2022届高三数学一轮复习（原卷版）5．5　数系的扩充与复数的引入.doc

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1、 1 55 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1虚数单位为 i，规定：i2_，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的_仍然成立 2复数的概念 形如：abi(a，bR)的数叫复数，其中 a 叫做复数的_，b 叫做复数的_ (1)当_时，复数 abi 为实数 (2)当_时，复数 abi 为虚数 (3)当_且_时，复数 abi为纯虚数 3复数相等的充要条件 abicdi(a，b，c，dR) _，特别地，abi0_ 4复数zabi(a， bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ都可建立_的关系(其中 O是坐标原点) 5在复平面内，实轴上的点都表示_；虚轴上的点除_外都表示_ 6

2、复数的模 向量OZ的模 r 叫做复数 zabi(a，bR)的模，记作_或|abi即| |z |abi r_(r0，rR) 7共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为_，复数 z的共轭复数记作_ 8数系的扩充 数 集 扩 充 的 过 程 是 ： 自 然 数 集(N)_ 复 数 集(C)数集的每一次扩充， 都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾 9复数的加、减、乘、除的运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (1)z1z2_ (2)z1z2_ (3)z1z2_ _ (z20) 10

3、复数加、减法的几何意义 以复数 z1，z2分别对应的向量OZ1，OZ2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2， 对角线 OZ 表示的向量OZ就是 _z1 z2对 应 的 向 量 是_ 自查自纠： 11 运算律 2实部 虚部 b0 b0 a0 b0 3ac 且 bd ab0 4一一对应 5实数 原点 纯虚数 6| |z a2b2 7共轭复数 z 8整数集(Z) 有理数集(Q) 实数集(R) 9(1)(a c)(b d)i (2)(acbd)(adbc)i (3)acbdc2d2bcadc2d2i 10复数 z1z2所对应的向量 Z2Z1 (2018 全国卷)(1i)(2i) ( ) A3i B3i C

4、3i D3i 解：(1i)(2i)2i2ii23i故选 D (2017全国卷)3i1i ( ) A12i B12i C2i D2i 解 ： 由 复 数 除 法 的 运 算 法 则 有 ：3i1i（3i）（1i）22i故选 D (2018北京)在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 2 C第三象限 D第四象限 解：11i1i（1i）（1i）1212i 的共轭复数为1212i，对应的点为12，12，在第四象限故选 D (2018上海)已知复数 z 满足(1i)z17i(i 是虚数单位)，则|z|_ 解：z17i1i（17i）（1i）268i234i，|z|（3

5、）2（4）25故填 5 (2017浙江)已知 a，bR，(abi)234i(i 是虚数单位)，则 a2b2_，ab_ 解：由题意可得 a2b22abi34i，则a2b23，ab2， 解得a24，b21， 则 a2b25，ab2故填 5；2 类型一类型一 复数的概念复数的概念 下列命题中： 在复数集中，任意两个数都不能比较大小； 若 zmni(m，nC)，则当且仅当 m0，n0 时，z 为纯虚数； 若(z1z2)2(z2z3)20，则 z1z2z3； xyi1ixy1； 若实数 a 与 ai 对应， 则实数集与纯虚数集一一对应 其中正确命题的个数是 ( ) A0 B1 C2 D3 解：当两个复数

6、都是实数时，可以比较其大小 若 m0，ni 时，则 z0i21R 当 z11，z20，z3i 时满足条件，而结论不成立 只有当 x，yR 时命题才正确 若 a0，则 0 i0 不是纯虚数故选 A 点 拨： 正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是 i 的系数)一定是实数， 也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去对 zabi(a，bR)，z 为纯虚数a0，b0，z 为实数b0 (1)(2017全国卷)设有下面四个命题： p1：若复数 z 满足1zR，则 zR； p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR； p3：若复数 z1，z2满足 z1z2R，则 z12z； p4：若复数

7、zR，则zR 其中的真命题为 ( ) Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4 解：令 zabi(a，bR)，则由1z1abiabia2b2R 得 b0，所以 zR，故 p1正确； 当 zi 时，因为 z2i21R，而 ziR，故 p2不正确； 当 z1z2i 时，满足 z1z21R，但 z12z，知 p3不正确； 对于 p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故 p4正确故选 B (2)(2017天津)已知 aR，i 为虚数单位，若ai2i为实数，则 a 的值为_ 解：ai2i（ai）（2i）（2i）（2i）（2a1）（a2）i52a15a25i 为实数，

8、则a250，a2故填2 已知 A，B 是锐角三角形的两内角，则复数(sinAcosB)(sinBcosA)i 在复平面内对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解：因为 A，B 是锐角三角形的两内角， 所以 AB2，且 0A2，0B2 3 所以 02BA2， 由正弦函数的单调性知 sin2B sinA， 即 sinAcosB0同理可得，sinBcosA0故选 A 点 拨： 判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A， B 是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键 (2017北京)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点

9、在第二象限，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(，1) B(，1) C(1，) D(1，) 解：z(1i)(ai)(a1)(1a)i，因为对应的点在第二象限，所以a10，1a0， 解得 a 1故选 B 关于 x 的方程 x2(2i1)x3mi0有实根，则实数 m 的值是 解：设实根为 x0，则 x20(2i1)x03mi0， 即 x20 x03m(2x01)i0 由复数相等的充要条件得x20 x03m0，2x010 所以 m13(x20 x0)131412112故填112 点 拨： 复数的分类，复数的相等，复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需把

10、所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR)的形式，再根据题意求解 (2016山东)若复数 z 满足 2zz 32i，其中 i 为虚数单位，则 z ( ) A12i B12i C12i D12i 解：设 zabi(a，bR)，则 2zz3abi32i，故 a1，b2，则 z12i故选 B 类类型二型二 复数的运算复数的运算 (1)(2018天津)i 是虚数单位，复数67i12i_ 解 ： 由 复 数 的 运 算 法 则 得 ：67i12i（67i）（12i）（12i）（12i）205i54i故填 4i (2)i 是虚数单位，计算2i2（1i）221i2 017_ 解 ： 因 为2（i1）（1i

11、）22i1 (i 1) ， 21i2 01621 008（2i）1 0081， 所以原式(i1)2（1i） 2故填 2 点 拨： 复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助如：(1i)22i，(1i)22i，(1i) (1i)2，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)等除法的关键是“分母实数化” (1)(2018届成都三诊)若复数 zai1i(i是虚数单位)为纯虚数，则实数 a 的值为( ) A2 B1 C1 D2 解 ： 因 为z ai1i（ai）（1i）2a1（a1）i2是纯虚数，所以 a10，即 a1故选 C

12、(2)i 是虚数单位，21i2 0201i1i6 4 _ 解 ： 原 式 21i21 0101i1i6 22i1 010i6i1 010i6i42522i421 12故填2 类型三类型三 复数的模与共轭复数复数的模与共轭复数 (1)(2018届南京三模)已知复数 z 的共轭复数是 z若 z(2i)5， 其中 i 为虚数单位， 则z的模为_ 解 ： 由z(2 i) 5 ， 得z 52i5（2i）（2i）（2i） 2 i ，z 2 i ， |z| 22（1）2 5故填 5 (2)(2018浙江)复数21i(i 为虚数单位)的共轭复数是 ( ) A1i B1i C1i D1i 解：因为21i2（1i

13、）21i，所以共轭复数为 1i故选 B 点 拨： 复数的模与共轭复数的运算性质要牢记，z abi，则zabi，|z|z| a2b2，zz|z|2， z1z2|z1|z2|等 (1)把复数 z 的共轭复数记作z，已知(12i)z43i，求 z 及zz 解：设 zabi(a，bR)，则zabi，由已知得(12i) (abi)(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的定义知a2b4，2ab3， 解得 a2，b1，所以 z2i所以zz2i2i（2i）2（2i）（2i）34i53545i (2)(2018届重庆市质量调研抽测（第三次）)在复平面内，复数 z 所对应的点 A 的坐标为(3，4)，则|z|z

14、 ( ) A4535i B4535i C3545i D3545i 解：复数 z 所对应的点 A 的坐标为(3，4)，则 z 3 4i ， |z| 916 5 ，|z|z534i5（34i）（34i）（34i）34i53545i故选 C 1处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法 2复数概念中应注意的几点 (1)对于复数 mni， 如果 m， nC(或没有明确界定 m，nR)，则不可想当然地判定 m，nR (2)易误认为 y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点

15、除外) (3)对于 abi(a，bR)为纯虚数的充要条件，只注意了 a0 而漏掉了 b0 3复数的几何意义 (1) (其中a， bR) (2)|z|表示复数 z 对应的点与原点的距离 (3)|z1z2|表示两点的距离，即表示复数 z1与 z2对应的点的距离 4复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化 5复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用 i、 的性质可简化运算注意下面结论的灵活运用：(1 i)22i；1i1ii，1i1ii； 210，31，其中 1232i；

16、 5 inin1in2in30(nN)等 6在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当 zC 时，不是总成立的：(zm)nzmn(m，n 为分数)；若 zmzn，则 mn(z1)；若 z21z220，则 z1z20 1(2018全国卷)12i12i ( ) A4535i B4535i C3545i D3545i 解：12i12i（12i）2534i53545i故选 D 2(2018全国卷) 设 z1i1i2i，则|z| ( ) A0 B12 C1 D 2 解：因为 z1i1i2i（1i）2（1i）（1i） 2i2i22ii，所以|z|1故选 C 3(20

17、17山东)已知 aR，i 是虚数单位，若za 3i，zz4，则 a 的值为 ( ) A 1 或1 B 7或 7 C 3 D 3 解：由 za 3i，zz4 得 a234，所以 a 1故选 A 4设 a，bR，i 是虚数单位，则“ab0”是“复数 abi为纯虚数”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解： ab0a0 或 b0复数 abi为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若 abi为纯虚数，则必有 a0 且 b0，所以 ab0故选 B 5(2016全国卷)已知 z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限， 则实数 m 的取值范围是 ( )

18、 A(3，1) B(1，3) C(1，) D(，3) 解：复数 z 在复平面内对应的点在第四象限应满足m30，m10， 解得3m1故选 A 6设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 ( ) A若|z1z2|0，则z1z2 B若 z1z2，则z1z2 C若|z1|z2|，则 z1z1z2z2 D若|z1|z2|，则 z21z22 解：对于选项 A，若|z1z2|0，则 z1z2，故z1z2，正确；对于选项 B，若 z1z2，则z1z2z2，正确；对于选项 C，z1z1|z1|2，z2z2|z2|2，若|z1|z2|，则 z1z1z2z2，正确；对于选项 D，如令 z11i，z21i，满足|

19、z1|z2|，而 z212i，z222i，故不正确故选 D 7(2017江苏)已知复数 z(1i)(12i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是_ 解：|z|(1i)(12i)|1i|12i| 2 5 10故填 10 8已知复数 zxyi(i 是虚数单位， x， yR)，且|z2| 3，则yx的最大值为_ 解：因为|z2|（x2）2y2 3， 所以(x2)2y23 由图可知yxmax31 3故填 3 9设存在复数 z 同时满足下列条件： (1)复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)zz2iz8ai(aR) 试求 a 的取值范围 解： 设 zxyi(x， yR)， 由(1)得 x0

20、， y0， 由(2)得(xyi)(xyi)2i(xyi)8ai， 即 x2y22y2xi8ai 由复数相等的定义得x2y22y8， 2xa， 由得 x2(y1)29，因为 x0， 所以3x0，所以6a0 10设复数 zlg(m22m2)(m23m2)i(i 6 是虚数单位)，试求实数 m 取何值时： (1)z 是纯虚数； (2)z 是实数； (3)z 对应的点位于复平面的第二象限 解：(1)由题意可得lg（m22m2）0，m23m20， 解得 m3 (2)由题意可得m23m20，m22m20， 解得 m1或 m2 (3) 由 题 意 可 得lg（m22m2）0，m23m20， 即m22m20，

21、m22m21，m23m20， 解得1m1 3或 1 3m3 11(2018成都诊断)已知关于 t 的方程 t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR) (1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程； (2)求方程的实根的取值范围 解：(1)设实根为 m，则 m2(2i)m2xy(xy)i0， 即(m22m2xy)(mxy)i0 根 据 复 数 相 等 的 充 要 条 件 得m22m2xy0，mxy0， 由得 myx，代入得 (yx)22(yx)2xy0， 即(x1)2(y1)22 故点(x，y)的轨迹方程为(x1)2(y1)22 (2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，1)，

22、半径 r 2 设方程的实根为 m， 则直线 mxy0 与圆(x1)2(y1)22 有公共点， 所以|1（1）m|2 2，即|m2|2，即 4m0 故方程的实根的取值范围是4，0 对任意复数 1，2，定义 1*212，其中2是 2的共轭复数，对任意复数 z1，z2，z3有如下四个命题： (z1z2)*z3(z1*z3)(z2*z3)； z1*(z2z3)(z1*z2)(z1*z3)； (z1*z2)*z3z1*(z2*z3)； z1*z2z2*z1； 则真命题的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 解：由于 1*212，对于，(z1z2)*z3(z1z2)z3z1z3z2z3(z1*z3)(z

23、2*z3)，显然成立； 对于，z1*(z2z3)z1(32zz )z1(z2z3)z1z2z1z3(z1*z2)(z1*z3)，显然成立； 对于，(z1*z2)*z3(z1z2)z3z1z2z3，而z1*(z2*z3)z1*(z2z3)z1z2z3，显然不成立； 对于，由于 z1*z2z1z2，而 z2*z1z2z1，显然不成立故选 B 7 55 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1虚数单位为 i，规定：i2_，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的_仍然成立 2复数的概念 形如：abi(a，bR)的数叫复数，其中 a 叫做复数的_，b 叫做复数的_ (1)当_时，复数 ab

24、i 为实数 (2)当_时，复数 abi 为虚数 (3)当_且_时，复数 abi为纯虚数 3复数相等的充要条件 abicdi(a，b，c，dR) _，特别地，abi0_ 4复数zabi(a， bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ都可建立_的关系(其中 O是坐标原点) 5在复平面内，实轴上的点都表示_；虚轴上的点除_外都表示_ 6复数的模 向量OZ的模 r 叫做复数 zabi(a，bR)的模，记作_或|abi即| |z |abi r_(r0，rR) 7共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为_，复数 z的共轭复数记作_ 8数系的扩充 数 集 扩 充 的

25、 过 程 是 ： 自 然 数 集(N)_ 复 数 集(C)数集的每一次扩充， 都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾 9复数的加、减、乘、除的运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (1)z1z2_ (2)z1z2_ (3)z1z2_ _ (z20) 10复数加、减法的几何意义 以复数 z1，z2分别对应的向量OZ1，OZ2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2， 对角线 OZ 表示的向量OZ就是 _z1 z2对 应 的 向 量 是_ 自查自纠： 11 运算律 2实部 虚部 b0 b0 a0 b0 3ac 且 bd a

26、b0 4一一对应 5实数 原点 纯虚数 6| |z a2b2 7共轭复数 z 8整数集(Z) 有理数集(Q) 实数集(R) 9(1)(a c)(b d)i (2)(acbd)(adbc)i (3)acbdc2d2bcadc2d2i 10复数 z1z2所对应的向量 Z2Z1 (2018 全国卷)(1i)(2i) ( ) A3i B3i C3i D3i 解：(1i)(2i)2i2ii23i故选 D (2017全国卷)3i1i ( ) A12i B12i C2i D2i 解 ： 由 复 数 除 法 的 运 算 法 则 有 ：3i1i（3i）（1i）22i故选 D (2018北京)在复平面内，复数11

27、i的共轭复数对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 8 C第三象限 D第四象限 解：11i1i（1i）（1i）1212i 的共轭复数为1212i，对应的点为12，12，在第四象限故选 D (2018上海)已知复数 z 满足(1i)z17i(i 是虚数单位)，则|z|_ 解：z17i1i（17i）（1i）268i234i，|z|（3）2（4）25故填 5 (2017浙江)已知 a，bR，(abi)234i(i 是虚数单位)，则 a2b2_，ab_ 解：由题意可得 a2b22abi34i，则a2b23，ab2， 解得a24，b21， 则 a2b25，ab2故填 5；2 类型一类型一 复数的概

28、念复数的概念 下列命题中： 在复数集中，任意两个数都不能比较大小； 若 zmni(m，nC)，则当且仅当 m0，n0 时，z 为纯虚数； 若(z1z2)2(z2z3)20，则 z1z2z3； xyi1ixy1； 若实数 a 与 ai 对应， 则实数集与纯虚数集一一对应 其中正确命题的个数是 ( ) A0 B1 C2 D3 解：当两个复数都是实数时，可以比较其大小 若 m0，ni 时，则 z0i21R 当 z11，z20，z3i 时满足条件，而结论不成立 只有当 x，yR 时命题才正确 若 a0，则 0 i0 不是纯虚数故选 A 点 拨： 正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是

29、 i 的系数)一定是实数， 也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去对 zabi(a，bR)，z 为纯虚数a0，b0，z 为实数b0 (1)(2017全国卷)设有下面四个命题： p1：若复数 z 满足1zR，则 zR； p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR； p3：若复数 z1，z2满足 z1z2R，则 z12z； p4：若复数 zR，则zR 其中的真命题为 ( ) Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4 解：令 zabi(a，bR)，则由1z1abiabia2b2R 得 b0，所以 zR，故 p1正确； 当 zi 时，因为 z2i21R，而 ziR，故 p2不正确； 当

30、 z1z2i 时，满足 z1z21R，但 z12z，知 p3不正确； 对于 p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故 p4正确故选 B (2)(2017天津)已知 aR，i 为虚数单位，若ai2i为实数，则 a 的值为_ 解：ai2i（ai）（2i）（2i）（2i）（2a1）（a2）i52a15a25i 为实数，则a250，a2故填2 已知 A，B 是锐角三角形的两内角，则复数(sinAcosB)(sinBcosA)i 在复平面内对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解：因为 A，B 是锐角三角形的两内角， 所以 AB2，且 0A2，0B

31、2 9 所以 02BA2， 由正弦函数的单调性知 sin2B sinA， 即 sinAcosB0同理可得，sinBcosA0故选 A 点 拨： 判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A， B 是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键 (2017北京)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(，1) B(，1) C(1，) D(1，) 解：z(1i)(ai)(a1)(1a)i，因为对应的点在第二象限，所以a10，1a0， 解得 a 1故选 B 关于 x 的方程 x2(2i1)x3mi0有实根，则实数

32、m 的值是 解：设实根为 x0，则 x20(2i1)x03mi0， 即 x20 x03m(2x01)i0 由复数相等的充要条件得x20 x03m0，2x010 所以 m13(x20 x0)131412112故填112 点 拨： 复数的分类，复数的相等，复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR)的形式，再根据题意求解 (2016山东)若复数 z 满足 2zz 32i，其中 i 为虚数单位，则 z ( ) A12i B12i C12i D12i 解：设 zabi(a，bR)，则 2zz3abi32i，故 a1，

33、b2，则 z12i故选 B 类型二类型二 复数的运算复数的运算 (1)(2018天津)i 是虚数单位，复数67i12i_ 解 ： 由 复 数 的 运 算 法 则 得 ：67i12i（67i）（12i）（12i）（12i）205i54i故填 4i (2)i 是虚数单位，计算2i2（1i）221i2 017_ 解 ： 因 为2（i1）（1i）22i1 (i 1) ， 21i2 01621 008（2i）1 0081， 所以原式(i1)2（1i） 2故填 2 点 拨： 复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助如：(1i)22i，(1i

34、)22i，(1i) (1i)2，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)等除法的关键是“分母实数化” (1)(2018届成都三诊)若复数 zai1i(i是虚数单位)为纯虚数，则实数 a 的值为( ) A2 B1 C1 D2 解 ： 因 为z ai1i（ai）（1i）2a1（a1）i2是纯虚数，所以 a10，即 a1故选 C (2)i 是虚数单位，21i2 0201i1i6 10 _ 解 ： 原 式 21i21 0101i1i6 22i1 010i6i1 010i6i42522i421 12故填2 类型三类型三 复数的模与共轭复数复数的模与共轭复数 (1)(2018届南京三模)已知复

35、数 z 的共轭复数是 z若 z(2i)5， 其中 i 为虚数单位， 则z的模为_ 解 ： 由z(2 i) 5 ， 得z 52i5（2i）（2i）（2i） 2 i ，z 2 i ， |z| 22（1）2 5故填 5 (2)(2018浙江)复数21i(i 为虚数单位)的共轭复数是 ( ) A1i B1i C1i D1i 解：因为21i2（1i）21i，所以共轭复数为 1i故选 B 点 拨： 复数的模与共轭复数的运算性质要牢记，z abi，则zabi，|z|z| a2b2，zz|z|2， z1z2|z1|z2|等 (1)把复数 z 的共轭复数记作z，已知(12i)z43i，求 z 及zz 解：设 z

36、abi(a，bR)，则zabi，由已知得(12i) (abi)(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的定义知a2b4，2ab3， 解得 a2，b1，所以 z2i所以zz2i2i（2i）2（2i）（2i）34i53545i (2)(2018届重庆市质量调研抽测（第三次）)在复平面内，复数 z 所对应的点 A 的坐标为(3，4)，则|z|z ( ) A4535i B4535i C3545i D3545i 解：复数 z 所对应的点 A 的坐标为(3，4)，则 z 3 4i ， |z| 916 5 ，|z|z534i5（34i）（34i）（34i）34i53545i故选 C 1处理与复数概念有关的问

37、题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法 2复数概念中应注意的几点 (1)对于复数 mni， 如果 m， nC(或没有明确界定 m，nR)，则不可想当然地判定 m，nR (2)易误认为 y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外) (3)对于 abi(a，bR)为纯虚数的充要条件，只注意了 a0 而漏掉了 b0 3复数的几何意义 (1) (其中a， bR) (2)|z|表示复数 z 对应的点与原点的距离 (3)|z1z2|表示两点的距离，即表示复数 z1与 z2对应的点的距离 4

38、复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化 5复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用 i、 的性质可简化运算注意下面结论的灵活运用：(1 i)22i；1i1ii，1i1ii； 210，31，其中 1232i； 11 inin1in2in30(nN)等 6在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当 zC 时，不是总成立的：(zm)nzmn(m，n 为分数)；若 zmzn，则 mn(z1)；若 z21z220，则 z1z20 1

39、(2018全国卷)12i12i ( ) A4535i B4535i C3545i D3545i 解：12i12i（12i）2534i53545i故选 D 2(2018全国卷) 设 z1i1i2i，则|z| ( ) A0 B12 C1 D 2 解：因为 z1i1i2i（1i）2（1i）（1i） 2i2i22ii，所以|z|1故选 C 3(2017山东)已知 aR，i 是虚数单位，若za 3i，zz4，则 a 的值为 ( ) A 1 或1 B 7或 7 C 3 D 3 解：由 za 3i，zz4 得 a234，所以 a 1故选 A 4设 a，bR，i 是虚数单位，则“ab0”是“复数 abi为纯虚

40、数”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解： ab0a0 或 b0复数 abi为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若 abi为纯虚数，则必有 a0 且 b0，所以 ab0故选 B 5(2016全国卷)已知 z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限， 则实数 m 的取值范围是 ( ) A(3，1) B(1，3) C(1，) D(，3) 解：复数 z 在复平面内对应的点在第四象限应满足m30，m10， 解得3m1故选 A 6设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 ( ) A若|z1z2|0，则z1z2 B若 z1z2，则z1z2 C

41、若|z1|z2|，则 z1z1z2z2 D若|z1|z2|，则 z21z22 解：对于选项 A，若|z1z2|0，则 z1z2，故z1z2，正确；对于选项 B，若 z1z2，则z1z2z2，正确；对于选项 C，z1z1|z1|2，z2z2|z2|2，若|z1|z2|，则 z1z1z2z2，正确；对于选项 D，如令 z11i，z21i，满足|z1|z2|，而 z212i，z222i，故不正确故选 D 7(2017江苏)已知复数 z(1i)(12i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是_ 解：|z|(1i)(12i)|1i|12i| 2 5 10故填 10 8已知复数 zxyi(i 是虚数单位，

42、 x， yR)，且|z2| 3，则yx的最大值为_ 解：因为|z2|（x2）2y2 3， 所以(x2)2y23 由图可知yxmax31 3故填 3 9设存在复数 z 同时满足下列条件： (1)复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)zz2iz8ai(aR) 试求 a 的取值范围 解： 设 zxyi(x， yR)， 由(1)得 x0， y0， 由(2)得(xyi)(xyi)2i(xyi)8ai， 即 x2y22y2xi8ai 由复数相等的定义得x2y22y8， 2xa， 由得 x2(y1)29，因为 x0， 所以3x0，所以6a0 10设复数 zlg(m22m2)(m23m2)i(i

43、12 是虚数单位)，试求实数 m 取何值时： (1)z 是纯虚数； (2)z 是实数； (3)z 对应的点位于复平面的第二象限 解：(1)由题意可得lg（m22m2）0，m23m20， 解得 m3 (2)由题意可得m23m20，m22m20， 解得 m1或 m2 (3) 由 题 意 可 得lg（m22m2）0，m23m20， 即m22m20，m22m21，m23m20， 解得1m1 3或 1 3m3 11(2018成都诊断)已知关于 t 的方程 t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR) (1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程； (2)求方程的实根的取值范围 解：(1)设实根为 m，

44、则 m2(2i)m2xy(xy)i0， 即(m22m2xy)(mxy)i0 根 据 复 数 相 等 的 充 要 条 件 得m22m2xy0，mxy0， 由得 myx，代入得 (yx)22(yx)2xy0， 即(x1)2(y1)22 故点(x，y)的轨迹方程为(x1)2(y1)22 (2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，1)，半径 r 2 设方程的实根为 m， 则直线 mxy0 与圆(x1)2(y1)22 有公共点， 所以|1（1）m|2 2，即|m2|2，即 4m0 故方程的实根的取值范围是4，0 对任意复数 1，2，定义 1*212，其中2是 2的共轭复数，对任意复数 z1

45、，z2，z3有如下四个命题： (z1z2)*z3(z1*z3)(z2*z3)； z1*(z2z3)(z1*z2)(z1*z3)； (z1*z2)*z3z1*(z2*z3)； z1*z2z2*z1； 则真命题的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 解：由于 1*212，对于，(z1z2)*z3(z1z2)z3z1z3z2z3(z1*z3)(z2*z3)，显然成立； 对于，z1*(z2z3)z1(32zz )z1(z2z3)z1z2z1z3(z1*z2)(z1*z3)，显然成立； 对于，(z1*z2)*z3(z1z2)z3z1z2z3，而z1*(z2*z3)z1*(z2z3)z1z2z3，显然不

46、成立； 对于，由于 z1*z2z1z2，而 z2*z1z2z1，显然不成立故选 B 13 55 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1虚数单位为 i，规定：i2_，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的_仍然成立 2复数的概念 形如：abi(a，bR)的数叫复数，其中 a 叫做复数的_，b 叫做复数的_ (1)当_时，复数 abi 为实数 (2)当_时，复数 abi 为虚数 (3)当_且_时，复数 abi为纯虚数 3复数相等的充要条件 abicdi(a，b，c，dR) _，特别地，abi0_ 4复数zabi(a， bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ都可建立_的关系(

47、其中 O是坐标原点) 5在复平面内，实轴上的点都表示_；虚轴上的点除_外都表示_ 6复数的模 向量OZ的模 r 叫做复数 zabi(a，bR)的模，记作_或|abi即| |z |abi r_(r0，rR) 7共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为_，复数 z的共轭复数记作_ 8数系的扩充 数 集 扩 充 的 过 程 是 ： 自 然 数 集(N)_ 复 数 集(C)数集的每一次扩充， 都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾 9复数的加、减、乘、除的运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，d

48、R)，则 (1)z1z2_ (2)z1z2_ (3)z1z2_ _ (z20) 10复数加、减法的几何意义 以复数 z1，z2分别对应的向量OZ1，OZ2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2， 对角线 OZ 表示的向量OZ就是 _z1 z2对 应 的 向 量 是_ 自查自纠： 11 运算律 2实部 虚部 b0 b0 a0 b0 3ac 且 bd ab0 4一一对应 5实数 原点 纯虚数 6| |z a2b2 7共轭复数 z 8整数集(Z) 有理数集(Q) 实数集(R) 9(1)(a c)(b d)i (2)(acbd)(adbc)i (3)acbdc2d2bcadc2d2i 10复数 z1z2所对

49、应的向量 Z2Z1 (2018 全国卷)(1i)(2i) ( ) A3i B3i C3i D3i 解：(1i)(2i)2i2ii23i故选 D (2017全国卷)3i1i ( ) A12i B12i C2i D2i 解 ： 由 复 数 除 法 的 运 算 法 则 有 ：3i1i（3i）（1i）22i故选 D (2018北京)在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 14 C第三象限 D第四象限 解：11i1i（1i）（1i）1212i 的共轭复数为1212i，对应的点为12，12，在第四象限故选 D (2018上海)已知复数 z 满足(1i)z17i(i 是

50、虚数单位)，则|z|_ 解：z17i1i（17i）（1i）268i234i，|z|（3）2（4）25故填 5 (2017浙江)已知 a，bR，(abi)234i(i 是虚数单位)，则 a2b2_，ab_ 解：由题意可得 a2b22abi34i，则a2b23，ab2， 解得a24，b21， 则 a2b25，ab2故填 5；2 类型一类型一 复数的概念复数的概念 下列命题中： 在复数集中，任意两个数都不能比较大小； 若 zmni(m，nC)，则当且仅当 m0，n0 时，z 为纯虚数； 若(z1z2)2(z2z3)20，则 z1z2z3； xyi1ixy1； 若实数 a 与 ai 对应， 则实数集与