2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训15 利用导数解决函数的单调性问题 作业 (2).doc

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1、1 利用导数解决函数的单调性问题 建议用时：45 分钟 一、选择题 1(2019 武邑中学第二次调研)函数 f(x)x22ln x 的单调减区间是( ) A(0,1 B1，) C(，1(0,1 D1,0)(0,1 A f(x)2x2x2x22x(x0)， 令 f(x)0， 即2x22x0， 解得 0 x1，故选 A. 2若函数 f(x)2x33mx26x 在区间(1，)上为增函数，则实数 m 的取值范围是( ) A(，1 B(，1) C(，2 D(，2) C f(x)6x26mx6，由已知条件知 x(1，)时，f(x)0 恒成立设 g(x)6x26mx6，则 g(x)0 在(1，)上恒成立 当

2、 36(m24)0，即2m2 时，满足 g(x)0 在(1，)上恒成立； 当 36(m24)0，即 m2 或 m2 时，则需 m21，g166m60，解得 m2，m2. 综上，m2，实数 m 的取值范围是(，2 2 3已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的图象可能是( ) A B C D C 由导函数 f(x)的图象可知，函数 yf(x)先减再增，可排除选项 A，B；又 f(x)0 的根为正数，即 yf(x)的极值点为正数，所以可排除选项 D，选 C. 4已知 f(x)ln xx，则( ) Af(2)f(e)f(3) Bf(3)f(e)f(2) Cf(3)f(2

3、)f(e) Df(e)f(3)f(2) D f(x)的定义域是(0，)， f(x)1ln xx2，令 f(x)0，得 xe. 当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x(e，)时，f(x)0，f(x)单调递减，故 xe 时，f(x)maxf(e)1e，而 f(2)ln 22ln 86，f(3)ln 33ln 96，所以 f(e)f(3)f(2)，故选 D. 5设函数 f(x)12x29ln x 在区间a1，a1上单调递减，则实数 a 的取值范围是( ) A(1,2 B(4，) 3 C(，2) D(0,3 A 因为 f(x)12x29ln x， 所以 f(x)x9x(x0)， 由

4、x9x0， 得 0 x3，所以 f(x)在(0,3上是减函数，则a1，a1(0,3，所以 a10 且 a13，解得 1a2. 二、填空题 6函数 f(x)ln xax(a0)的单调递增区间为 0，1a 由题意，知 f(x)的定义域为(0，)，由 f(x)1xa0(a0)，得 0 x1a，f(x)的单调递增区间为0，1a. 7若函数 f(x)ax33x2x 恰好有三个单调区间，则实数 a 的取值范围是 (3,0)(0，) 由题意知 f(x)3ax26x1，由函数 f(x)恰好有三个单调区间，得 f(x)有两个不相等的零点，所以 3ax26x10 需满足 a0，且 3612a0，解得 a3 且 a

5、0，所以实数 a 的取值范围是(3,0)(0，) 8若函数 f(x)ln x12ax22x 存在单调递减区间，则实数 a 的取值范围是 (1， ) f(x)1xax21ax22xx， 由题意知 f(x)0 有实数解， x0， ax22x10 有实数解 当 a0 时，显然满足； 当 a0 时，只需 44a0， 1a0. 综上知 a1. 三、解答题 9已知函数 f(x)ln xkex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行 4 (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间 解 (1)由题意得 f(x)1xln xkex， 又因为 f(1)

6、1ke0，故 k1. (2)由(1)知，f(x)1xln x1ex， 设 h(x)1xln x1(x0)， 则 h(x)1x21x0， 即 h(x)在(0，)上是减函数 由 h(1)0 知，当 0 x1 时，h(x)0，从而 f(x)0； 当 x1 时，h(x)0，从而 f(x)0. 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，) 10已知函数 f(x)x3ax1. (1)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)在(1,1)上为单调减函数，求实数 a 的取值范围； (3)若函数 f(x)的单调递减区间为(1,1)，求实数 a 的值；

7、 (4)若函数 f(x)在区间(1,1)上不单调，求实数 a 的取值范围 解 (1)因为 f(x)在(，)上是增函数， 所以 f(x)3x2a0 在(，)上恒成立， 即 a3x2对 xR 恒成立 因为 3x20， 所以只需 a0. 又因为 a0 时，f(x)3x20， f(x)x31 在 R 上是增函数，所以 a0，即实数 a 的取值范围为(，0 (2)由题意知 f(x)3x2a0 在(1,1)上恒成立， 所以 a3x2在(1,1)上恒成立， 因为当1x1 时，3x23，所以 a3，所以 a 的取值范围为3，) 5 (3)由题意知 f(x)3x2a，则 f(x)的单调递减区间为3a3，3a3，

8、 又 f(x)的单调递减区间为(1,1)， 所以3a31，解得 a3. (4)由题意知：f(x)3x2a，当 a0 时，f(x)0，此时 f(x)在(，)上为增函数，不合题意，故 a0. 令 f(x)0，解得 x3a3. 因为 f(x)在区间(1,1)上不单调， 所以 f(x)0 在(1,1)上有解， 需 03a31，得 0a3， 所以实数 a 的取值范围为(0,3) 1 (2016 全国卷)若函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(， )单调递增，则 a 的取值范围是( ) A1,1 B.1，13 C.13，13 D.1，13 C 取a1， 则f(x)x13sin 2xsin x，

9、 f(x)123cos 2xcos x， 但f(0)1231230，不具备在(，)单调递增的条件，故排除 A，B，D.故选 C. 2已知定义在0，2上的函数 f(x)的导函数为 f(x)，且对于任意的x0，2，都有 f(x)sin xf(x)cos x，则( ) A. 3f4 2f3 Bf3f(1) C. 2f6f4 D. 3f6f3 6 A 令 g(x)fxsin x， 则 g(x)fxsin xfxcos xsin2x， 由已知得 g(x)0 在0，2上恒成立， g(x)在0，2上单调递减， g4g3，即f422f332， 3f4 2f3. 3已知 f(x)是函数 f(x)的导函数，f(1

10、)e，对于任意的 xR,2f(x)f(x)0，则不等式 f(x)e2x1的解集为 (1，) 设 F(x)fxe2x1，则 F(x)fxe2x1 fx2fxe2x1. 因为 2f(x)f(x)0， 所以 F(x)fx2fxe2x10， 即 F(x)是减函数， f(x)e2x1等价于fxe2x11，即 F(x)1. 又因为 f(1)e， 所以 F(1)f1e211， 则不等式 f(x)e2x1的解集是(1，) 4 已知函数 g(x)ln xax2(2a1)x， 若 a0， 试讨论函数 g(x)的单调性 解 g(x)2ax22a1x1x 2ax1x1x. 7 函数 g(x)的定义域为(0，)， 当

11、a0 时，g(x)x1x. 由 g(x)0，得 0 x1，由 g(x)0，得 x1. 当 a0 时，令 g(x)0，得 x1 或 x12a， 若12a1，即 a12， 由 g(x)0，得 x1 或 0 x12a， 由 g(x)0，得12ax1； 若12a1，即 0a12， 由 g(x)0，得 x12a或 0 x1， 由 g(x)0，得 1x12a； 当12a1 时，即 a12时，在(0，)上恒有 g(x)0. 综上可得：当 a0 时，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减； 当 0a12时，g(x)在(0,1)，12a， 上单调递增，在1，12a上单调递减； 当 a12时，g(x

12、)在(0，)上单调递增； 当 a12时，g(x)在0，12a，(1，)上单调递增，在12a，1 上单调递减 1(2019 南昌模拟)已知函数 f(x)xsin x，x1，x22，2，且 f(x1)f(x2)，那么( ) Ax1x20 Bx1x20 Cx21x220 Dx21x220 D 由 f(x)xsin x，得 f(x)sin xxcos xcos x(tan xx)，当 x0，28 时，f(x)0，即 f(x)在0，2上为增函数，又 f(x)xsin(x)xsin xf(x)，所以 f(x)为偶函数，所以当 f(x1)f(x2)时，有 f(|x1|)f(|x2|)，所以|x1|x2|，x

13、21x220，故选 D. 2设函数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数 (1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性 解 (1)由题意知 a0 时，f(x)x1x1，x(0，) 此时 f(x)2x12，可得 f(1)12.又 f(1)0， 所以曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 x2y10. (2)函数 f(x)的定义域为(0，) f(x)ax2x12ax22a2xaxx12. 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上递增 当 a0 时，令 g(x)ax2(2a2)xa， 由于 (2a2)24a24(2a

14、1)， 当 a12时，0，f(x)12x12xx120， 函数 f(x)在(0，)上递减 当 a12时，0，g(x)0， f(x)0，函数 f(x)在(0，)上递减 当12a0 时，0. 设 x1，x2(x1x2)是函数 g(x)的两个零点， 则 x1a1 2a1a，x2a1 2a1a. 由 x1a1 2a1aa22a1 2a1a0， 所以 x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)递减； 9 x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)递增； x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)递减 综上可得： 当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上递增； 当 a12时，函数 f(x)在(0，)上递减； 当12a0 时， f(x)在0，a1 2a1a，a1 2a1a，上递减， 在a1 2a1a，a12a1a上递增