mR 恒成立，q：函数 y(m22)x是增函数，若“p 或 q”为真， “p 且 q”为假

9、，求实数 m 的取值范围 解：(1)函数 f(x)在(，2)上单调递减，在2，12上单调递增，故 f(x)的最小值 f(x)minf(2)1. (2)由题意得，p 与 q 一真一假 若 p 为真，则 m22m21，故3m1； 若 q 为真， 则 m220， 故 m 2或 m 2. 则有 p 真 q 假，则3m1， 2m 2，解得 2 m1； p 假 q 真，则m1或m3，m 2或m 2，解得 m3 或 m 2. 故实数 m 的取值范围是(，3) 2，1( 2，) 点 拨： 由“p 或 q”为真， “p 且 q”为假判断出 p 和 q一真一假后， 再根据命题与集合之间的对应关系求 m的范围逻辑联

10、结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补” 已知命题 p：在 x1，2时，不等式x2ax20 恒成立；命题 q：函数 f(x)log13(x2 2ax3a)是区间1，)上的减函数若命题“pq”是真命题，则实数 a 的取值范围为_ 解：因为 x1，2时，不等式 x2ax20 恒成立， 所以 a2x2x2xx 在 x1，2时恒成立， 令 g(x)2xx，则 g(x)在1，2上是减函数， 所以 g(x)maxg(1)1， 所以 a1.即若命题 p 真，则 a1. 又因为函数 f(x)log13(x22ax3a)是区间1， )上的减函数，所以 u

11、(x)x22ax3a 是1，)上的增函数，且 u(x)0 在1，)上恒成立， 所以a1，u（1）0，所以1a1， 即若命题 q 真，则11.故填(1，) 类型三类型三 全称命题与特称命题全称命题与特称命题 (1)(2018东北师大附中质检)已知命题p：xR，exx10，则綈 p 是 ( ) AxR，exx10 Bx0R，ex0 x010 Cx0R，ex0 x010 DxR，exx10 解：因为全称命题的否定是特称命题，则綈 p：x0R，ex0 x010.故选 B. (2)已知“命题 p：x0R，ax202x010，命题q：x0R，sinx0cosx0 2，则下列命题中为真命题的是 ( ) Ap

12、q B(綈 p)(綈 q) Cp(綈 q) D(綈 p)q 解：在命题 p 中，当 x12时，2x22x120，故p为假命题；在命题q中，当x034时，sinx0cosx02，故 q 为真命题，所以(綈 p)q 为真命题故选D. 4下列说法中，正确的个数是 ( ) 命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1”； 若 p：x0R，x20 x010，则綈 p： xR，x2x10； 在ABC 中， “sinAsinB”是“AB”的充要条件； 若 pq 为真命题，则 p，q 均为真命题 A0 B1 C2 D3 解：易知正确，错误在ABC 中，由正弦定理可得asinAbsinB，因此

13、sinAsinBabAB，因此“sinAsinB”是“AB”的充要条件，正确故选 D. 5下列命题中，正确的是 ( ) A命 题“x R， x2 x0”的否定 是 “x0R，x20 x00” B命题“pq 为真”是命题“pq 为真”的必要不充分条件 C “若 am2bm2，则 ab”的否命题为真 D若实数 x，y1，1，则满足 x2y21的概率为4 解：A 中否定不能有等号B 中命题“pq 为真”是命题“pq 为真”的充分不必要条件D 中概率应为 14.故选 C. 6若命题“x(1，)，x2(2a)x2a0”为真命题，则实数 a 的取值范围是( ) A(，2 B(，2 C2，2 D(，22，)

14、 解： 当 x1 时， 原不等式等价于 ax22x11x1x11x1，由于 x11x12，当且仅当 x11x1，即 x2 时等号成立，故 a2.故选 B. 7已知命题 p1：函数 y2x2x在 R 上为增函数；p2：函数 yx1x在(0，)上为减函数则在命题 q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈 p1)p2和q4：p1(綈 p2)中，是真命题的是_ 解：p1是真命题，则綈 p1为假命题；p2是假命题，则綈 p2为真命题， 所以 q1： p1p2是真命题， q2： p1p2是假命题， 所以 q3：(綈 p1)p2为假命题，q4：p1(綈 p2)为真命题 所以真命题是 q1，q4.故填 q1

15、，q4. 8已知 p： 方程 x2mx10 有两个不相等的负实数根；q：不等式 4x24(m2)x10 的解集为R.若“pq”为真命题， “pq”为假命题，则实数m 的取值范围是_ 解：p 为真命题，有m240，m0， 解得 m2. q 为真命题，有 4(m2)24410，解得 1m3. 由“pq”为真命题， “pq”为假命题，知 p与 q 一真一假 当 p 真 q 假时，由m2，m1或m3， 得 m3； 当 p 假 q 真时，由m2，1m3， 得 10 且 a1，则xR，ax0，显然该命题为假命题 (2)全称命题，其否定形式为：x1，x2R，且x1x2，使 tanx1tanx2，该命题为真命

16、题例如取x10，x2，有 x1x2，但 tanx1tanx20；又当x10，x223时，有 x1x2，但 tan00，tan23 3，所以 tanx1tanx2. (3)特称命题，其否定形式为：TR，|sin(xT)|sinx|，该命题是假命题例如 T0 时，有 |sin(x)|sinx|. (4)特称命题，其否定形式为xR，x210.因为 xR 时，x20，所以 x2110，故为真命题 11已知 p：x1和 x2是方程 x2mx20 的两个实根，不等式 a25a3|x1x2|对任意的 m 1，1恒成立，q：不等式 ax22x10 有解若p(綈 q)是真命题，求实数 a 的取值范围 解：p(綈

17、 q)为真命题，则 p 真 q 假因为 x1，x2是方程 x2mx20 的两个实根，所以x1x2m，x1x22，所以|x1x2|（x1x2）24x1x2m28，所以当 m1，1时，|x1x2|max3，所以由不等式 a25a3|x1x2|对任意的 m1，1恒成立，得 a25a33，所以 a6 或 a1. 因为不等式 ax22x10 有解，所以当 a0时，显然有解；当 a0 时，2x10 有解；当 a0时，44a0，解得1a0.所以不等式 ax22x10 有解时，a1. 又 q 是假命题，所以 a1. 故 p(綈 q)是真命题时，a 的取值范围为(，1 已知 mR，命题 p：对任意 x0，1，不

18、等式 2x2m23m 恒成立；命题 q：存在 x 1，1，使得 max 成立 (1)若 p 为真命题，求 m 的取值范围； (2)当 a1 时，若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，求m 的取值范围 解： (1)因为对任意 x0， 1， 不等式 2x2m23m 恒成立， 所以(2x2)minm23m， 即 m23m2，解得 1m2. 因此， 若 p 为真命题时， m 的取值范围是1， 2 (2)因为 a1，且存在 x1，1，使得 max成立， 所以 m1. 因此，命题 q 为真时，m1. 因为 p 且 q 为假，p 或 q 为真， 所以 p，q 中一个是真命题，一个是假命题 当 p 真 q 假时，由1m2，m1， 得 1m2； 当 p 假 q 真时，由m1或m2，m1， 得 m1. 综上所述，m 的取值范围为(，1)(1，2