2022届高三数学一轮复习（原卷版）2．2　函数的单调性与最大(小)值.doc

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1、22 函数的单调性与最大函数的单调性与最大(小小)值值 1函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的_自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是_ 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是_ (2)单调性与单调区间 如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的) _ ， 区 间D叫 做y f(x) 的_

2、2函数的最值 (1)最大值 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： 对于任意的 xI，都有_； 存在 x0I，使得_ 那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最大值 (2)最小值 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 N 满足： 对于任意的 xI，都有_； 存在 x0I，使得_ 那么我们称 N 是函数 yf(x)的最小值 自查自纠： 1(1)任意两个 增函数 任意两个 减函数 (2)单调性 单调区间 2(1)f(x)M f(x0)M (2)f(x)N f(x0)N (2016 北京)下列函数中，在区间(1，1)上为减函数的是 ( ) Ay11x By

3、cosx Cyln(x1) Dy2x 解： 选项A中函数y11x1x1在区间(1，1)上是增函数；选项 B 中函数 ycosx 在区间(1，0)上是增函数，在区间(0，1)上是减函数；选项 C 中函数 yln(x1)在区间(1，1)上是增函数；选项 D中函数 y2x12x在区间(1，1)上是减函数故选 D. (2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是 ( ) A(，2) B(，1) C(1，) D(4，) 解：函数有意义，则 x22x80，解得 x4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4，)故选 D. 已知 f(x)为

4、R 上的减函数，则满足 f1xf(1)的实数 x 的取值范围是 ( ) A(，1) B(1，) C(，0)(0，1) D(，0)(1，) 解： 由题意知，1x0， 所以 x1.故选 D. (2018福建龙岩模拟)函数 f(x)13xlog2(x4)在区间2，2上的最大值为_ 解：函数 f(x)在区间2，2上单调递减，则函数的最大值为 f(2)132log2(24)918.故填 8. 函数 f(x)x24x，x4，log2x，x4，若函数 yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数 a 的取值范围为_ 解：如图，画出函数 yf(x)的图象，若使函数在区间(a，a1)上单调递增，则 a12 或

5、 a4，解得实数 a 的取值范围是(，14，)故填(，14，) 类型一类型一 确定函数的单调性与单确定函数的单调性与单调区间调区间 (1)已知函数 f(x) x22x3，则该函数的单调递增区间为 ( ) A(，1 B3，) C(，1 D1，) 解：设 t(x)x22x3，由 t(x)0，即 x2 2x30，解得 x1 或 x3，所以函数 f(x)的定义域为(，13，)因为函数 t(x)x22x3 的图象的对称轴为 x1， 所以函数 t(x)在(，1上单调递减，在3，)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为3，)故选 B. (2)函数 ylog12(x23x2)的单调递增区间是 ( ) A

6、(，1) B(2，) C.，32 D.32， 解：由 x23x20，解得 x2，因此函数 ylog12(x23x2)的定义域为(，1)(2， )令 ux23x2，ylog12u(u0)，由于内层函数 ux23x2 在 x(，1)上单调递减，外层函数 ylog12u 在 u(0，)上单调递减，由复合函数单调性可知，函数 ylog12(x23x2)的单调递增区间是(，1)故选 A. (3)函数 f(x)(3x2)ex的单调递增区间是( ) A(，0) B(0，) C(，3) D(3，1) 解：f(x)2xex(3x2)ex(x22x3)ex，由于 ex0，令 f(x)0，则有 x22x30，解得

7、3x1，故函数 f(x)的单调递增区间为(3，1)故选 D. (4)求函数 f(x)|x24x3|的单调区间 解：先作出函数 yx24x3 的图象，由于绝对值的作用，把图象在 x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数 y|x24x3|的图象，如图所示 由图可知 f(x)在(，1和2，3上为减函数，在1，2和3，)上为增函数，故 f(x)的单调递增区间为1，2，3，)，单调递减区间为(，1，2，3 (5)已知函数 f(x) x21ax.证明： 当 a1 时，函数 f(x)在区间0，)上为单调减函数 证明：任取 x1，x20，)，且 x1x2， f(x1)f(x2) x211ax1 x221ax2 x

8、211 x221a(x1x2) x21x22x211 x221a(x1x2) (x1x2)x1x2x211 x221a. 因为 0 x1 x211，0 x2 x221， 所以 0 x1x2x211 x2210， 即函数 f(x)在0，)上为单调减函数 点 拨： 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间， 如例 1(1)函数单调性的判断方法主要有：定义法，图象法，利用已知函数的单调性，导数法等复合函数 yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则 (1)已知函数 f(x)2x1x1，则 f(x)( ) A在(，0)上单调递增

9、B在(0，)上单调递增 C在(，0)上单调递减 D在(0，)上单调递减 解法一：因为 f(x)2x1x12（x1）3x123x1，函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)，且在(，1)及(1，)上均单调递增，又(0，)(1，)，故函数 f(x)在(0，)上单调递增 解法二： 函数 f(x)的定义域为(， 1)(1，)， f(x)3（x1）20 在定义域上恒成立， 又(0，)(1，)，因此函数 f(x)在(0，)上单调递增故选 B. (2)(2017洛阳二模)函数 yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数 g(x)f(logax)(0a1)的单调递减区间是 ( ) A.0，12 B a，1 C(

10、，0)12， D a， a1 解：由图象可知，函数 yf(x)的单调递减区间为(，0)和12， ，单调递增区间为0，12.因为 0a1，所以函数 ylogax 在定义域内单调递减由题意可知，0logax12，解得 ax1，即所求单调递减区间为 a，1故选 B. (3)函数 f(x)sinxx 的单调递减区间是 ( ) A(，0) B(1，) C(，) D.，2 解：f(x)sinxx，f(x)cosx10，即函数f(x)在 R 上是减函数故选 C. (4)求函数 f(x)x22|x|3 的单调区间 解： 因为 f(x)x22x3，x0，x22x3，x0， 其图象如图所示， 所以函数 yf(x)

11、的单调递增区间为(，1和0，1，单调递减区间为1，0和1，) (5)试讨论函数 f(x)axx1(a0)在(1，1)上的单调性 解法一：设1x1x21， f(x)ax11x1a11x1， f(x1) f(x2) a11x11 a11x21a（x2x1）（x11）（x21）， 由于1x1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递减； 当 a0 时， f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1，1)上单调递减； 当 a0，函数 f(x)在(1，1)上单调递增 类型二类型二 函数单调性的应用

12、函数单调性的应用 (1)(2017江西三校一联)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足：对任意的 x1，x2(，0)(x1x2)，都有f（x1）f（x2）x1x20.则下列结论正确的是( ) Af(0.32)f(20.3)f(log25) Bf(log25)f(20.3)f(0.32) Cf(log25)f(0.32)f(20.3) Df(0.32)f(log25)f(20.3) 解：由题意可知，f(x)在(，0)上是减函数，又因为 f(x)是 R 上的偶函数，所以 f(x)在(0，)上是 增 函 数 ， 因 为 00.32120.32log25 ， 所 以f(0.32)f(20.3)f(log

13、25)故选 A. (2)已知函数 f(x)x24x，x0，4xx2，xf(a)，则实数 a 的取值范围是( ) A(，1)(2，) B(1，2) C(2，1) D(，2)(1，) 解：f(x)x24x（x2）24，x0，4xx2（x2）24，xf(a)得 2a2a，即 a2a20，解得2a0 且 a1，若函数f(x)logaax2(2a)x3在13，2 上是增函数，则a 的取值范围是_ 解：由复合函数单调性可知 当 a1 时，2a2a13，19a2a330，解得 a65； 当 0a0，解得 16a25. 所以 a 的取值范围是16，2565， . 故填 16，25 65， . 点 拨： 例 2

14、(1)中的f（x1）f（x2）x1x20的 x 的集合为_ 解： 由题意知 f120， f120， 由 f(log19x)0，得 log19x12或12log19x0，解得 0 x13或 1x3.故填x|0 x13或1x0 时，恒有 f(x)1. (1)求证：f(x)在 R 上是增函数； (2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)2. 解： (1)证明： 设 x1， x2R 且 x10，因为当 x0 时，f(x)1，所以 f(x2x1)1. f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)10，即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在 R

15、上是增函数 (2)因为 m，nR，不妨设 mn1， 所以 f(11)f(1)f(1)1，即 f(2)2f(1)1， 又 f(3)4，所以 f(21)f(2)f(1)1 3f(1)24，得 f(1)2，所以 f(a2a5)2f(1) 又因为 f(x)在 R 上为增函数， 所以 a2a51，解得3a0 且 a1)； f(xy)f(x)f(y)，原型为 f(x)logax(a0 且 a1)；f(xy)f(xy)2f(x)f(y)(f(0)0)，原型为 f(x)cosx，等等 f(x)的定义域为(0，)，且对一切 x0，y0 都有 fxyf(x)f(y)，当 x1 时，有 f(x)0. (1)求 f(

16、1)的值； (2)判断 f(x)的单调性并证明； (3)若 f(6)1，解不等式 f(x5)f1x2. 解：(1)f(1)fxxf(x)f(x)0，x0. (2)f(x)在(0，)上是增函数 证明：设 0 x1x2，则由 fxyf(x)f(y)，得 f(x2)f(x1)fx2x1，因为x2x11，所以 fx2x10. 所以 f(x2)f(x1)0，即 f(x)在(0，)上是增函数 (3)因为 f(6)f366f(36)f(6)，又 f(6)1， 所以 f(36)2，原不等式化为：f(x25x)f(36)， 又因为 f(x)在(0，)上是增函数， 所以x50，1x0，x25x36， 解得 0 x

17、4. 1证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法注意单调性定义还有如下的两种等价形式： 设 x1，x2(a，b)，且 x1x2，那么 (1)f（x1）f（x2）x1x20f(x)在(a，b)内是增函数； f（x1）f（x2）x1x20f(x)在(a，b)内是减函数 上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率恒大于(或小于)零 (2)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在(a，b)内是增函数； (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在(a， b)内是减函数 2函数单调性的判断 (1)常

18、用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法 (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数 (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性 (4)复合函数的单调性：如果 yf(u)和 ug(x)的单调性相同， 那么 yf(g(x)是增函数； 如果 yf(u)和ug(x)的单调性相反， 那么yf(g(x)是减函数在应用这一结论时，必须注意：函数 ug(x)的值域必须是 yf(u)的单调区间的子集 (5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次

19、函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程 3函数最值的重要结论 (1)设 f(x)在某个集合 D 上有最小值，m 为常数，则 f(x)m 在 D 上恒成立的充要条件是 f(x)minm. (2)设 f(x)在某个集合 D 上有最大值，m 为常数，则 f(x)m 在 D 上恒成立的充要条件是 f(x)maxm. 4自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系可正逆互推，即若 f(x)是增(减)函数，则 f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号 f”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义

20、域内或给定的范围内进行 1(2018河北衡水调研)下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( ) Af(x)x2sinx Bf(x)x|x1| Cf(x)lg1x1x Df(x)xx 解：A 选项中，函数为奇函数，但由 f(x)0，得 x0 或 sinx0，即 xk，kZ，所以该函数有无穷多个零点，故不单调；B 选项中，函数满足 f(1)0， f(1)2， 故既不是奇函数也不是增函数； C 选项中，函数定义域是(1，1)，并且 f(x) f(x)lg1x1xlg1x1x0，所以函数是奇函数，设g(x)1x1x12x1， 所以函数 g(x)是增函数， 由复合函数单调性知，函数 f(x)lg

21、1x1x是增函数；D选项中，函数是奇函数且是减函数故选 C. 2(2018广东茂名二模)设函数 f(x)在 R 上为增函数， 则下列结论一定正确的是 ( ) Ay1f（x）在 R 上为减函数 By|f(x)|在 R 上为增函数 Cy2f(x)在 R 上为减函数 Dyf(x)3在 R 上为增函数 解：A 错，比如 f(x)x 在 R 上为增函数，但 y1f（x）1x在 R 上不具有单调性；B 错，比如 f(x)x 在 R 上为增函数，但 y|f(x)|x|在(0，)上为增函数，在(，0)上为减函数；由复合函数的单调性可知，C 正确，D 错故选 C. 3设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，

22、则 f(x)( ) A在(1，1)上是增函数 B在(1，1)上是减函数 C在(1，0)上是减函数，在(0，1)上是增函数 D在(1，0)上是增函数，在(0，1)上是减函数 解 ： f(x) ln(1 x) ln(1 x) ln1x1xln21x1，x(1，1)因为 t21x1 在(1，1)上单调递增，ylnt 在(0，)上单调递增，所以yf(x)在(1，1)上是增函数故选 A. 4若函数 yax 与 ybx在(0，)上都是减函数，则 yax2bx 在(0，)上是 ( ) A增函数 B减函数 C先增后减函数 D先减后增函数 解：由 yax 在(0，)上是减函数，知 a0；由 ybx在(0，)上是

23、减函数，知 b0.所以 y ax2bx 的对称轴方程为 xb2a0.又因为 yax2bx 的图象是开口向下的抛物线，所以 yax2bx 在(0，)上是减函数故选 B. 5(2016太原模拟)已知函数 f(x)xex1ex，若 f(x1)x2 Bx1x20 Cx1x2 Dx210 时， f(x)0，所以 f(x)在0，)上为增函数由f(x1)f(x2)，得 f(|x1|)f(|x2|)，所以|x1|x2|，所以 x21x22.故选 D. 6(2017湖北枣阳模拟)已知函数 f(x)x22axa 在区间(，1)上有最小值，则函数 g(x)f（x）x在区间(1，)上一定 ( ) A有最小值 B有最大

24、值 C是减函数 D是增函数 解：因为函数 f(x)x22axa 在区间(，1)上有最小值，所以对称轴 xa1.又 g(x)f（x）x xax2a，若 a0，则 g(x)xax2a 在(1，)上单调递增若 0a0，设函数 f(x)2 020 x12 0102 020 x1(xa，a)的最大值为 M，最小值为 N，那么 MN_. 解：由题意得 f(x)2 020 x12 0102 020 x12 020102 020 x1.因为 y2 020 x1 在a，a上单调递增，所以 f(x)2 020102 020 x1在a，a上是单调递增的， 所以 Mf(a)， Nf(a)， 所以 MNf(a)f(a)

25、4 040102 020a1102 020a14 030.故填 4 030. 9(2017济南期中)已知函数 f(x)x2ax，若函数 f(x)在 x2，)上是单调递增的，求实数 a的取值范围 解：因为函数 f(x)x2ax在 x2，)上单调递增， 所以 f(x)2xax22x3ax20 在 x2，)上恒成立，所以 2x3a0， 即 a2x3在 x2，)上恒成立， 所以 a22316， 所以实数 a 的取值范围为(，16 10f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足 f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当 f(x)f(x8)2 时，求 x 的取值范围 解：211f(3)f(3)f(9)

26、，由 f(x)f(x8)2，可得 fx(x8)f(9)，因为 f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0，x80，x（x8）9， 解得80 成立 (1)判断 f(x)在1，1上的单调性，并证明； (2)解不等式：fx12f1x1； (3)若当 a1，1时，f(x)m22am3 对所有的 x1，1恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)f(x)在1，1上单调递增，证明如下： 任取 x1，x21，1，且 x10，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在1，1上单调递增 (2)因为 f(x)在1，1上单调递增， 所以x121x1，1x121，11

27、x11，解得32x1， 所以不等式的解集为x|32x1 . (3)因为 f(1)3，f(x)在1，1上单调递增， 所以对所有的 x1，1，f(x)3， 问题转化为 m22am33， 即 m22am0 对a1，1恒成立，求实数 m 的取值范围 令 g(a)2m am20， 若 m0，则 g(a)00，显然对 a1，1恒成立 若 m0，则 g(a)为 a 的一次函数， 若 g(a)0 对 a1，1恒成立， 则须满足 g(1)0 且 g(1)0， 解得 m2 或 m2. 所以 m 的取值范围为(，202， ) 函数 f(x)的定义域为 D，若对于任意 x1，x2D，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，则称函数 f(x)在 D 上为非减函数设函数 f(x)在0，1上为非减函数，且满足以下三个条件： f(0)0； fx312f(x)； f(1x)1f(x) 则 f13f18等于 ( ) A.12 B.23 C.34 D1 解：由，令 x0，可得 f(1)1.由，令 x1， 可得 f1312f(1)12.令 x13， 可得 f1912f1314.由结合 f1312， 可知 f2312.令 x23， 可得 f2912f2314.因为191829且函数 f(x)在0， 1上为非减函数，所以 f1814.所以 f13f1834.故选 C.