2022届高三数学一轮复习（原卷版）4．1　弧度制及任意角的三角函数.doc

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1、41 弧度制及任意角的三角函数弧度制及任意角的三角函数 1任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_到另一个位置所成的图形我们规定：按_方向旋转形成的角叫做正角，按_方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_ (2)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的_重合角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 是 第 一 象 限 角 可 表 示 为|2k0)，则 sin_，cos_，tan_ (x0) (2)正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数 定义域 sin cos tan (3)三角函数值在各象限的符号 sin cos tan

2、4三角函数线 如图，角 的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作x 轴的垂线，垂足为 M，过点 A(1，0)作单位圆的切线，设它与 的终边(当 为第一、四象限角时)或其反向延长线(当 为第二、三象限角时)相交于点 T.根据三角函数的定义，有 OMx_，MPy_，AT_.像OM，MP，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段 MP，OM，AT， 分别叫做角 的_、 _、 _，统称为三角函数线 5特殊角的三角函数值 角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角 的 弧度数 sin cos tan 注：sin156 24，sin7

3、56 24， tan152 3， tan752 3， 由余角公式易求15，75的余弦值和余切值 自查自纠： 1(1)旋转 逆时针 顺时针 零角 (2)非负半轴 |2k22k，kZ |2k2k32，kZ |2k322k2，kZ 或 |2k22k，kZ (3)坐标轴 |2k，kZ |2k2，kZ |2k32，kZ |k，kZ |k2，kZ |k2，kZ (4)|2k，kZ或|k 360，kZ 2(1)半径长 lr (2)2 180 180 (3)| | r 12| | r2 12lr 3(1)yr xr yx (2)R R |k2，kZ 4cos sin yx tan 正弦线 余弦线 正切线 5.

4、 角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角的弧度数 0 6 4 3 2 23 34 56 32 2 sin 0 12 22 32 1 32 22 12 0 1 0 cos 1 32 22 12 0 12 22 32 1 0 1 tan 0 33 1 3 不 存 在 3 1 33 0 不 存 在 0 (2017成都一诊)cos(1 560)的值为 ( ) A32 B12 C.12 D.32 解：cos(1 560)cos(5360240)cos240cos(18060)cos6012.故选 B. (安徽合肥2018届高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标

5、系中，若角 的终边经过点Psin53，cos53，则 sin() ( ) A32 B12 C.12 D.32 解：sinyPcos53cos23cos312， 所以 sin()12.故选 B. 若 是第二象限角， 其终边上一点 P(x, 5)，且 cos24x，则 sin 的值是 ( ) A.104 B.64 C.24 D104 解： r|PO|x25， 由三角函数的定义知 cosxx25，则 x258.sin5x2558104.故选 A. (传统经典题)已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_ 解：设扇形的圆心角为 ，半径为 r，由扇形周长公式和扇形面积公式

6、得 2rr6，r24，消去r 得 364(2)2，即 2540 解得 1， 4.故填 1 或 4. (2018山东临沂检测)已知角 的终边经过点 P(4cos，3cos)，32，则 sincos_. 解： 因为 32， 所以 cos0，12cosx0，即sinx12，cosx12， 如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 2k3，2k56(kZ) 故填 2k3，2k56(kZ) 点 拨： 三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律在求三角函数的定义域、解三角不等式

7、、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性此题考查三角函数的定义域，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，通过确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解 函数 ysinx32的定义域为_ 解：作直线 y32交单位圆于 A，B 两点，连接OA， OB， 因为 sinx32， 则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终边的范围，故满足条件的角 x 的集合为x|2k3x2k23，kZ .故填x|2k3x2k23，kZ . 1要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角 2在同

8、一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用如 2k30(kZ)，k 3602(kZ)的写法都是不规范的 3一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷 4已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况 5牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论 6已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论 7在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线，常使问题变的简单 82k 表示与 终边相同的角，其大小为 与的偶数倍(而不是整数倍)的和， 是的

9、整数倍时，要分类讨论如： (1)sin(2k)sin. (2)sin(k)sin（k为偶数），sin（k为奇数） (1)ksin. 1(必修4第10页A组第10题改编)单位圆中， 200的圆心角所对的弧长为 ( ) A10 B9 C.910 D.109 解：单位圆的半径 r1，200的弧度数是200180109，由弧度数的定义知109lr，所以 l109.故选 D. 2若 是第三象限角，且 cos20，则2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解：因为 是第三象限角，所以2k 22k，则2k20，所以2是第四象限角故选 D. 3(九江十校2017届联考)sin570

10、的值是( ) A12 B.12 C.32 D32 解：sin570sin(360210)sin(18030)sin3012.故选 A. 4已知角 的终边经过点(4，3)，则 cos ( ) A.45 B.35 C35 D45 解：cos4（4）23245.故选 D. 5(2018全国卷)已知角 的顶点为坐标原点， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos223，则|ab| ( ) A.15 B.55 C.2 55 D1 解：由题意，可知 O，A，B 三点共线，从而得到 b2a， 因为 cos22cos2121a212123， 解得 a215， 即|a

11、|55， 所以|ab|a2a|55. 故选 B. 6(2018北京)在平面直角坐标系中， AB， CD，EF，GH是圆 x2y21 上的四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角 以 Ox 为始边，OP 为终边，若tancossin，故 A 选项错误； 当点 P 在CD上时，cosOM，即 sinMP，tanAT，ATMPOM0，即 tansincos，故 B选项错误； 当点 P 在EF上时，cosOM0，tanAT0，且|OM|costan，故C 选项正确； 点 P 在GH上且GH在第三象限， tan0， sin0，cos0 时，r5a，所以 sinyr 4a5a45，cosxr3a5a35，

12、tanyx4a3a43；当 a0时，r5a，所以 sin45，cos35，tan43.综上可知，sin45，cos35，tan43或 sin45，cos35，tan43. 10若 0，2)，且 cos32，求角 的取值范围 解：如图，OM 为0，2)内的角6和116的余弦线， 欲使 cos32，角 的余弦线OM， 当 OM 伸长时，OP 与 OQ 扫过部分为图中扇形(阴影部分)， 则 06或116MP0，ATATsin45；(2)tan2390， 即A90B， 则sinAsin(90B)cosB，sinAcosB0，同理 cosAsinC0，所以点 P 在第四象限，则sin|sin|cos|c

13、os|tan|tan|1111.故填1.41 弧度制及任意角的三角函数弧度制及任意角的三角函数 1任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_到另一个位置所成的图形我们规定：按_方向旋转形成的角叫做正角，按_方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_ (2)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的_重合角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 是 第 一 象 限 角 可 表 示 为|2k0)，则 sin_，cos_，tan_ (x0) (2)正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数 定义域 sin cos tan (3)三角函数值

14、在各象限的符号 sin cos tan 4三角函数线 如图，角 的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作x 轴的垂线，垂足为 M，过点 A(1，0)作单位圆的切线，设它与 的终边(当 为第一、四象限角时)或其反向延长线(当 为第二、三象限角时)相交于点 T.根据三角函数的定义，有 OMx_，MPy_，AT_.像OM，MP，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段 MP，OM，AT， 分别叫做角 的_、 _、 _，统称为三角函数线 5特殊角的三角函数值 角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角 的 弧度数 sin cos

15、tan 注：sin156 24，sin756 24， tan152 3， tan752 3， 由余角公式易求15，75的余弦值和余切值 自查自纠： 1(1)旋转 逆时针 顺时针 零角 (2)非负半轴 |2k22k，kZ |2k2k32，kZ |2k322k2，kZ 或 |2k22k，kZ (3)坐标轴 |2k，kZ |2k2，kZ |2k32，kZ |k，kZ |k2，kZ |k2，kZ (4)|2k，kZ或|k 360，kZ 2(1)半径长 lr (2)2 180 180 (3)| | r 12| | r2 12lr 3(1)yr xr yx (2)R R |k2，kZ 4cos sin y

16、x tan 正弦线 余弦线 正切线 5. 角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角的弧度数 0 6 4 3 2 23 34 56 32 2 sin 0 12 22 32 1 32 22 12 0 1 0 cos 1 32 22 12 0 12 22 32 1 0 1 tan 0 33 1 3 不 存 在 3 1 33 0 不 存 在 0 (2017成都一诊)cos(1 560)的值为 ( ) A32 B12 C.12 D.32 解：cos(1 560)cos(5360240)cos240cos(18060)cos6012.故选 B. (安徽合肥2018

17、届高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点Psin53，cos53，则 sin() ( ) A32 B12 C.12 D.32 解：sinyPcos53cos23cos312， 所以 sin()12.故选 B. 若 是第二象限角， 其终边上一点 P(x, 5)，且 cos24x，则 sin 的值是 ( ) A.104 B.64 C.24 D104 解： r|PO|x25， 由三角函数的定义知 cosxx25，则 x258.sin5x2558104.故选 A. (传统经典题)已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_ 解：设扇形的圆心角为 ，

18、半径为 r，由扇形周长公式和扇形面积公式得 2rr6，r24，消去r 得 364(2)2，即 2540 解得 1， 4.故填 1 或 4. (2018山东临沂检测)已知角 的终边经过点 P(4cos，3cos)，32，则 sincos_. 解： 因为 32， 所以 cos0，12cosx0，即sinx12，cosx12， 如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 2k3，2k56(kZ) 故填 2k3，2k56(kZ) 点 拨： 三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变

19、化规律在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性此题考查三角函数的定义域，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，通过确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解 函数 ysinx32的定义域为_ 解：作直线 y32交单位圆于 A，B 两点，连接OA， OB， 因为 sinx32， 则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终边的范围，故满足条件的角 x 的集合为x|2k3x2k23，kZ .故填x|2k3x2k23，kZ . 1要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一

20、象限角，但第一象限角不一定是锐角 2在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用如 2k30(kZ)，k 3602(kZ)的写法都是不规范的 3一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷 4已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况 5牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论 6已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论 7在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线，常使问题变的简单 82k 表示与 终边相同的角，其大小为

21、 与的偶数倍(而不是整数倍)的和， 是的整数倍时，要分类讨论如： (1)sin(2k)sin. (2)sin(k)sin（k为偶数），sin（k为奇数） (1)ksin. 1(必修4第10页A组第10题改编)单位圆中， 200的圆心角所对的弧长为 ( ) A10 B9 C.910 D.109 解：单位圆的半径 r1，200的弧度数是200180109，由弧度数的定义知109lr，所以 l109.故选 D. 2若 是第三象限角，且 cos20，则2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解：因为 是第三象限角，所以2k 22k，则2k20，所以2是第四象限角故选 D.

22、3(九江十校2017届联考)sin570的值是( ) A12 B.12 C.32 D32 解：sin570sin(360210)sin(18030)sin3012.故选 A. 4已知角 的终边经过点(4，3)，则 cos ( ) A.45 B.35 C35 D45 解：cos4（4）23245.故选 D. 5(2018全国卷)已知角 的顶点为坐标原点， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos223，则|ab| ( ) A.15 B.55 C.2 55 D1 解：由题意，可知 O，A，B 三点共线，从而得到 b2a， 因为 cos22cos2121a

23、212123， 解得 a215， 即|a|55， 所以|ab|a2a|55. 故选 B. 6(2018北京)在平面直角坐标系中， AB， CD，EF，GH是圆 x2y21 上的四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角 以 Ox 为始边，OP 为终边，若tancossin，故 A 选项错误； 当点 P 在CD上时，cosOM，即 sinMP，tanAT，ATMPOM0，即 tansincos，故 B选项错误； 当点 P 在EF上时，cosOM0，tanAT0，且|OM|costan，故C 选项正确； 点 P 在GH上且GH在第三象限， tan0， sin0，cos0 时，r5a，所以 sinyr

24、 4a5a45，cosxr3a5a35，tanyx4a3a43；当 a0时，r5a，所以 sin45，cos35，tan43.综上可知，sin45，cos35，tan43或 sin45，cos35，tan43. 10若 0，2)，且 cos32，求角 的取值范围 解：如图，OM 为0，2)内的角6和116的余弦线， 欲使 cos32，角 的余弦线OM， 当 OM 伸长时，OP 与 OQ 扫过部分为图中扇形(阴影部分)， 则 06或116MP0，ATATsin45；(2)tan2390， 即A90B， 则sinAsin(90B)cosB，sinAcosB0，同理 cosAsinC0，所以点 P

25、在第四象限，则sin|sin|cos|cos|tan|tan|1111.故填1.41 弧度制及任意角的三角函数弧度制及任意角的三角函数 1任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_到另一个位置所成的图形我们规定：按_方向旋转形成的角叫做正角，按_方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_ (2)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的_重合角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 是 第 一 象 限 角 可 表 示 为|2k0)，则 sin_，cos_，tan_ (x0) (2)正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数 定义域

26、sin cos tan (3)三角函数值在各象限的符号 sin cos tan 4三角函数线 如图，角 的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作x 轴的垂线，垂足为 M，过点 A(1，0)作单位圆的切线，设它与 的终边(当 为第一、四象限角时)或其反向延长线(当 为第二、三象限角时)相交于点 T.根据三角函数的定义，有 OMx_，MPy_，AT_.像OM，MP，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段 MP，OM，AT， 分别叫做角 的_、 _、 _，统称为三角函数线 5特殊角的三角函数值 角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270

27、360 角 的 弧度数 sin cos tan 注：sin156 24，sin756 24， tan152 3， tan752 3， 由余角公式易求15，75的余弦值和余切值 自查自纠： 1(1)旋转 逆时针 顺时针 零角 (2)非负半轴 |2k22k，kZ |2k2k32，kZ |2k322k2，kZ 或 |2k22k，kZ (3)坐标轴 |2k，kZ |2k2，kZ |2k32，kZ |k，kZ |k2，kZ |k2，kZ (4)|2k，kZ或|k 360，kZ 2(1)半径长 lr (2)2 180 180 (3)| | r 12| | r2 12lr 3(1)yr xr yx (2)R

28、 R |k2，kZ 4cos sin yx tan 正弦线 余弦线 正切线 5. 角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角的弧度数 0 6 4 3 2 23 34 56 32 2 sin 0 12 22 32 1 32 22 12 0 1 0 cos 1 32 22 12 0 12 22 32 1 0 1 tan 0 33 1 3 不 存 在 3 1 33 0 不 存 在 0 (2017成都一诊)cos(1 560)的值为 ( ) A32 B12 C.12 D.32 解：cos(1 560)cos(5360240)cos240cos(18060)cos

29、6012.故选 B. (安徽合肥2018届高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点Psin53，cos53，则 sin() ( ) A32 B12 C.12 D.32 解：sinyPcos53cos23cos312， 所以 sin()12.故选 B. 若 是第二象限角， 其终边上一点 P(x, 5)，且 cos24x，则 sin 的值是 ( ) A.104 B.64 C.24 D104 解： r|PO|x25， 由三角函数的定义知 cosxx25，则 x258.sin5x2558104.故选 A. (传统经典题)已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心

30、角的弧度数是_ 解：设扇形的圆心角为 ，半径为 r，由扇形周长公式和扇形面积公式得 2rr6，r24，消去r 得 364(2)2，即 2540 解得 1， 4.故填 1 或 4. (2018山东临沂检测)已知角 的终边经过点 P(4cos，3cos)，32，则 sincos_. 解： 因为 32， 所以 cos0，12cosx0，即sinx12，cosx12， 如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 2k3，2k56(kZ) 故填 2k3，2k56(kZ) 点 拨： 三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并

31、能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性此题考查三角函数的定义域，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，通过确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解 函数 ysinx32的定义域为_ 解：作直线 y32交单位圆于 A，B 两点，连接OA， OB， 因为 sinx32， 则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终边的范围，故满足条件的角 x 的集合为x|2k3x2k23，kZ .故填x|2k3x2k23，kZ . 1要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第

32、一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角 2在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用如 2k30(kZ)，k 3602(kZ)的写法都是不规范的 3一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷 4已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况 5牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论 6已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论 7在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线，常使问题变的简单

33、 82k 表示与 终边相同的角，其大小为 与的偶数倍(而不是整数倍)的和， 是的整数倍时，要分类讨论如： (1)sin(2k)sin. (2)sin(k)sin（k为偶数），sin（k为奇数） (1)ksin. 1(必修4第10页A组第10题改编)单位圆中， 200的圆心角所对的弧长为 ( ) A10 B9 C.910 D.109 解：单位圆的半径 r1，200的弧度数是200180109，由弧度数的定义知109lr，所以 l109.故选 D. 2若 是第三象限角，且 cos20，则2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解：因为 是第三象限角，所以2k 22k，则

34、2k20，所以2是第四象限角故选 D. 3(九江十校2017届联考)sin570的值是( ) A12 B.12 C.32 D32 解：sin570sin(360210)sin(18030)sin3012.故选 A. 4已知角 的终边经过点(4，3)，则 cos ( ) A.45 B.35 C35 D45 解：cos4（4）23245.故选 D. 5(2018全国卷)已知角 的顶点为坐标原点， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos223，则|ab| ( ) A.15 B.55 C.2 55 D1 解：由题意，可知 O，A，B 三点共线，从而得到 b

35、2a， 因为 cos22cos2121a212123， 解得 a215， 即|a|55， 所以|ab|a2a|55. 故选 B. 6(2018北京)在平面直角坐标系中， AB， CD，EF，GH是圆 x2y21 上的四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角 以 Ox 为始边，OP 为终边，若tancossin，故 A 选项错误； 当点 P 在CD上时，cosOM，即 sinMP，tanAT，ATMPOM0，即 tansincos，故 B选项错误； 当点 P 在EF上时，cosOM0，tanAT0，且|OM|costan，故C 选项正确； 点 P 在GH上且GH在第三象限， tan0， sin0

36、，cos0 时，r5a，所以 sinyr 4a5a45，cosxr3a5a35，tanyx4a3a43；当 a0时，r5a，所以 sin45，cos35，tan43.综上可知，sin45，cos35，tan43或 sin45，cos35，tan43. 10若 0，2)，且 cos32，求角 的取值范围 解：如图，OM 为0，2)内的角6和116的余弦线， 欲使 cos32，角 的余弦线OM， 当 OM 伸长时，OP 与 OQ 扫过部分为图中扇形(阴影部分)， 则 06或116MP0，ATATsin45；(2)tan2390， 即A90B， 则sinAsin(90B)cosB，sinAcosB0，同理 cosAsinC0，所以点 P 在第四象限，则sin|sin|cos|cos|tan|tan|1111.故填1.