2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训35 等比数列及其前n项和 作业.doc

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1、1 等比数列及其前 n 项和 建议用时：45 分钟 一、选择题 1等比数列 x，3x3，6x6，的第四项等于( ) A24 B0 C12 D24 A 由 x，3x3，6x6 成等比数列，知(3x3)2x (6x6)，解得 x3或 x1(舍去)所以此等比数列的前三项为3，6，12.故第四项为24，选 A. 2(2019 日照一模)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a1a352，且 a2a454，则Snan( ) A4n1 B4n1 C2n1 D2n1 D 设等比数列an的公比为 q，则a1（1q2）52a1q（1q2）54，解得a12q12， Snana1（1qn）1qa1qn12112n

2、112212n12n1.故选 D. 3(2019 湖南湘东五校联考)已知在等比数列an中，a37，前三项之和 S321，则公比 q 的值是( ) A1 B12 C1 或12 D1 或12 C 当 q1 时， a37， S321， 符合题意； 当 q1 时，a1q27，a1（1q3）1q21，2 得 q12.综上，q 的值是 1 或12，故选 C. 4等比数列an的前 n 项和为 Sn32n1r，则 r 的值为( ) A.13 B13 C.19 D19 B 当 n1 时，a1S13r， 当 n2 时，anSnSn132n132n3 32n3(321)8 32n38 32n23183 9n1， 所

3、以 3r83，即 r13，故选 B. 5(2019 鄂尔多斯模拟)中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”则该人第五天走的路程为( ) A6 里 B12 里 C24 里 D48 里 B 记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比为12的等比数列，由S6378，得 S6a11126112378，解得 a1192，a519212412(里)故选B. 二、填空题 6已知 1，a1

4、，a2，4 成等差数列，1，b1，b2，b3，4 成等比数列，则a1a2b2的值_ 52 由题意得 a1a25，b224，又 b2与第一项的符号相同，所以 b22.所以a1a2b252. 7在 14 与78之间插入 n 个数组成等比数列，若各项之和为778，则此数列的3 项数为_ 5 设此等比数列为am，公比为 q，则该数列共有 n2 项1478，q1.由等比数列的前 n 项和公式，得7781478q1q，解得 q12， an21412n2178，即12n1116，解得 n3，该数列共有 5 项 8各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2，S3n14，则S4n_ 30 由题

5、意知公比大于 0，由等比数列性质知 Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列 设 S2nx，则 2，x2，14x 成等比数列 由(x2)22(14x)， 解得 x6 或 x4(舍去) Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为 2，公比为 2 的等比数列 又S3n14，S4n1422330. 三、解答题 9(2019 全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216. (1)求an的通项公式； (2)设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和 解 (1)设an的公比为 q，由题设得 2q24q16，即 q22q80. 解得 q2(舍去)或 q4

6、. 因此an的通项公式为 an24n122n1. (2)由(1)得 bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前 n 项和为 132n1n2. 10(2018 全国卷)已知数列an满足 a11，nan12(n1)an.设 bnann. (1)求 b1，b2，b3； (2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由； 4 (3)求an的通项公式 解 (1)由条件可得 an12（n1）nan. 将 n1 代入得，a24a1，而 a11，所以 a24. 将 n2 代入得，a33a2，所以 a312. 从而 b11，b22，b34. (2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 由条件可得an1n1

7、2ann，即 bn12bn，又 b11，所以bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 (3)由(2)可得ann2n1，所以 ann 2n1. 1已知an为等比数列，数列bn满足 b12，b25，且 an(bn1bn)an1，则数列bn的前 n 项和为( ) A3n1 B3n1 C.3n2n2 D.3n2n2 C b12，b25，且 an(bn1bn)an1， a1(b2b1)a2，即 a23a1， 又数列an为等比数列， 数列an的公比为 q3， bn1bnan1an3， 数列bn是首项为 2，公差为 3 的等差数列， 数列bn的前 n 项和为 Sn2nn（n1）233n2n2.故选 C. 2

8、设an是公比为 q 的等比数列，|q|1，令 bnan1(n1，2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23，19，37，82中，则 q 等于( ) A12 B.12 C32 D.32 5 C bn有连续四项在53，23，19，37，82中且 bnan1，即 anbn1，则an有连续四项在54，24，18，36，81中an是等比数列，等比数列中有负数项，q0，且负数项为相隔两项，又|q|1，等比数列各项的绝对值递增按绝对值由小到大的顺序排列上述数值 18，24，36，54，81，相邻两项相除241843，362432，543632，815432，则可得24，36，54，81 是an中连续的四项

9、q32. 3(2016 全国卷)设等比数列an满足 a1a310，a2a45，则 a1a2an的最大值为_ 64 设等比数列an的公比为 q，则由 a1a310，a2a4q(a1a3)5，知 q12.又 a1a1q210，a18. 故 a1a2anan1q12(n1)23n12（n1）n2 23nn22n22n2272n. 记 tn227n212(n27n)， 结合 nN*可知 n3 或 4 时，t 有最大值 6. 又 y2t为增函数，从而 a1a2an的最大值为 2664. 4已知数列an满足 a15，a25，an1an6an1(n2) (1)求证：an12an是等比数列； (2)求数列an

10、的通项公式 解 (1)证明：an1an6an1(n2)， an12an3an6an13(an2an1)(n2) a15，a25， a22a115， an2an10(n2)， an12anan2an13(n2)， 数列an12an是以 15 为首项，3 为公比的等比数列 6 (2)由(1)得 an12an153n153n， 则 an12an53n， an13n12(an3n) 又a132，an3n0， an3n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 an3n2(2)n1， 即 an2(2)n13n. 1.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个

11、树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有 1 023 个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为_ 132 由题意，得正方形的边长构成以22为首项，以22为公比的等比数列，现已知共得到 1 023 个正方形，则有 122n11 023，n10，最小正方形的边长为22229132. 2在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”将数列 1，2 进行“扩展”，第一次得到数列 1，2，2；第二次得到数列 1，2，2，4，2；.设第 n 次“扩展”后得到的数列为 1，x1，x2，xt，2，并记 anlog2(1 x1x2xt2)，其中 t2n1，nN*，求数列an的通项公式 解 anlog2(1 x1x2xt2)， 所以 an1log21 (1 x1) x1(x1x2) xt(xt2) 2 log2(12x31x32x33x3t22)3an1， 所以 an1123an12， 所以数列an12是一个以32为首项，以 3 为公比的等比数列， 所以 an12323n1，所以 an3n12.