2022届高三数学一轮复习（原卷版）7．2　一元二次不等式及其解法.doc

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1、72 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 1解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是_ (2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的_ (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示 2一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为 axb(a0)的形式当 a0 时，解 集 为 _ ； 当a 0 时 ， 解 集 为_若关于 x 的不等式 axb 的解集是 R，则实数 a，b 满足的条件是_ 3一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的

2、不等式，称为_不等式 (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_ (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式 ax2bxc0(或 ax2bxc0)(其中 a0)的形式， 其对应的方程 ax2bxc0 有两个不相等的实根 x1，x2，且 x1x2(此时 b24ac0)，则可根据“大于号取_，小于号取_”求解集 (4)一元二次不等式的解 函数、 方程与不等式 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根x1,x2(x1x2) 有两相等实根 x

3、1x2 b2a 无实根 ax2bxc0 (a0)的解集 R ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 4分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型方法： 移项， 通分，右边化为 0，左边化为f（x）g（x）的形式 (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x）g（x）0 f(x)g(x)0； f（x）g（x）0 f(x)g(x)0； f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0； f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0 自查自纠： 1(1)同解不等式 (2)同解变形 2x|xba x|xba a0，b0 3(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)x|

4、xx1或xx2 xxb2a (2016梧州模拟)不等式2x11 的解集是 ( ) A(，1)(1，) B(1，) C(，1) D(1，1) 解：因为2x11，所以2x110，即1xx10，所以 x1故选 A (2016青海模拟)不等式(a2)x22(a2)x40，对一切 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(，2 B(2，2 C(2，2) D(，2) 解： 当 a2 时， 有a20，0， 所以2a2当a2 时， 原式化为40， 恒成立所以20 的解集为x|3x0 的解集为 ( ) Ax|12x13 Bx|x13 Cx|3x2 Dx|x2 解：由题意得5a32，ba3（2），解得

5、a 1，b6，所以不等式 bx25xa0 为6x25x10，即(3x1) (2x1)0，所以解集为x|12x0(a0)的解集为(，x1)(x2，)，且 x2x15 2，则 a_ 解法一：由题意得，x1x2a ，x1x2 6a2 ，24可得(x2x1)225a2，又 x2x15 2， 所以 25a250， 解得 a 2， 因为 a0(a0，因为 a3a，所以解不等式得 x2a 或 x0，0，x2，x1x2，x1x2) (1)解下列不等式 ()x22x30； ()x22x20 解：()不等式两边同乘以1，原不等式可化为 x22x30 方程 x22x30 的解为 x13，x21 而 yx22x3 的

6、图象开口向上，可得原不等式x22x30 的解集是x|3x1 ()因为 0， 所以方程 x22x20 无实数解，而 yx22x2 的图象开口向上，可得原不等式 x22x20 的解集为 R (2)若关于x的不等式ax2x2a0，0，即a0，18a20，解得 a24，即 a的取值范围是24，故填 24， 类型二类型二 二次不等式、二次函数二次不等式、二次函数及二次方程的关系及二次方程的关系 (1)已知不等式 ax2bx20 的解集为x|1x2，则不等式 2x2bxa0 的解集为 ( ) Ax|x12 Bx|1x12 Cx|2x1 Dx|x1 解：由题意知 x1，x2 是方程 ax2bx 20 的两根

7、，且 a0 由韦达定理得12ba，（1）22aa1，b1 所以不等式 2x2bxa0，即 2x2x10 解得1x12故选 B 点 拨： 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负 (2)已知函数 f(x)ax2(b8)xaab，当x(，3)(2，)时，f(x)0 ()求 f(x)在0，1内的值域； ()若 ax2bxc0 的解集为 R， 求实数 c 的取值范围 解：()依题意知，3，2 是方程 ax2(b8)x a ab 0的 两 根 ， 且a4 的解集为x|xb ()求 a，b； ()解不等式

8、 ax2(acb)xbc4 的解集为x|xb，所以 x11 与 x2b 是方程 ax23x20 的两个实数根， 且 b1由根与系数的关系，得 1b3a，1b2a 解得a1，b2 ()不等式 ax2(acb)xbc0， 即 x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2 时，不等式的解集为x|2xc； 当 c2 时，不等式的解集为x|cx2； 当 c2 时，不等式的解集为 (2)(2018江苏模拟)已知函数 f(x)x2axb(bR)的值域为0， )， 若关于 x 的不等式 f(x)c的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_ 解：由题意知 f(x)x2axbxa22ba24 因为 f(x)的值域为

9、0，)， 所以 ba240，即 ba24，所以 f(x)xa22 又因为 f(x)c，所以xa220， 则a2 cxa2 c 所以a2 cm， a2 cm6 得 2 c6，所以 c9 另解：由题意知 f(x)x2axa24 又 f(x)c 的解集为(m，m6)， 所以方程 f(x)c0 即 x2axa24c0 的两根 x1m，x2m6，则 |x1 x2| 6 （x1x2）24x1x2（a）24a24c ， 解得 c9故填 9 类型三类型三 分式不等式的解法分式不等式的解法 解下列不等式 (1)x12x11 解：(1)原不等式可化为(x1)(2x1)0， 所以1x12， 故原不等式的解集为x|1

10、x12 (2) 原 不 等 式 可 化 为x13x5 0 ， 所 以（x1）（3x5）0，3x50， 所以53x1，x53，即53x1 故原不等式的解集为x|530 ， 即x1（x2）x20， 所以3x20，则 x2 故原不等式的解集为x|x0 x|1xe或x12， 故AB 1，12故选 B 类型四类型四 和一元和一元二次不等式有关二次不等式有关的恒成立问题的恒成立问题 设函数 f(x)mx2mx1 (1)若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求 m的取值范围 解：(1)若 m0，显然10 恒成立； 若 m0，则m0，m24m

11、04m0 所以 m 的取值范围为(4，0 (2)方法一：要使 x1，3时，f(x)m5 恒成立， 需 mx12234m60，x1，3 令 g(x)mx12234m6，x1，3 则需 g(x)max0 时， g(x)在1， 3上是增函数， 所以 g(x)maxg(3)7m6，所以 7m60，解得 m67，所以0m67 当 m0 时，60 恒成立 当 m0 时， g(x)在1， 3上是减函数所以 g(x)maxg(1)m60，解得 m6，所以 m0 综上所述，m 的取值范围为，67 方法二：f(x)m5 恒成立，即 m(x2x1)60， 所以m6x2x1，在 x1，3上恒成立又函数 y6x2x16

12、x12234在1，3上的最小值为67，所以只需 m0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a0 时，b0，c0；当 a0时，a0，0； 不等式 ax2bxc0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a0 时，b0，c0；当 a0时，a0，0 恒成立，只需 0，即(a4)24(52a)0，解得2a0，x24x31，即1x3，x2，故函数 f(x)的定义域为(1，2)(2，3)故选 D 2关于 x 的不等式 x2px20 的解集是(，1)12， ，则 a 的值为 ( ) A1 B12 C1 D2 解：由题意得 a0，且不等式等价于 a(x1)x1a0，由解集的特点可得 a0 且1a12，

13、故 a2故选 D 4(2018福建模拟)若集合 Ax|ax2ax10，a24a0，得 0a4，所以实数 a 的取值范围是0，4故选 D 5不等式(2x1)(1|x|)1 或 x1 或1x12 C1x12 Dx12 解：原不等式等价于2x10，1|x|0或2x10 所以x12，x1或x1或x12，1x1 或1x12故选 B 6(2018重庆模拟)关于 x 的不等式 x2 2ax8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2x115，则 a ( ) A52 B72 C154 D152 解：由条件知 x1，x2为方程 x22ax8a2 (x2a)(x4a)0 的两根，则 x12a，x24a，4a2a15

14、，得 a52故选 A 7(2018青岛模拟)不等式 2x23|x|350的解集为_ 解：2x23|x|3502|x|23|x|350(|x|5)(2|x|7)0|x|5或|x|5或x5故填x|x5 8关于 x 的不等式4xmx22x30，所以原不等式即 4xm2(x22x3)恒成立，所以 m2x28x 6 恒成 立，设 f(x) 2x2 8x 6 ，则需mf(x)min而 f(x)2x28x62(x2)22，所以f(x)min2，所以 m0 的解集是x|12xa5 的解集 解：(1)依题意知，a3， 即12xx130， 整理得（x2）x10，即(x1)(x2)0，解得2x1故不等式的解集为x|

15、2x1 10( 2018池州模拟 ) 已 知 函 数f(x) ax22ax1的定义域为 R (1)求 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)的最小值为22，解关于 x 的不等式 x2xa2a0，（2a）24a0，解得00，所以当 x1 时，f(x)min 1a， 由题意，得 1a22，所以 a12 所以 x2x122120，即(2x1)(2x3)0，解得12x1(aR) 解：(1)由题意，a0，则 f(x)ax12a214a24a当 a0 时，不符合题意；当 a1， 即 ax2xa1， (x1)(axa1)0， 当 a0 时，解集为x|x1； 当 a0 时，(x1)x11a0， 解集为x|x

16、1或x11a； 当 a12时，(x1)20，解集为； 当12a0 时，(x1)x11a0， 解集为x|1x11a； 当 a12时，(x1)x11a0， 解集为x|11ax0 的解集为(1，t)，记函数 f(x)ax2(ab)xc (1)求证：函数 yf(x)必有两个不同的零点； (2)若函数 yf(x)的两个零点分别为 m， n， 求|mn|的取值范围 解：(1)证明：由题意知 a0，abc0，且b2a1，所以 ca0，所以 ac0，所以对于函数f(x)ax2(ab)xc 有 (ab)24ac0，所以函数 yf(x)必有两个不同零点 (2)|mn|2(mn)24mn（ba）24aca2（2ac

17、）24aca2ca28ca4， 由不等式 ax2bxc0 的解集为(1，t)可知，方程 ax2bxc0 的两个解分别为 1 和 t(t1)，由根与系数的关系知cat，所以|mn|2t28t4，t(1，) 所以|mn| 13， 所以|mn|的取值范围为( 13，) 72 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 1解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是_ (2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的_ (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示 2一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变

18、形后，都可以化为 axb(a0)的形式当 a0 时，解 集 为 _ ； 当a 0 时 ， 解 集 为_若关于 x 的不等式 axb 的解集是 R，则实数 a，b 满足的条件是_ 3一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为_不等式 (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_ (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式 ax2bxc0(或 ax2bxc0)(其中 a0)的形式， 其对应的方程 ax2bxc0 有两个不相等的实根 x1，x2，且 x1x2

19、(此时 b24ac0)，则可根据“大于号取_，小于号取_”求解集 (4)一元二次不等式的解 函数、 方程与不等式 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根x1,x2(x1x2) 有两相等实根 x1x2 b2a 无实根 ax2bxc0 (a0)的解集 R ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 4分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型方法： 移项， 通分，右边化为 0，左边化为f（x）g（x）的形式 (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x）g（x）0 f(x)g(x)0； f（x）g（x）0 f(x)

20、g(x)0； f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0； f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0 自查自纠： 1(1)同解不等式 (2)同解变形 2x|xba x|xba a0，b0 3(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)x|xx1或xx2 xxb2a (2016梧州模拟)不等式2x11 的解集是 ( ) A(，1)(1，) B(1，) C(，1) D(1，1) 解：因为2x11，所以2x110，即1xx10，所以 x1故选 A (2016青海模拟)不等式(a2)x22(a2)x40，对一切 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(，2 B(2

21、，2 C(2，2) D(，2) 解： 当 a2 时， 有a20，0， 所以2a2当a2 时， 原式化为40， 恒成立所以20 的解集为x|3x0 的解集为 ( ) Ax|12x13 Bx|x13 Cx|3x2 Dx|x2 解：由题意得5a32，ba3（2），解得 a 1，b6，所以不等式 bx25xa0 为6x25x10，即(3x1) (2x1)0，所以解集为x|12x0(a0)的解集为(，x1)(x2，)，且 x2x15 2，则 a_ 解法一：由题意得，x1x2a ，x1x2 6a2 ，24可得(x2x1)225a2，又 x2x15 2， 所以 25a250， 解得 a 2， 因为 a0(a

22、0，因为 a3a，所以解不等式得 x2a 或 x0，0，x2，x1x2，x1x2) (1)解下列不等式 ()x22x30； ()x22x20 解：()不等式两边同乘以1，原不等式可化为 x22x30 方程 x22x30 的解为 x13，x21 而 yx22x3 的图象开口向上，可得原不等式x22x30 的解集是x|3x1 ()因为 0， 所以方程 x22x20 无实数解，而 yx22x2 的图象开口向上，可得原不等式 x22x20 的解集为 R (2)若关于x的不等式ax2x2a0，0，即a0，18a20，解得 a24，即 a的取值范围是24，故填 24， 类型二类型二 二次不等式、二次函数二

23、次不等式、二次函数及二次方程的关系及二次方程的关系 (1)已知不等式 ax2bx20 的解集为x|1x2，则不等式 2x2bxa0 的解集为 ( ) Ax|x12 Bx|1x12 Cx|2x1 Dx|x1 解：由题意知 x1，x2 是方程 ax2bx 20 的两根，且 a0 由韦达定理得12ba，（1）22aa1，b1 所以不等式 2x2bxa0，即 2x2x10 解得1x12故选 B 点 拨： 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负 (2)已知函数 f(x)ax2(b8)xaab，当x(，

24、3)(2，)时，f(x)0 ()求 f(x)在0，1内的值域； ()若 ax2bxc0 的解集为 R， 求实数 c 的取值范围 解：()依题意知，3，2 是方程 ax2(b8)x a ab 0的 两 根 ， 且a4 的解集为x|xb ()求 a，b； ()解不等式 ax2(acb)xbc4 的解集为x|xb，所以 x11 与 x2b 是方程 ax23x20 的两个实数根， 且 b1由根与系数的关系，得 1b3a，1b2a 解得a1，b2 ()不等式 ax2(acb)xbc0， 即 x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2 时，不等式的解集为x|2xc； 当 c2 时，不等式的解集为x|cx2

25、； 当 c2 时，不等式的解集为 (2)(2018江苏模拟)已知函数 f(x)x2axb(bR)的值域为0， )， 若关于 x 的不等式 f(x)c的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_ 解：由题意知 f(x)x2axbxa22ba24 因为 f(x)的值域为0，)， 所以 ba240，即 ba24，所以 f(x)xa22 又因为 f(x)c，所以xa220， 则a2 cxa2 c 所以a2 cm， a2 cm6 得 2 c6，所以 c9 另解：由题意知 f(x)x2axa24 又 f(x)c 的解集为(m，m6)， 所以方程 f(x)c0 即 x2axa24c0 的两根 x1m，x2m6

26、，则 |x1 x2| 6 （x1x2）24x1x2（a）24a24c ， 解得 c9故填 9 类型三类型三 分式不等式的解法分式不等式的解法 解下列不等式 (1)x12x11 解：(1)原不等式可化为(x1)(2x1)0， 所以1x12， 故原不等式的解集为x|1x12 (2) 原 不 等 式 可 化 为x13x5 0 ， 所 以（x1）（3x5）0，3x50， 所以53x1，x53，即53x1 故原不等式的解集为x|530 ， 即x1（x2）x20， 所以3x20，则 x2 故原不等式的解集为x|x0 x|1xe或x12， 故AB 1，12故选 B 类型四类型四 和一元二次不等式有关和一元二

27、次不等式有关的恒成立问题的恒成立问题 设函数 f(x)mx2mx1 (1)若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求 m的取值范围 解：(1)若 m0，显然10 恒成立； 若 m0，则m0，m24m04m0 所以 m 的取值范围为(4，0 (2)方法一：要使 x1，3时，f(x)m5 恒成立， 需 mx12234m60，x1，3 令 g(x)mx12234m6，x1，3 则需 g(x)max0 时， g(x)在1， 3上是增函数， 所以 g(x)maxg(3)7m6，所以 7m60，解得 m67，所以0m67 当 m0 时，60

28、 恒成立 当 m0 时， g(x)在1， 3上是减函数所以 g(x)maxg(1)m60，解得 m6，所以 m0 综上所述，m 的取值范围为，67 方法二：f(x)m5 恒成立，即 m(x2x1)60， 所以m6x2x1，在 x1，3上恒成立又函数 y6x2x16x12234在1，3上的最小值为67，所以只需 m0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a0 时，b0，c0；当 a0时，a0，0； 不等式 ax2bxc0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a0 时，b0，c0；当 a0时，a0，0 恒成立，只需 0，即(a4)24(52a)0，解得2a0，x24x31，即1x3，x

29、2，故函数 f(x)的定义域为(1，2)(2，3)故选 D 2关于 x 的不等式 x2px20 的解集是(，1)12， ，则 a 的值为 ( ) A1 B12 C1 D2 解：由题意得 a0，且不等式等价于 a(x1)x1a0，由解集的特点可得 a0 且1a12，故 a2故选 D 4(2018福建模拟)若集合 Ax|ax2ax10，a24a0，得 0a4，所以实数 a 的取值范围是0，4故选 D 5不等式(2x1)(1|x|)1 或 x1 或1x12 C1x12 Dx12 解：原不等式等价于2x10，1|x|0或2x10 所以x12，x1或x1或x12，1x1 或1x12故选 B 6(2018

30、重庆模拟)关于 x 的不等式 x2 2ax8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2x115，则 a ( ) A52 B72 C154 D152 解：由条件知 x1，x2为方程 x22ax8a2 (x2a)(x4a)0 的两根，则 x12a，x24a，4a2a15，得 a52故选 A 7(2018青岛模拟)不等式 2x23|x|350的解集为_ 解：2x23|x|3502|x|23|x|350(|x|5)(2|x|7)0|x|5或|x|5或x5故填x|x5 8关于 x 的不等式4xmx22x30，所以原不等式即 4xm2(x22x3)恒成立，所以 m2x28x 6 恒成 立，设 f(x) 2x

31、2 8x 6 ，则需mf(x)min而 f(x)2x28x62(x2)22，所以f(x)min2，所以 m0 的解集是x|12xa5 的解集 解：(1)依题意知，a3， 即12xx130， 整理得（x2）x10，即(x1)(x2)0，解得2x1故不等式的解集为x|2x1 10( 2018池州模拟 ) 已 知 函 数f(x) ax22ax1的定义域为 R (1)求 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)的最小值为22，解关于 x 的不等式 x2xa2a0，（2a）24a0，解得00，所以当 x1 时，f(x)min 1a， 由题意，得 1a22，所以 a12 所以 x2x122120，即(2x

32、1)(2x3)0，解得12x1(aR) 解：(1)由题意，a0，则 f(x)ax12a214a24a当 a0 时，不符合题意；当 a1， 即 ax2xa1， (x1)(axa1)0， 当 a0 时，解集为x|x1； 当 a0 时，(x1)x11a0， 解集为x|x1或x11a； 当 a12时，(x1)20，解集为； 当12a0 时，(x1)x11a0， 解集为x|1x11a； 当 a12时，(x1)x11a0， 解集为x|11ax0 的解集为(1，t)，记函数 f(x)ax2(ab)xc (1)求证：函数 yf(x)必有两个不同的零点； (2)若函数 yf(x)的两个零点分别为 m， n， 求

33、|mn|的取值范围 解：(1)证明：由题意知 a0，abc0，且b2a1，所以 ca0，所以 ac0，所以对于函数f(x)ax2(ab)xc 有 (ab)24ac0，所以函数 yf(x)必有两个不同零点 (2)|mn|2(mn)24mn（ba）24aca2（2ac）24aca2ca28ca4， 由不等式 ax2bxc0 的解集为(1，t)可知，方程 ax2bxc0 的两个解分别为 1 和 t(t1)，由根与系数的关系知cat，所以|mn|2t28t4，t(1，) 所以|mn| 13， 所以|mn|的取值范围为( 13，) 72 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 1解不等式的有关理论

34、 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是_ (2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的_ (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示 2一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为 axb(a0)的形式当 a0 时，解 集 为 _ ； 当a 0 时 ， 解 集 为_若关于 x 的不等式 axb 的解集是 R，则实数 a，b 满足的条件是_ 3一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为_不等式 (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元

35、二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_ (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式 ax2bxc0(或 ax2bxc0)(其中 a0)的形式， 其对应的方程 ax2bxc0 有两个不相等的实根 x1，x2，且 x1x2(此时 b24ac0)，则可根据“大于号取_，小于号取_”求解集 (4)一元二次不等式的解 函数、 方程与不等式 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根x1,x2(x1x2) 有两相等实根 x1x2 b2a 无实根 ax2bxc0 (a0)的解集 R ax2bxc

36、0 (a0)的解集 x|x1xx2 4分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型方法： 移项， 通分，右边化为 0，左边化为f（x）g（x）的形式 (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x）g（x）0 f(x)g(x)0； f（x）g（x）0 f(x)g(x)0； f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0； f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0 自查自纠： 1(1)同解不等式 (2)同解变形 2x|xba x|xba a0，b0 3(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)x|xx1或xx2 xxb2a (2016梧州模拟)不等式2x11 的解集是

37、 ( ) A(，1)(1，) B(1，) C(，1) D(1，1) 解：因为2x11，所以2x110，即1xx10，所以 x1故选 A (2016青海模拟)不等式(a2)x22(a2)x40，对一切 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(，2 B(2，2 C(2，2) D(，2) 解： 当 a2 时， 有a20，0， 所以2a2当a2 时， 原式化为40， 恒成立所以20 的解集为x|3x0 的解集为 ( ) Ax|12x13 Bx|x13 Cx|3x2 Dx|x2 解：由题意得5a32，ba3（2），解得 a 1，b6，所以不等式 bx25xa0 为6x25x10，即(3x1)

38、 (2x1)0，所以解集为x|12x0(a0)的解集为(，x1)(x2，)，且 x2x15 2，则 a_ 解法一：由题意得，x1x2a ，x1x2 6a2 ，24可得(x2x1)225a2，又 x2x15 2， 所以 25a250， 解得 a 2， 因为 a0(a0，因为 a3a，所以解不等式得 x2a 或 x0，0，x2，x1x2，x1x2) (1)解下列不等式 ()x22x30； ()x22x20 解：()不等式两边同乘以1，原不等式可化为 x22x30 方程 x22x30 的解为 x13，x21 而 yx22x3 的图象开口向上，可得原不等式x22x30 的解集是x|3x1 ()因为 0

39、， 所以方程 x22x20 无实数解，而 yx22x2 的图象开口向上，可得原不等式 x22x20 的解集为 R (2)若关于x的不等式ax2x2a0，0，即a0，18a20，解得 a24，即 a的取值范围是24，故填 24， 类型二类型二 二次不等式、二次函数二次不等式、二次函数及二次方程的关系及二次方程的关系 (1)已知不等式 ax2bx20 的解集为x|1x2，则不等式 2x2bxa0 的解集为 ( ) Ax|x12 Bx|1x12 Cx|2x1 Dx|x1 解：由题意知 x1，x2 是方程 ax2bx 20 的两根，且 a0 由韦达定理得12ba，（1）22aa1，b1 所以不等式 2

40、x2bxa0，即 2x2x10 解得1x12故选 B 点 拨： 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负 (2)已知函数 f(x)ax2(b8)xaab，当x(，3)(2，)时，f(x)0 ()求 f(x)在0，1内的值域； ()若 ax2bxc0 的解集为 R， 求实数 c 的取值范围 解：()依题意知，3，2 是方程 ax2(b8)x a ab 0的 两 根 ， 且a4 的解集为x|xb ()求 a，b； ()解不等式 ax2(acb)xbc4 的解集为x|xb，所以 x11 与 x2b

41、是方程 ax23x20 的两个实数根， 且 b1由根与系数的关系，得 1b3a，1b2a 解得a1，b2 ()不等式 ax2(acb)xbc0， 即 x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2 时，不等式的解集为x|2xc； 当 c2 时，不等式的解集为x|cx2； 当 c2 时，不等式的解集为 (2)(2018江苏模拟)已知函数 f(x)x2axb(bR)的值域为0， )， 若关于 x 的不等式 f(x)c的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_ 解：由题意知 f(x)x2axbxa22ba24 因为 f(x)的值域为0，)， 所以 ba240，即 ba24，所以 f(x)xa22 又因为

42、 f(x)c，所以xa220， 则a2 cxa2 c 所以a2 cm， a2 cm6 得 2 c6，所以 c9 另解：由题意知 f(x)x2axa24 又 f(x)c 的解集为(m，m6)， 所以方程 f(x)c0 即 x2axa24c0 的两根 x1m，x2m6，则 |x1 x2| 6 （x1x2）24x1x2（a）24a24c ， 解得 c9故填 9 类型三类型三 分式不等式的解法分式不等式的解法 解下列不等式 (1)x12x11 解：(1)原不等式可化为(x1)(2x1)0， 所以1x12， 故原不等式的解集为x|1x12 (2) 原 不 等 式 可 化 为x13x5 0 ， 所 以（x

43、1）（3x5）0，3x50， 所以53x1，x53，即53x1 故原不等式的解集为x|530 ， 即x1（x2）x20， 所以3x20，则 x2 故原不等式的解集为x|x0 x|1xe或x12， 故AB 1，12故选 B 类型四类型四 和一元二次不等式有关和一元二次不等式有关的恒成立问题的恒成立问题 设函数 f(x)mx2mx1 (1)若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求 m的取值范围 解：(1)若 m0，显然10 恒成立； 若 m0，则m0，m24m04m0 所以 m 的取值范围为(4，0 (2)方法一：要使 x1，3时

44、，f(x)m5 恒成立， 需 mx12234m60，x1，3 令 g(x)mx12234m6，x1，3 则需 g(x)max0 时， g(x)在1， 3上是增函数， 所以 g(x)maxg(3)7m6，所以 7m60，解得 m67，所以0m67 当 m0 时，60 恒成立 当 m0 时， g(x)在1， 3上是减函数所以 g(x)maxg(1)m60，解得 m6，所以 m0 综上所述，m 的取值范围为，67 方法二：f(x)m5 恒成立，即 m(x2x1)60， 所以m6x2x1，在 x1，3上恒成立又函数 y6x2x16x12234在1，3上的最小值为67，所以只需 m0 的解集是全体实数(

45、或恒成立)的条件是：当 a0 时，b0，c0；当 a0时，a0，0； 不等式 ax2bxc0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a0 时，b0，c0；当 a0时，a0，0 恒成立，只需 0，即(a4)24(52a)0，解得2a0，x24x31，即1x3，x2，故函数 f(x)的定义域为(1，2)(2，3)故选 D 2关于 x 的不等式 x2px20 的解集是(，1)12， ，则 a 的值为 ( ) A1 B12 C1 D2 解：由题意得 a0，且不等式等价于 a(x1)x1a0，由解集的特点可得 a0 且1a12，故 a2故选 D 4(2018福建模拟)若集合 Ax|ax2ax10，a

46、24a0，得 0a4，所以实数 a 的取值范围是0，4故选 D 5不等式(2x1)(1|x|)1 或 x1 或1x12 C1x12 Dx12 解：原不等式等价于2x10，1|x|0或2x10 所以x12，x1或x1或x12，1x1 或1x12故选 B 6(2018重庆模拟)关于 x 的不等式 x2 2ax8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2x115，则 a ( ) A52 B72 C154 D152 解：由条件知 x1，x2为方程 x22ax8a2 (x2a)(x4a)0 的两根，则 x12a，x24a，4a2a15，得 a52故选 A 7(2018青岛模拟)不等式 2x23|x|350

47、的解集为_ 解：2x23|x|3502|x|23|x|350(|x|5)(2|x|7)0|x|5或|x|5或x5故填x|x5 8关于 x 的不等式4xmx22x30，所以原不等式即 4xm2(x22x3)恒成立，所以 m2x28x 6 恒成 立，设 f(x) 2x2 8x 6 ，则需mf(x)min而 f(x)2x28x62(x2)22，所以f(x)min2，所以 m0 的解集是x|12xa5 的解集 解：(1)依题意知，a3， 即12xx130， 整理得（x2）x10，即(x1)(x2)0，解得2x1故不等式的解集为x|2x1 10( 2018池州模拟 ) 已 知 函 数f(x) ax22a

48、x1的定义域为 R (1)求 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)的最小值为22，解关于 x 的不等式 x2xa2a0，（2a）24a0，解得00，所以当 x1 时，f(x)min 1a， 由题意，得 1a22，所以 a12 所以 x2x122120，即(2x1)(2x3)0，解得12x1(aR) 解：(1)由题意，a0，则 f(x)ax12a214a24a当 a0 时，不符合题意；当 a1， 即 ax2xa1， (x1)(axa1)0， 当 a0 时，解集为x|x1； 当 a0 时，(x1)x11a0， 解集为x|x1或x11a； 当 a12时，(x1)20，解集为； 当12a0 时，(

49、x1)x11a0， 解集为x|1x11a； 当 a12时，(x1)x11a0， 解集为x|11ax0 的解集为(1，t)，记函数 f(x)ax2(ab)xc (1)求证：函数 yf(x)必有两个不同的零点； (2)若函数 yf(x)的两个零点分别为 m， n， 求|mn|的取值范围 解：(1)证明：由题意知 a0，abc0，且b2a1，所以 ca0，所以 ac0，所以对于函数f(x)ax2(ab)xc 有 (ab)24ac0，所以函数 yf(x)必有两个不同零点 (2)|mn|2(mn)24mn（ba）24aca2（2ac）24aca2ca28ca4， 由不等式 ax2bxc0 的解集为(1，t)可知，方程 ax2bxc0 的两个解分别为 1 和 t(t1)，由根与系数的关系知cat，所以|mn|2t28t4，t(1，) 所以|mn| 13， 所以|mn|的取值范围为( 13，)