2022届高三数学一轮复习（原卷版）9．2　两条直线的位置关系.doc

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1、 1 92 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 1两条直线的位置关系 (1)平行：对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1， k2， 有 l1l2_， 特别地，当直线 l1，l2的斜率都不存在时，l1与 l2的关系为_ (2)垂直：如果两条直线 l1，l2的斜率都存在，且分别为 k1，k2，则有 l1l2_，特别地，若直线 l1：xa，直线 l2：yb，则 l1与 l2的关系为_ 2两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20 若方程组有唯一解，则两条直线_，此解就是_；若方程组无解，则两条直线_，此时两条直线_ 3距离公式 (

2、1)点到直线的距离：点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d_ (2)两条平行直线间的距离：两条平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20(C1C2)间的距离 d_ 4过两直线交点的直线系方程 若已知直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20相交， 则方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(其中R，这条直线可以是 l1，但不能是 l2)表示过 l1和 l2交点的直线系方程 自查自纠： 1(1)k1k2 l1l2 (2)k1k21 l1l2 2相交 交点的坐标 无公共点 平行 3(1)|Ax0By0CA2B2 (2)|C1C2A2B2 过点

3、A(2，3)且垂直于直线 2xy50 的直线方程为 ( ) Ax2y40 B2xy70 Cx2y30 Dx2y50 解： 由题意可设所求直线方程为： x2ym0，将 A(2，3)代入上式得 223m0，即 m4，所以所求直线方程为 x2y40故选 A 对任意实数 a，直线 yax3a2 所经过的定点是 ( ) A(2，3) B(3，2) C(2，3) D(3，2) 解：直线 yax3a2 变为 a(x3)(2y)0又 aR，所以x30，2y0，解得x3，y2得定点为(3，2)故选 B (2017 郑州调研)直线2x(m1)y40与直线 mx3y20 平行，则 m( ) A2 B3 C2 或3

4、D2 或3 解： 由题意有2mm1342， 故 m2 或3故选 C 点(1，1)到直线 3x4yb 的距离为 1，则b_ 解： 因为点(1， 1)到直线 3x4yb 的距离为 1，所以|34b|32421b2 或 12故填 2 或 12 已知点 A(3，2)和 B(1，4)到直线 ax y10 的距离相等，则 a 的值为_ 解：由平面几何知识得 AB 平行于直线 ax y10 或 AB 中点(1，3)在直线 axy10 上，kAB12，所以 a12或4故填12或4 类型一类型一 两条直线平行、重合或相交两条直线平行、重合或相交 已知两条直线 l1：(a1)x2y10，l2：xay30 平行，则

5、 a ( ) A1 B2 C0 或2 D1 或 2 2 解： 若 a0， 两直线方程分别为x2y10和 x3，此时两直线相交，不平行，所以 a0； 当 a0 时，两直线平行，则有a112a13，解得 a1 或 2故选 D 点 拨： 当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率， 不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论A1A2B1B2C1C2保证了平行的同时又去掉了重合的情形 当实数 m 为何值时，三条直线 l1： 3xmy10，l2：3x2y50

6、，l3：6xy50不能围成三角形 解：当 m0 时，直线 l1，l2，l3可以围成三角形，要使直线 l1，l2，l3不能围成三角形，则 m0 记 l1，l2，l3三条直线的斜率分别为 k1，k2，k3， 则 k13m，k232，k36 若 l1l2，或 l1l3，则 k1k232，或 k1k36，解得 m2 或 m12； 若三条直线交于一点，由3x2y50，6xy50得x1，y1， l2与 l3交于点(1，1)，将点(1，1)代入 3xmy10，得 m2所以当 m 2 或12时，l1，l2，l3不能围成三角形 类型二类型二 两条直线垂直两条直线垂直 (1)设 a，b，c 分别是ABC 中内角

7、A，B，C 所对边的边长，则直线 xsinAayc0 与 bxysinBsinC0 的位置关系是 ( ) A平行 B重合 C垂直 D相交但不垂直 解 ： 由 正 弦 定 理asinAbsinB， 得 bsinA asinB0，所以两直线垂直故选 C (2)已知直线 l1： (a2)x(1a)y30 与直线l2：(a1)x(2a3)y20，则“a1”是“l1l2”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解： l1l2的充要条件是(a2)(a1)(1a)(2a3)0，即 a210，解得 a 1 显然“a1”是“a 1”的充分不必要条件，故“a1”是“l1

8、l2”的充分不必要条件故选A 点 拨： 判定两直线垂直的方法：判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若 k1k21，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则两直线也垂直直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论设直线 l1： A1xB1yC10， l2： A2xB2yC20， l1l2A1A2B1B20 (1)(2017重庆一中检测)若直线 l1： (a1)xy10 和直线 l2：3xay20 垂直，则实数 a 的值为 ( ) A12 B32 C14 D34 解：由已知得 3(a1)a0，解得 a34故选 D (2)已知 a0，直线 ax(b2)y40 与

9、直线ax(b2)y30 互相垂直，则 ab 的最大值为 ( ) A0 B2 C4 D 2 解： 由已知得a2(b2)(b2)0， 即a2 b24因为 a2b242ab，所以 ab2，当且仅当ab 2时取“”，即 ab 的最大值为 2故选B 类型三类型三 对称问对称问题题 (1)点 A(2， a)与点 B(b， 3)关于直线l：x2ya0 对称，则 a3b_ 解：由题意知点 A 与点 B 的中点 P 的坐标为 3 (b22，a32)，因为 P 在直线 l 上，所以b222 a32a0，得 b8又 ABl，所以 kAB(12)1，即a3282，得 a23，所以a3b23381故填 1 (2)已知直

10、线 l：2x3y10，点 A(1，2)，则直线 l 关于点 A 对称的直线 l的方程为_ 解法一：在 l：2x3y10 上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则 P，N 关于点 A 的对称点 P，N均在直线 l上 易知 P(3，5)，N(6，7)，由两点式可得 l的方程为 2x3y90 解法二：设 Q(x，y)为 l上任意一点，则 Q(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 Q(2x，4y)， 因为 Q在直线 l 上， 所以 2(2x)3(4y)10，即 2x3y90故填 2x3y90 (3)直线 l1：2xy40 关于直线 l：xy20 对称的直线 l2的方程为 解： 解方程组2xy40

11、，xy20，得直线 l1与直线 l的交点 A(23，83)在直线 l1上取一点 B(2，0)，设点B 关于直线 l 的对称点为 C(x，y)， 则x22y220，yx21，解得x2，y4，即 C(2，4) 又直线 l2过 A(23，83)和 C(2，4)两点，故由两点式得直线 l2的方程为y4834x2232，即 x2y60故填 x2y60 点 拨： 关于中心对称问题的处理方法： 若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x2ax1，y2by1 求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标

12、，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在 关于轴对称问题的处理方法： 点关于直线的对称若两点 P1(x1， y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：AxByC0 对称，则线段 P1P2的中点在 l 上， 且连接 P1P2的直线垂直于 l， 由方程组 Ax1x22By1y22C0，y2y1x2x1AB1，可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标(x2，y2)(其中 B0，x1x2) 直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行 (1)(201

13、6吉安一中期中)已知入射光线经过点 M(3，4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2， 6)， 则反射光线所在直线的方程为_ 解：设点 M(3，4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在直线过点 M 由b4a（3） 11，3a2b4230，解得 a1，b0 又反射光线经过点 N(2， 6)， 所以所求直线的方程为y060 x121，即 6xy60故填 6xy60 (2)已知三角形的一个顶点 A(4，1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为 l1：xy10和 l2：x10，则 BC 边所在直线的方程为_ 解：由题意知，点 A 不在这两条角平分线上，因此

14、 l1，l2分别是另两个内角的角平分线设点 A关于直线 l1的对称点为 A1， 点 A 关于直线 l2的对称点为 A2，则点 A1，A2均在边 BC 所在的直线 l 上 设 A1(x1，y1)，则有 4 y11x1411，x142y11210，解 得x10，y13，所 以A1(0，3) 同理设 A2(x2，y2)，易求得 A2(2，1) 所以 BC 边所在直线的方程为 2xy30 故填 2xy30 类型四类型四 距离问题距离问题 (1)(2017河北名校联盟质检)若直线l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0 平行，则 l1与 l2间的距离为 ( ) A 2 B8 23 C 3 D8

15、33 解：因为 l1l2，所以1a2a362a，所以a（a2）3，a3，a2，a0，解得 a1， 所以 l1：xy60，l2：xy230，所以 l1与 l2之间的距离 d|623|28 23故选 B (2)过点 P(1，2)引直线，使 A(2，3)、B(4， 5)到它的距离相等，这条直线的方程是_ 解法一：因为 kAB4，线段 AB 中点 C(3， 1)， 所以过 P(1，2)与直线 AB 平行的直线方程为 y24(x1)，即 4xy60此直线符合题意 过 P(1，2)与线段 AB 中点 C(3，1)的直线方程为 y232(x1)，即 3x2y70此直线也是所求 故所求直线方程为 4xy60

16、或 3x2y70 解法二：显然这条直线斜率存在 设直线方程为 ykxb， 据条件有2kb，|2k3b|k21|4k5b|k21 化简得kb2，k4或kb2，3kb10 所以 k4，b6 或 k32，b72 所以直线方程为 y4x6 或 y32x72 即 4xy60 或 3x2y70故填 4xy60 或 3x2y70 点 拨： 距离的求法：点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式两平行直线间的距离，利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；或利用两平行线间的距离公式 d|C1C2|A2B2 设两条直线的方程分别为 xy

17、a0，xyb0，已知 a，b 是方程 x2xc0 的两个不同的实根，且 0c18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 ( ) A22，12 B 2，22 C 2，12 D24，14 解：因为 a，b 是方程 x2xc0 的两个不同的实根，所以 abc，ab1， 又直线xya0与xyb0之间的距离d|ab|2，所以 d2(|ab|2)2（ab）24ab2（1）24c2122c，因为 0c18(经检验，满足方程 x2xc0 有两个不同的实根)， 所以12218122c1220，即14122c12，所以12d22故选 A 类型五类型五 直线系及其直线系及其应用应用 求证：动直线(m22m3

18、)x(1mm2)y3m210(其中 mR)恒过定点，并求出定点坐标 5 证法一： 令 m0， 则直线方程为 3xy10， 再令 m1 时，直线方程为 6xy40， 联 立 ， 得 方 程 组3xy10，6xy40，解 得x1，y2 将点 A(1，2)代入动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210 中， (m22m3)(1)(1mm2)23m21 (312)m2(22)m2130， 故点 A(1，2)的坐标恒满足动直线方程， 所以动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210 恒过定点 A 证法二：将动直线方程按 m 降幂排列整理得， m2(xy3)m(2xy)3xy10， 不论 m 为何实

19、数，式恒为零， 所以有xy30，2xy0，3xy10，解得x1，y2 故动直线恒过点(1，2) 点 拨： 此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给 m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但 m 只是取两个特殊值，是否mR 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按 m 的降幂排列， 由于mR 恒成立，所以得关于 x，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合常见直线系方程有：过定点(x1，y1)的直线系：yy1k(xx1)和 xx1平行于直线 AxByC0 的直线系：AxBy0(C) 垂直于直线 AxByC0 的直线系

20、：BxAy0过 A1xB1yC10 与 A2x B2yC20的交点的直线系：A1xB1yC1 (A2xB2yC2)0(不包括直线 A2xB2yC20) 若点 P(2，1)到直线 l：(13)x(12)y25 的距离为 d，则 d 的取值范围是 ( ) A0， 13) B0，) C( 13，) D 13，) 解：把直线 l 的方程化为(xy2)(3x 2y5)0， 由方程组xy20，3x2y50，解得x1，y1，得直线l 恒过定点 A(1， 1)， 其中直线 l 不包括直线 3x 2y50 又|PA|（21）2（11）2 13，且 PA 与直线 3x2y50 垂直，即点 P 到直线 3x2y50

21、 的距离为 13，所以点 P 到直线 l 的距离 d 满足 0d 13故选 A 1当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意 x，y的系数不能同时为零这一隐含条件 2两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论但也可以这样避免：设两直线为 A1xB1yC10 和 A2xB2yC20，则两直线垂直的条件为A1B1A2B21，由此得A1A2B1B20，但后者适用性更强，因为当 B10或 B20 时前者不适用但后者适用 3常见直线系方程 (1)定点直线系方程： 经过定点 P0(x0， y0)的直线系方程为 y

22、y0k(xx0)和 xx0， 或 A(xx0)B(yy0)0 (2)平行直线系方程：与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC) (3)垂直直线系方程：与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAym0(mR) (4)共点直线系方程：过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2 4运用公式 d|C1C2A2B2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中 x，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离， 即在一条直线上任取一点(如直线

23、与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离这一方法体现了化归思想的应用 5对称主要分为中心对称和轴对称两种，中 6 心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决 1直线 2xym0 和 x2yn0 的位置关系是 ( ) A平行 B垂直 C相交但不垂直 D不能确定 解：直线 2xym0 的斜率 k12，直线 x2yn0 的斜率为 k212，则 k1k2，且 k1k21故选 C 2(2017刑台模拟)“a1”是“直线 ax3y30 和直线 x(a2)y10 平行”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不

24、充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：依题意得，直线 ax3y30 和直线 x(a 2)y 1 0平 行 的 充 要 条 件 是a（a2）31，a3，a0，a2，解得 a1故选 C 3过两直线 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点和原点的直线方程为 ( ) A19x9y0 B9x19y0 C19x3y0 D3x19y0 解法一：由x3y40，2xy50，得x197，y37， 则所求直线方程为：y37197x319x，即 3x19y0 解法二：设直线方程为 x3y4(2xy5)0， 即(12)x(3)y450，又直线过点(0，0)， 所以(12) 0(3) 0450， 解得

25、45， 故所求直线方程为3x19y0故选 D 4直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是 ( ) Ax2y10 B2xy10 C2xy30 Dx2y30 解：设直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线为 l2，则 l2的斜率为12，且过直线 x2y10 与 x1 的交点(1，1)，则 l2的方程为 y1 12(x1)，即 x2y30故选 D 5若动点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线 l1：xy50，l2：xy150 上移动，则 P1P2的中点 P 到原点的距离的最小值是 ( ) A5 22 B5 2 C15 22 D15 2 解： 由题意得 P1P2的中点 P

26、的轨迹方程是 xy100， 则原点到直线xy100的距离d 1025 2，即为点 P 到原点的距离的最小值故选 B 6已知点 P(x0，y0)是直线 l：AxByC0外一点，则方程 AxByC(Ax0By0C)0 表示 ( ) A过点 P 且与 l 垂直的直线 B过点 P 且与 l 平行的直线 C不过点 P 且与 l 垂直的直线 D不过点 P 且与 l 平行的直线 解：因为点 P(x0，y0)不在直线 AxByC0上，所以 Ax0By0C0，所以直线 AxByC(Ax0By0C)0 不经过点 P又直线 AxBy C(Ax0By0C)0 与直线 l：AxByC0 平行故选 D 7若 O(0，0)

27、，A(4，1)两点到直线 ax a2y60 的距离相等，则实数 a_ 解：由题意，得6a2a4|4aa26|a2a4，即 4aa26 6， 解得 a0 或2 或 4 或 6检验得a0 不合题意，所以 a2 或 4 或 6故填2 或4 或 6 8(2018河南洛阳二模)在平面直角坐标系内，过定点 P 的直线 l：axy10 与过定点 Q 的直线 m：xay30 相交于点 M，则|MP|2|MQ|2_ 解：由题意知 P(0，1)，Q(3，0)，因为直线 7 axy10 与直线 xay30 垂直，所以MPMQ，所以|MP|2|MQ|2|PQ|29110故填 10 9已知直线 l1：xa2y10 和直

28、线 l2： (a21)xby30(a，bR) (1)若 l1l2，求 b 的取值范围； (2)若 l1l2，求|ab|的最小值 解：(1)因为 l1l2，所以b(a21)a20，且a213 则 ba2(a21)a4a2a212214， 因为 a20，所以 b0 又因为 a213，所以 b6 故 b 的取值范围是(，6)(6，0 (2)因为 l1l2，所以(a21)a2b0， 又若 a0，不满足 l1l2，则 a0， 所以 aba1a，|ab|a1a2，当且仅当 a 1 时等号成立，因此|ab|的最小值为 2 10已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点 (1)点 A(5，0)到

29、 l 的距离为 3，求 l 的方程； (2)求点 A(5，0)到 l 的距离的最大值 解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y 50， 所以|1055|（2）2（12）23 解得 2 或 12 所以 l 的方程为 x2 或 4x3y50 (2)由2xy50，x2y0，解得交点 P(2，1)， 如图，过 P 作任一直线 l， 设 d 为点 A 到 l 的距离， 则 d|PA|(当 lPA 时等号成立) 所以 dmax|PA| 10 11若直线 l 过点 A(1，1)，且与已知直线l1：2xy60 相交于 B 点，若|AB|5，求直线 l的方程 解

30、： 当直线 l 的斜率不存在时， 直线 l 的方程为 x1 解方程组x1，2xy60 求得 B 点坐标为(1，4)，此时|AB|5， 即 x1 为所求 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y1k(x1)， 解方程组2xy60，y1k（x1），得xk7k2，y4k2k2 (k2，否则与已知直线平行) 则 B 点坐标为(k7k2，4k2k2) 由已知(k7k21)2(4k2k21)252， 解得 k34，所以 y134(x1)， 即 3x4y10 综上可知，所求直线 l 的方程为 x1 或 3x 4y10 已知三条直线： l1： 2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，

31、且 l1与 l2间的距离是7 510 (1)求 a 的值； (2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件： 点 P 在第一象限； 点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的12； 点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是2 5 若能，求点 P 的坐标；若不能，说明理由 解：(1)直线 l2的方程变形为：2xy120，所以两条平行线 l1与 l2间的距离为d|a（12）|22（1）27 510， 8 所以|a12|57 510，即|a12|72，解得 a3 或 a4 又 a0，所以 a3 (2)假设存在点 P，设点 P(x0，y0)若点 P 满足条件，则点 P 在与 l1，l2平行的直线 l：2xyc0 上，且|c3|512|c12|5，解得 c132或116， 所以 2x0y01320 或 2x0y01160； 若 P 点满足条件， 则由点到直线的距离公式， 有|2x0y03|525|x0y01|2， 即|2x0y03|x0y01|， 所以 x02y040 或 3x020； 由于点 P 在第一象限， 所以 3x020 不成立 联立2x0y01320，x02y040，解得x03，y012(舍去)， 联立2x0y01160，x02y040，解得x019，y03718 所以存在点 P(19，3718)同时满足三个条件 9