2022届高三数学一轮复习（原卷版）9．6　椭　　圆.docx

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1、96椭圆111椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a_|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修21 P47例6、P50)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0e1)的轨迹叫做椭圆定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的_2椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)标准方程1(a>b>0)(3)范围axa，bybaya，bxb(4)中心原点O(0，0)(5)顶点A1(a，0)，A2(a，

2、0)B1(0，b)，B2(0，b)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0，c)，F2(0，c)(8)焦距2c2(9)离心率自查自纠：1(1)焦点焦距(2)离心率2(2)1(ab0)(5)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)(7)F1(c，0)，F2(c，0)(9)e(0e1) 已知椭圆1(m>0)的左焦点为 F1(4，0)，则m等于 ()A2 B3 C4 D9解：由题意知25m216，解得m29，又m>0，所以m3故选B 已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 ()A2 B6 C4

3、D12解：由椭圆的方程得a设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC的周长为4a4故选C ()已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A B C D解：由三角形的相似可得，两式相乘得·，解得a3c，故离心率e故选A 已知椭圆1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为_解：当焦点在x轴上时，有m41，得m5，此时长轴长为2；当焦点在y轴上时，长轴长为4故填2或4 已知ABC的顶点A(4，

4、0)和C(4，0)，顶点B在椭圆1上，则_解：由题意知，A，C为椭圆的两焦点，由正弦定理，得故填类型一椭圆的定义及其标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(，)，(，)，则椭圆的方程为_解：依题意，设椭圆方程为mx2ny21(m， n0，mn)由解得m，n所以椭圆的方程为1故填1(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_解法一：依题意，设所求椭圆方程为1(k9)，将点(，)代入可得1，解得k5(k21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为1解法二：椭圆1的焦点为(0，4)，(0，4)，即c4由椭圆的定义知，2a，解得a2由c2a2b2可得b24所以所求椭圆的

5、标准方程为1故填1点拨：求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，求出m，n的值即可(1)()已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为()A1 B1Cy21 Dy21解：依题意，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知可得抛物线的焦点为(1，0)，所以c1，又离心率e，所以a2，b2 a2c23，所以椭圆方程为1故选A(2)已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，

6、B两点，且|AB|3，则C的方程为_解：依题意，设椭圆C的方程为1(ab0)因为过点F2(1，0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|3，所以点A(1，)必在椭圆上，所以1又由c1，得1b2a2由联立，得b23，a24故所求椭圆C的方程为1故填1类型二椭圆的离心率(1)从椭圆1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A B C D解：左焦点为F1(c，0)，PF1x轴，当xc时，1yb2yP(负值不合题意，舍去)，所以点P，由斜率公式得kAB，kOP因为A

7、BOP，所以kABkOPbc因为a2b2c22c2，所以e故选C(2)()如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(a>b>0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是_解：由题意可得B，C，F(c，0)，则由BFC90°得··(ca，)c2a2b20，化简得ca，则离心率e故填点拨：求椭圆的离心率通常要构造关于a，c的齐次式，再转化为关于e的方程；求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式(1)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1

8、的中点在y轴上，PF1F230°，则椭圆的离心率为 ()A B C D解：如图，设PF1的中点为M，连接PF2因为O为F1F2的中点，所以OM为PF1F2的中位线，所以OMPF2，所以PF2F1MOF190°因为PF1F230°，所以|PF1|2|PF2|，|F1F2|PF2|，由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|，即a，2c|F1F2|PF2|，即c，则e·故选A (2)已知椭圆1(abc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(ac)，

9、则椭圆的离心率e的取值范围是_解：因为|PT|(bc)，而|PF2|的最小值为ac，所以|PT|的最小值为依题意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21联立，得e故填，)类型三椭圆的焦点三角形椭圆C：y21(a0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，NO为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则PF1F2的周长是()A2() B2C D42解：因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，

10、所以OMPF2，且|OM|PF2|，同理，ONPF1，且|ON|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形，由题意知，|OM|ON|，故|PF1|PF2|2，即2a2，a，由a2b2c2知c2a2 b22，c，所以|F1F2|2c2，故PF1F2的周长为2a2c22故选A点拨：椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的距离、焦距之间的相互制约关系的一个载体由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩()已知椭圆：1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_解：由椭圆的方程可

11、知a2，由椭圆的定义可知，|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则通径长3所以b23，即b故填类型四椭圆中的最值问题(1)已知F是椭圆1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|PF|的最大值为，最小值为_解：由题意知a3，b，c2，F(2，0)设椭圆右焦点为F，则|PF|PF|6 ，所以|PA|PF|PA|PF|6当P，A，F三点共线时，|PA|PF|取到最大值|AF|，或者最小值|AF|所以|PA|PF|的最大值为6，最小值为 6故填6；6(2)已知点F1，F2是椭圆x22y22的左、右焦点，

12、点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是 ()A0 B1 C2 D2解：设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，所以(2x0，2y0)，因为点P在椭圆上，所以0y1，所以当y1时，|取最小值2另解：由2求解故选C(3)在椭圆1上到直线2x3y150的距离最短的点的坐标为解：设所求点坐标为A(3cos，2sin)，R，由点到直线的距离公式得d，当2k，kZ时，d取到最小值，此时A点坐标为(3，2)故填(3，2)点拨：椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次

13、函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解(1)设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是 ()A5 B C7 D6解法一：设椭圆上任意一点为Q(x，y)，则圆心(0，6)到点Q的距离d5，P，Q两点间的最大距离ddmax6解法二：易知圆心坐标为M(0，6)，|PQ|的最大值为|MQ|max，设Q(cos，sin)，则|MQ|，当sin时，|MQ|max5，所以|PQ|max56故选D(2)如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为

14、_解：设P点坐标为(x0，y0)由题意知a2，因为e，所以c1，所以b2a2c23所以椭圆方程为1所以2x02，y0因为F(1，0)，A(2，0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以·xx02yxx01(x02)2即当x02时，·取得最大值4故填4类型五椭圆的弦长已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值解：(1)由题意得又a2b2c2，解得b，所以椭圆C的方程为1(2)由得(12k2)x24k2x2k240设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，

15、y2)，则x1x2，x1x2，所以|MN|，又因为点A(2，0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|·d，由，解得k±1点拨：弦长公式|AB|·|x1x2|·|y1y2|·()已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|(1)求椭圆C的方程；(2)若，2，求弦长|AB|的取值范围解：(1)由题意可得e，即，又c2a2b2，则a22b2，把x1代入椭圆方程1，得y±，则，联立得a22，b21所以椭圆C的方程为y21(2)当直线l的斜

16、率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，联立方程组得(12k2)y22kyk20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，由|MA|MB|，得，所以(1x1，y1)(x21，y2)，则y1y2，把代入消去y2，得2，当，2时，20，解得k2又|AB|···2·2(1)2，由k2，得2(，当直线l的斜率不存在时，1，|AB|故弦长|AB|的取值范围为，1在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|2a”这个条件，若|F1F2|2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|2a，则轨迹不存在2椭圆的标准方程有两种形

17、式，两种形式可以统一为1(m0，n0，且mn)，具体是哪种形式，由m与n的大小而定3求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出关于a，b的两个方程，求参数a，b的值；由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a，b的值4充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中5直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式与零的大小关系来判定6直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决设而不求(设点而不求点)的方法

18、是解析几何中最重要的解题方法之一7椭圆中几个常用的结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：当r1r2时，即点P的位置为短轴端点时，最大；Sb2tanc，当b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin(3)AB为椭圆1(ab0)的弦(斜率为k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则弦长l|y1y2|；直线AB的斜率k；k·kOM以上常

19、用结论在教材的例题与习题中都有体现1椭圆1的焦距为2，则m的值等于()A5 B3 C5或3 D8解：当m4时，m41，所以m5；当0m4时，4m1，所以m3故选C2()已知椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为 ()A B C D解：易知c2，所以a2b2c28，a2，所以离心率e故选C3()过点(3，2)且与椭圆3x28y224有相同焦点的椭圆方程为 ()A1 B1C1 D1解：椭圆3x28y224的焦点为(±，0)，可得c，设所求椭圆的方程为1，可得1，又a2b25，得b210，a215，所以所求的椭圆方程为1故选C4已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆1(ab0)上一点

20、，若PF1PF2，tanPF2F12，则椭圆的离心率e ()A B C D解：依题意，设|PF2|m，则有|PF1|2m， |F1F2|m，该椭圆的离心率是e故选A5如图，椭圆1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4， F1PF2120°，则a的值为 ()A2 B3 C4 D5解：由题可知b22，则c，故 |F1F2|2，又|PF1|4，|PF1|PF2|2a，则|PF2|2a4，由余弦定理得cos 120°，化简得 8a24，即a3故选B6()已知直线l：ykx2过椭圆1(ab0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2y24截得的弦长为L，若

21、L，则椭圆离心率e的取值范围是 ()A(0， B(0， C(0， D(0，解：依题意，知b2，kc2设圆心到直线l的距离为d，则L2，解得d2又因为d，所以，又e2，所以0e2，解得0e故选B7焦距为8，离心率为的椭圆的标准方程为_解：由题意知解得又b2a2c2，所以b3当焦点在x轴上时，椭圆方程为1，当焦点在y轴上时，椭圆方程为1故填1或18()椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是_解：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|PF2|2a10则m|PF1|·|PF2|()225，当且仅当|PF1|PF2|5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m

22、取得最大值25，所以点P的坐标为(3，0)或(3，0)故填(3，0)或(3，0)9设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，点N的纵坐标为1，求椭圆的方程解：(1)根据c及题设知M(c，)，则由kMN有2b23ac将b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去)故C的离心率为(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a易知M在第一象限，由三角形的相似得，得xNc，故

23、而N(c，1)，代入C的方程，得1将及c代入得1解得a7，又b24a28，故b2所以椭圆方程为110已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，其中左焦点F(2，0) (1)求椭圆C的方程；(2)若直线yxm与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2y21上，求m的值解：(1)由题意，得解得所以椭圆C的方程为1(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m20，所以2m2，因为x0，所以y0x0m，因为点M(x0，y0)在圆x2y21上，所以()2()21，所以m±11()已知点M(，)

24、在椭圆C：1(ab0)上，且椭圆的离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)，求PAB的面积解：(1)由已知得解得故椭圆C的方程为1(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)由消去y，整理得4x26mx3m2120，则x1x2m，x1x2所以x0，y0x0m，即D(，)因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PDAB，即PD的斜率k1，解得m2此时x1x23，x1x20，则|AB|x1x2|·3，又点P到直线l：xy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|

25、·d ()已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|6，直线ykx与椭圆交于A，B两点(1)若AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1(2，1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围解：(1)由题意得c3，根据2a2c16，得a5结合a2b2c2，解得b4所以椭圆的标准方程为1(2)方法一：由得(b2a2)x2a2b20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x20，x1x2，由AB，F1F2互相平分且A，B，F1，F2四点共圆，易知AF2BF2，因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以·(x13)(x23)y1y2(1)x1x290，即x1x28，所以有8，结合b29a2，解得a212或a26(舍)，所以a2，又c3，所以e方法二：设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且A，B，F1，F2四点共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以xy9，由解得x8，y1，将其代入并结合b2a2c2a29，解得a212，则a2故e(3)由(2)的结论知，椭圆方程为1，由题可设A(x1，y1)，B(x1，y1)，k1，k2，所以k1k2所以k2，由2k11可知，k2故直线PB的斜率k2的取值范围是(，)