2022届高三数学一轮复习（原卷版）5．1　平面向量的概念及线性运算.doc

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1、 1 51 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 1向量的有关概念 (1)向量：既有_又有_的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的_(或称模)AB的模记作_ (2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_的 (3)单位向量：长度等于_的向 量 叫 做 单 位向 量a| |a是 一 个 与 a 同 向 的_a|a|是一个与 a_的单位向量 (4)平行向量：方向_或_的_向量叫做平行向量平行向量又 叫_，任一组平行向量都可以移到同一直线上 规定：0 与任一向量_ (5) 相 等 向 量 ： 长 度 _ 且 方 向_的向量叫做相等向量 (6) 相 反 向 量 ： 长 度 _ 且 方 向_的

2、向量叫做相反向量 (7)向量的表示方法：用_表示；用_表示；用_表示 2向量的加法和减法 (1)向量的加法 三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，则以第一个向量 a 的起点 O 为_以第二个向量 b 的终点 B 为_的向量OB就是 a 与 b 的_(如图 1) 推 广 ： A1A2 A2A3 An1An_ 图 1 图 2 平行四边形法则：以同一点 A 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作ABCD，则以 A 为起点的_就是 a 与 b 的和(如图 2)在图 2 中， BCADb，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式 加法的运算性质： ab_(交换律)； (ab

3、)c_(结合律)； a0_a (2)向量的减法 已知向量 a，b，在平面内任取一点 O，作OAa，OBb，则BA_，即 ab 表示从向量 b 的终点指向向量 a(被减向量)的终点的向量(如图) 3向量的数乘及其几何意义 (1)定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作_，它的长度与方向规定如下： |a _； 当 0 时，a 与 a 的方向_； 当 0 时，a 与 a 的方向_； 当 0 时，a_ (2)运算律：设 ，R，则： (a)_； ()a_； (ab)_ 4两个向量共线定理 向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得_ 自查自纠： 1(1)大小 方向 长度 | |

4、AB (2)长度为 0 任意 (3)1 个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 2 (7)字母 有向线段 坐标 2(1)起点 终点 和 A1An 对角线AC ba a(bc) 0a (2)ab 3(1)a |a| 相同 相反 0 (2)(a) aa ab 4ba 设 a0为单位向量， 若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行，则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0 上述命题中，假命题的个数是 ( ) A0 B1 C2 D3 解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模

5、相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a 与 a0平行，则当 a 为零向量时，a 的方向任意；当 a 不为零向量时，a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3故选 D D是ABC的边AB上的中点， 则向量CD等于 ( ) ABC12BA BBC12BA CBC12BA DBC12BA 解：如图， CDCBBDCB12BABC12BA故选A 对于非零向量 a， b，“ab0”是“ab”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解： 当 ab0 时， ab， 所以 ab； 当 ab时，

6、不一定有 ab， 所以“ab0”是“ab”的充分不必要条件故选 A (2019届武汉新高三起点考试)已知 a(1，1)，与 a 方向相同的单位向量为_ 解：与 a 方向相同的单位向量为a|a|12(1，1)22，22故填 22，22 直角三角形 ABC 中， 斜边 BC 长为 2， O 是平面 ABC 内一点， 点 P 满足OPOA12(ABAC)，则|AP|_ 解：如图， 取 BC 边中点 D， 连接 AD， 则12(ABAC)AD，OPOA12(ABAC)OPOAADOPOAADAPAD，因此|AP|AD|1故填 1 类型一类型一 向量的基本概念向量的基本概念 (2017海淀期末)下列说法

7、正确的是 ( ) A长度相等的向量叫做相等向量 B共线向量是在同一条直线上的向量 C零向量的长度等于 0 DABCD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 解： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故 B 不正确； 显然 C 正确； 当ABCD时， AB所在的直线与CD所在的直线可能重合，故 D 不正确故选 C 点 拨： 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及 3 特征逐一进行考察向量定义的关键是方向和长度非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制相等向量的关键是方向相同且长度相等共线向量即为平行向量

8、，它们均与起点无关向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈 下列命题中， 正确的是_(填序号) 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 向量AB与向量CD共线，则 A，B，C，D 四点共线； 如果 ab，bc，那么 ac； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 解：不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； 不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反； 不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

9、不正确，如果 b 为零向量，则 a 与 c 不一定平行； 正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小故填 类型二类型二 向量的线性运算向量的线性运算 (1)( 2018新疆维吾尔自治区高三二模)已知 A、B、C 三点不共线，且点 O 满足OAOBOC0，则下列结论正确的是 ( ) AOA13AB23BC BOA23AB13BC COA13AB23BC DOA23AB13BC 解： 因为OAOBOC0， 所以点 O 为ABC的重心， 所以OA2312(ABAC)13(ABAC)13(ABABBC)23AB13BC故选 B (2)在ABC 中，点 M，N 满足AM2

10、MC，BNNC若MNxAByAC，则 x_；y_ 解： 因为 AM2MC， 所以AM23AC因为 BNNC， 所以AN12(ABAC)， 所以MNANAM12(ABAC)23AC12AB16AC，所以 x12，y16故填12；16 点 拨： 进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共

11、线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论 (1)在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD相交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F，若ACa，BDb，则AF等于( ) A14a12b B23a13b C12a14b D13a23b 解：如图，由题意知，DEBE13 4 DFAB，所以DF13AB， 所以AFADDFAOOD13AB12a12b1312a12b 23a13b故选 B (2)在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边CD 和 BC 的中点，ACAEAF，其中 ，R，则 _ 解：在平行

12、四边形中，有ACABAD，因 E，F 分别为 CD、BC 的中点，所以AE12(ACAD)，AF12(ABAC)， 则AEAF12(ADAB2AC)32AC，所以AC23AE23AF，所以 23，则 43故填43 类型三类型三 向量共线的充要条件及向量共线的充要条件及其应用其应用 (1)设两个非零向量 a 和 b 不共线若 ABab，BC2a8b，CD3(ab)，求证：A，B，D 三点共线 证明：因为ABab，BC2a8b，CD 3(ab)， 所以BDBCCD2a8b3(ab)5(ab)5AB，所以AB，BD共线又AB与BD有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线 (2)(2017资阳二模)设

13、 a 与 b 是两个不共线的向量，AB3a2b，CBkab，CD3a2kb，若 A，B，D 三点共线，则 k 的值为 ( ) A94 B49 C38 D83 解：由题意，A，B，D 三点共线，故必存在一个实数 ，使得ABBD又BDCDCB3a2kb(kab)(3k)a(2k1)b，所以 3a2b(3k)a(2k1)b， 所以3（3k），2（2k1），解得 k94故选 A 点 拨： 平面向量共线定理的三个应用：证明向量共线：对于非零向量 a，b，若存在实数 ，使 ab，则 a 与 b 共线证明三点共线：若存在实数 ，使ABAC，AB与AC有公共点 A，则 A，B，C 三点共线求参数的值：利用向量

14、共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值另注意如下定理： O 是平面内任一点， 则平面内不同的三点 A， B，C 共线的充要条件是存在实数 ，使得OC OAOB，且 1 (1)(2017温州八校检测)设向量 a，b不共线，AB2apb，BCab，CDa2b，若A，B，D 三点共线，则实数 p 的值为 ( ) A2 B1 C1 D2 解：因为BCab，CDa2b， 所以BDBCCD2ab 又因为 A，B，D 三点共线，所以AB，BD共线 设ABBD，所以 2apb(2ab)， 所以 22，p，所以 1，p1故选 B (2)已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，但ab 与 c 共线，且

15、bc 与 a 共线，则向量 abc _ 解：依题意，设 abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即 acmcna又 a 与 5 c 不共线，于是有 m1，n1，abc，abc0故填 0 1准确理解向量的概念，请特别注意以下几点 (1)ab，有 a 与 b 方向相同或相反两种情形 (2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|b| a b (3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行 (4)对于任意非零向量 a，a| |a是与 a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法 (5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上 (6)只要不改变向量 a 的大小和方向

16、，可以自由平移 a，平移后的向量与 a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的， 当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的 2向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧 3向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点” 4平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中， 加法是最基本、 最

17、重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算 5对于两个向量共线定理(a(a0)与 b 共线存在唯一实数 使得 ba)中条件“a0”的理解 (1)当 a0 时，a 与任一向量 b 都是共线的 (2)当 a0 且 b0 时，ba 是不成立的，但a 与 b 共线 因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求 a0换句话说，如果不加条件“a0”， “a 与 b 共线”是“存在唯一实数 使得ba”的必要不充分条件 1已知 a，b 是两个非零向量，且|ab| |a|b|， 则下列说法正确的是 ( ) Aab0 Bab Ca 与 b 共线反向 D存在正实数 ，使 ab

18、 解：因为 a，b 是两个非零向量，且|ab| |a|b|，则 a 与 b 共线同向，故 D 正确故选 D 2(2018重庆高三二诊)已知两个非零向量a，b 互相垂直， 若向量 m4a5b 与 n2ab 共线，则实数 的值为 ( ) A5 B3 C52 D2 解：因为向量 m4a5b 与 n2ab 共线，所以存在实数 t， 使得 mtn， 即 4a5bt(2ab)，又向量 a， b 互相垂直， 故 a， b 不共线， 所以2t4，t5，解得t2，52故选 C 3(2018届黑龙江统一仿真模拟（一）)点 G为ABC 的重心(三角形三边中线的交点)，设BGa，GCb，则AB ( ) A32a12b

19、 B32a12b C2ab Db2a 解：如图， EBBGEG， 即12ABBG12GC， 故ABGC2BGb2a 故选 D 4(东北育才学校2018届高三模拟)在ABC 6 中，若ABAC4AP，则CP ( ) A34AB14AC B34AB14AC C14AB34AC D14AB34AC 解： 因为ABAC4AP， 所以AP14(ABAC)，CPAPAC14(ABAC)AC14AB34AC故选C 5在四边形 ABCD 中，ABa2b，BC 4ab，CD5a3b，则四边形 ABCD 的形状是 ( ) A矩形 B平行四边形 C梯形 D以上都不对 解：由已知得，ADABBCCDa2b4ab5a3

20、b8a2b2(4ab)2BC，故ADBC又因为AB与CD不平行， 所以四边形ABCD是梯形故选 C 6在ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC3CD， 点O在线段CD上(与点C， D不重合)，若AOxAB(1x)AC，则 x 的取值范围是( ) A0，12 B0，13 C12，0 D13，0 解法一：由已知有ACCOxABACxAC，则COx(ABAC)xCB，所以 x13，0 解法二：设COyBC，因为AOACCOACyBCACy(ACAB)yAB(1y)AC 因为BC3CD， 点 O 在线段 CD 上(与点 C， D不重合)，所以 y0，13，因为AOxAB(1x)AC， 所

21、以 xy，所以 x13，0故选 D 7(2017上海黄浦调研)向量 e1，e2不共线，AB3(e1e2)，CBe2e1，CD2e1e2，给出下列结论： A，B，C 共线； A，B，D 共线； B，C，D 共线； A，C，D 共线 其中所有正确结论的序号为_ 解： 由ACABCB4e12e22CD， 且AB与CB不共线，可得 A，C，D 共线，且 B 不在此直线上故填 8(2018 江西八校4月联考)点 M 为ABC 所在平面内一动点，且 M 满足：AM13AB23(1)AC，|AC|3，A3，若点 M 的轨迹与直线 AB，AC 围成封闭区域的面积为32，则|BC|_ 解：设AD13AB，AE2

22、3AC，则|AE|2 因为M满足AM13AB23(1)AC， 所以AMAD(1)AE，所以 M，D，E 三点共线，所以 M点轨迹为直线 DE 因为点 M 的轨迹与直线 AB， AC 围成封闭区域的面积为32，所以12|AD|AE|sinA32，即12|AD| 2sin332， 所以|AD|1， 即|AB|3所以|AB|AC|， 所以ABC 为等边三角形， 所以|BC|3故填 3 9如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，且 AD13BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 的中点设BAa，BCb，试用 a，b 表示向量EF，DF，CD 7 解： EFEAABBF16ba12b13ba， DFDE

23、EF16b13ba 16ba， CDCFFD12b16ba a23b 10在ABC 中，E，F 分别为 AC，AB 的中点，BE 与 CF 相交于 G 点，设ABa，ACb，试用 a，b 表示AG 解法一：AGABBGAB23BEAB23(AEAB)AB2312ACAB13AB13AC13a13b 解法二：由于 G 是ABC 的中线 BE 与 CF 的交点，所以 G 为ABC 的重心延长 AG 交 BC 于H，由重心的性质知，AG23AH2312(ABAC)13a13b 11设两个非零向量 e1和 e2不共线 (1)如果ABe1e2， BC3e12e2， CD8e12e2，求证：A，C，D 三

24、点共线； (2)如果ABe1e2，BC2e13e2，CD2e1ke2，且 A，C，D 三点共线，求 k 的值 解：(1)证明：因为ABe1e2，BC3e12e2，CD8e12e2， 所以ACABBC4e1e212(8e12e2)12CD， 所以AC与CD共线 又因为AC与CD有公共点 C，所以 A，C，D 三点共线 (2)ACABBC(e1e2)(2e13e2)3e12e2， 因为 A，C，D 三点共线， 所以AC与CD共线，从而存在实数 使得ACCD， 即 3e12e2(2e1ke2)， 得32，2k，解得 32， k43故 k 的值为43 在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记AB，BC分别为 a，b，则AH ( ) A25a45b B25a45b C25a45b D25a45b 解：如图， 过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于点 G，则 G 是DE 的中点，且GF12EC14BC，所以GF14AD，则AHDFHG， 从而FH14HA， 所以AH45AF，AFADDFb12a，所以AH45b12a 25a 45b故选 B 8