2021届高三大题优练12 导数极值点偏移问题（理） 学生版.docx

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1、导数极值点偏移问题大题优练12优选例题例1已知函数有两个零点，（1）求a的取值范围；（2）求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）有两个零点有两个相异实根令，则，由，得；由，得，在单调递增，在单调递减，又，当时，；当时，当时，有两个零点时，实数a的取值范围为（2）不妨设，由题意得，要证：，只需证，令，只需证，只需证：令，在递增，成立综上所述，成立例2已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，是方程的两个不同实根，证明：【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）解：因为，所以当时，在上恒成立，故在上单调递减；当时，由，得；由，得，即在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单

2、调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）证明：因为，所以，即设，则，故在上单调递减，在上单调递增由题意不妨设，欲证，只需证，又，在上单调递增故只需证因为，所以只需证对任意的恒成立即可，即，整理得，即设，则因为，所以，所以，所以在上单调递减，则，所以成立模拟优练1已知函数，其中，为常数（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：2已知函数，（1）若在内单调递减，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点分别为，证明：3已知函数（1）求函数的极值；（2）若直线与函数的图象有两个不同交点，求证：4设函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时

3、，设，是的两个零点，证明：参考答案1【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1），因为函数在定义域有且仅有一个极值点，所以在内有且仅有一个变号零点，由二次函数的图象和性质知，解得，即实数的取值范围为（2），当时，在上单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意；当时，令，得当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，函数取得最小值，当时，函数无零点，不合题意；当时，函数仅有一个零点，不合题意；当时，又，所以在上只有一个零点，令，则，故当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即，所以，所以，又，所以在上只有一个零点，所以满足题意；不妨设，则，令，则，当时，所以在上单调递减，所以当时，即，因为，所以，所以

4、，又，且在上单调递增，所以，故得证2【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（I）由题可知，在内单调递减，在内恒成立，即在内恒成立，令，则，当时，即在内为增函数；当时，即在内为减函数，即，（2）若函数有两个极值点分别为，则在内有两根，两式相减，得，不妨设，当时，恒成立；当时，要证明，只需证明，即证明，即证明，令，令，在上单调递减，即成立，3【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）证明见解析【解析】（1），变化时，与变化情况如下0+单调递减极小值单调递增当时，有极小值为，极小值为，无极大值（2）由时，设，由（1）知，欲证：，需证：，由，且在是单调递减函数，即证：，即证：，令，当时，单调递增，时，由时，得证4【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以，所以当时，函数在上单调递增；当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增，综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）证明：由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，是的两个零点，不妨设，令，则，所以函数在上单调递增，又，所以，所以，即，所以，又，函数在上单调递增，所以，即