2022届高三数学一轮复习（原卷版）5．2　平面向量的基本定理及坐标表示.doc

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1、 1 52 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2， 使_ 我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_ 2向量的夹角 (1)已知两个_向量 a 和 b，作OAa， OBb， 则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图) (2)向量夹角 的范围是_a与 b 同向时，夹角 _；a 与 b 反向时，夹角 _ (3)如果向量 a 与 b 的夹角是_，我们就说 a 与 b 垂直，记作_ 3平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正

2、交分解 把一个向量分解为两个_的向量，叫做向量的正交分解 (2)在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底任作一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y，使得 axiyj则实数对_叫做向量 a 的(直角)坐标，记作 a_，其中 x叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示与 a 相等的向量的坐标也 为 _显 然 ， i _ ， j _，0_ 4平面向量的坐标运算 (1)已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a b_ (2) 如 果 A(x1， y1) ， B(x2， y2) ， 则

3、AB_ (3)若 a(x，y)，则 a_ (4)如果 a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)， 则 ab的充要条件是_ 自查自纠： 1a1e12e2 基底 2(1)非零 (2)0180 0 180 (3)90 ab 3(1)互相垂直 (2)(x， y) (x， y) (x， y) (1，0) (0，1) (0，0) 4(1)(x1x2，y1y2) (2)(x2x1，y2y1) (3)(x，y) (4)x1y2x2y10 在ABC 中，已知 A(2，1)，B(0，2)，BC(1，2)，则向量AC ( ) A(0，0) B(2，2) C(1，1) D(3，3) 解：因为 A(2，1)，B(0，

4、2)，所以AB(2，1)又因为BC(1， 2)， 所以ACABBC(2，1)(1，2)(1，1)故选 C (2017杭州模拟)已知 e1， e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是 ( ) A e1e2和 e1e2 B 3e12e2和 4e26e1 Ce12e2和 e22e1 De2和 e1e2 解：因为 4e26e12(3e12e2)，所以 3e12e2与 4e26e1共线， 又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底故选 B (2018北京朝阳高三一模)已知平面向量 a(x，1)，b(2，x1)且 ab，则实数 x 的值是 ( ) A1

5、B1 C2 D1 或 2 解：由 a(x，1)，b(2，x1)且 ab，可以得到 x(x1)2，即(x2)(x1)0，所以 x1或 x2故选 D (2017全国卷)已知向量 a(2，3)， b(3，m)，且 ab，则 m_ 解：由题意可得，233m0，所以 m 2 2故填 2 在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD的中点，若ACAMBN，则实数 _ 解法一：因为ACABBC，AMABBMAB12BC，BNBCCNBC12AB，所以由ACAMBN有112，112，解得65，25，所以 85 解法二：不妨设正方形边长为 2，以 A 为坐标原点， AB方向为 x 轴正方向， AD方向为

6、y 轴正方向建立平面直角坐标系，则AC(2，2)，AM(2，1)，BN(1，2) 由ACAMBN有22，22，解得 65，25，85故填85 类型一类型一 向量共线充要条件的坐向量共线充要条件的坐标表示标表示 (1)(2018全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，)，若 c(2ab)，则 _ 解： 由题可得 2ab(4， 2)， 因为 c(2ab)，c(1，)，所以 420，即 12故填12 (2)已知平面向量 a(2m1，3)，b(2，m)，且 a 与 b 反向，则|b|等于( ) A10 27 B2 2 C52 D52或 2 2 解：根据题意 ab 知 m(2m1)320，

7、解得 m2 或 m32当 m32时，a(4，3)，b2，32，则 a2b，此时两向量同向，与已知不符，故 m2， 此时 b(2， 2)， 故|b|2 2故选 B 点 拨： 两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(b0)的充要条件是 x1y2x2y10；ab(a0)，当且仅当唯一一个实数 ，使 ba向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时， 也可以利用坐标对应成比例来求解 (1) (2017郑州月考)已知向量 a (1sin，1)，b12，1sin ，若 ab，则锐角 _ 解：由 ab，得(1sin)(1sin)

8、12， 所以 cos212，所以 cos22或 cos22， 又 为锐角，所以 45故填 45 (2)已知向量OA(1，3)，OB(2，1)， OC(k1， k2)， 若 A， B， C 三点能构成三角形，则实数 k 的取值范围是_ 解：若点 A，B，C 能构成三角形，则向量AB，AC不共线 因为ABOBOA(2，1)(1，3)(1，2)， ACOCOA(k1，k2)(1，3)(k，k1)， 所以 1(k1)2k0，解得 k1 故填k|kR，且 k1 3 类型二类型二 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用 (1)如图，已知平面内有三个向量OA，OB， OC， 其中OA与OB的夹角为

9、 120， OA与OC的夹角为 30，且|OA|OB|1，|OC|2 3，若 OCOAOB(， R)， 则的值为_ 解法一：以 OA和 OB为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则OCOB1OA1 因为OA与OB的夹角为 120， OA与OC的夹角为 30， 所以B1OC90，在 RtOB1C 中，|OC|2 3， 所以|OB1|2，|B1C|4，所以|OA1|B1C|4， 所以OC4OA2OB，即 6 解法二：以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(1，0)，C(2 3cos30，2 3sin30)，B(cos120，sin120) 即 A(1，0)，C(3， 3)，B12，

10、32 由OCOAOB(1，0)12，3212，32 ，即12，32 (3， 3)， 得123，32 3， 所以2，4， 即 6故填 6 (2)已知向量AC，AD和AB在正方形网格中的位置如图所示， 若ACABAD， 则 _ 解：建立如图所示的平面直角坐标系 xAy，则 AC(2，2)，AB(1，2)，AD(1，0) 由题意可知(2，2)(1，2)(1，0)，即2，22， 解得1，3， 所以 3故填 3 点 拨： 应用平面向量基本定理应注意：平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；强调几何性质在向量

11、运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便 (1)设向量 a，b 不平行，向量 ab与 a2b 平行，则实数 _ 解：由于 ab 与 a2b 平行，且 a2b0， 4 所以存在唯一的实数 R， 使得 ab(a2b)，即()a(12)b0因为 a，b 不平行，所以0，120， 解得 12故填12 (2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若 cab(，R)，则_ 解：设 i，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则 aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，即i3j(6)i ( 2)

12、j ， 根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 得16，32， 解得2，12 所以4故填4 类型三类型三 求向量的坐标求向量的坐标 已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且DC2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点 D 的坐标为_ 解：因为在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABCD，所以DC2AB设点 D 的坐标为(x，y)， 则DC(4，2)(x，y)(4x，2y)， AB(2，1)(1，2)(1，1)， 所以(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)， 所以4x2，2y2， 解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2，4) 故填(2，4) 点 拨： 平面向量

13、坐标运算的技巧：向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解 已知三点 A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中 a0，b0 (1)若 O 是坐标原点， 且四边形 OACB 是平行四边形，试求 a，b 的值； (2)若 A，B，C 三点共线，试求1a1b的值 解：(1)因为四边形 OACB 是平行四边形， 所以OABC，即(a，0)(2，2b)， a2，2b0， 解得a2，b2 故 a2，b2 (2)因为AB(a，b)，BC(2，2b)， 由 A，B，C 三点共

14、线，得ABBC， 所以a(2b)2b0，即 2(ab)ab， 因为 a0，b0， 所以1a1b12 类型四类型四 向量坐标的应用向量坐标的应用 (2018天津)如图，在平面四边形ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1若点 E 为边 CD 上的动点，则AEBE的最小值为 ( ) A2116 B32 C2516 D3 解法一：以点 A 为原点，以 AB 所在的直线为x 轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，依题意 5 得， A(0， 0)， B(1， 0)因为 AD1， BAD120，所以 D12，32，且直线 CD 的倾斜角为 30，所以直线CD的方程为y3233x12，

15、即y33(x2) 由y33（x2），x1，得x1，y 3，所以点 C 的坐标为(1， 3) 因 为 点 E 为 边 CD 上 的 动 点 ， 故 可 设Et，33（t2） ，12t1， 所 以 AEt，33（t2）， BEt1，33（t2） ， 所以AEBEt(t1)33（t2）243t1822116，所以当 t18时，AEBE取最小值，为2116 图(1) 图(2) 解法二：易知 DC 3，CAD60，设 DEx(0 x 3)， 则AE BE(ADDE) (BAADDE)11cos60120 x1cos1500 x2x34221162116 解法三：如图(2)，取 AB 的中点 F，连接 E

16、F，则AEBEEAEB(EFFA) (EFFA)EF2 FA2EF214可知当且仅当|EF|最小时AEBE取最小值， 分别过 F， B 作 CD 的垂线， 垂足分别为 H，G，当点 E 与 H 重合时，EF 取到最小值，易知 EF为梯形 DABG 的中位线，由已知得|BG|32，|AD|1，则|HF|EF|12(|BG|AD|)54故AEBE的最小值为2116故选 A 点 拨： 向量的坐标运算，往往能降低推理的难度，与向量相关的最值、范围问题，可优先考虑坐标运算用向量法解决平面几何相关问题的步骤是：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量

17、运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系，从而解决问题 (2017安徽联考)在边长为 1 的正ABC 中，D，E 是边 BC 的两个三等分点(D 靠近点 B)，则ADAE等于 ( ) A16 B29 C1318 D13 解法一：建立如图所示的直角坐标系，则A0，32，D16，0 ，E16，0 ，所以AD16，32， AE16，32， AD AE161632321318 解法二：取 BC 中点 O，则ADAE(AOOD) (AOOE)AO2OE2341361318 解法三：如图，|AB|AC|1， AB，AC60 因为 D，E 是边 BC 的两个三等分

18、点， 6 所以ADAEAB13BCAC13CBABAC13ABBC13BCAC19BC211 cos60 13 1 1 cos120 13 1 1 cos6019121616191318故选 C 1对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础 (2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组 (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a1e12e2(1，2R，e1，e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式， 它是向量线性运算知识的延伸 (4)如果 e1， e2是同一平面内的一组基

19、底， 且 1e12e20(1，2R)，那么 120 2对两向量夹角的理解 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角若起点不同，则应通过平移，使其起点相同 3向量的坐标表示 向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标两个向量相等，当且仅当其坐标相同 4向量坐标的应用 向量具有代数和几何的双重特征，如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运

20、算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷 1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 ( ) Aa(1，2)，b(0，0) Ba(1，2)，b(3，5) Ca(3，2)，b(9，6) Da34，12， b(3，2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底故选 B 2设向量 a(2，4)与向量 b(x，6)共线，则实数 x ( ) A2 B3 C4 D6 解： 因为 ab， 所以 264x0， 解得x3故选 B 3(2017

21、抚州模拟)若向量 a(1， 1)， b(1，1)，c(4，2)，则 c ( ) A3ab B3ab Ca3b Da3b 解法一：设 cmanb，则(4，2)(mn， mn)，所以mn4，mn2， 所以m3，n1， 所以 c3ab 解法二：代入验证法对于 A，3ab3(1，1)(1，1)(2，4)c，故 A 不正确；同理选项C、D 也不正确；对于 B，3ab(4，2)c，故 B正确故选 B 4已知 M(3， 2)， N(5， 1)， 且MP12MN，则 P 点的坐标为 ( ) A(8，1) B1，32 C1，32 D(8，1) 解：设 P(x，y)，则MP(x3，y2)， 而12MN12(8，1

22、)4，12， 所以x34，y212， 解得x1，y32 所以 P 点坐标为1，32故选 B 5如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a，b 如图，则向量 ab 可表示为 ( ) 7 A3e2e1 B2e14e2 Ce13e2 D3e1e2 解：由图易知 ab3e2e1e13e2故选C 6(2018 浙江)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量 a 与 e 的夹角为3，向量 b满足 b24e b30，则|ab|的最小值是( ) A 31 B 31 C2 D2 3 解： 不妨设 e(1， 0)， b(x， y)， 则由 b24e b30(x2)2y21，再由 a 与 e 的夹

23、角为3可知， 所求为如图两条射线上的点到圆上的点距离的最小值，即为 2sin601 31故选 A 7已知向量 e1，e2是两个不共线的向量，若 a2e1e2与 be1e2共线，则 _ 解：若 a2e1e2与 be1e2共线，则 2e1e2k(e1e2)ke1ke2， 得k2，k1， 解得12故填12 8(2018山东菏泽高三一模)已知在ABC中，D 为边 BC 上的点，且 BD3DC，点 E 为 AD的中点，BEmABnAC，则 mn_ 解：BEBDDEBD12ADBD12(ABBD)12BD12AB1234BC12AB38BC12AB38(ACAB)12AB78AB38AC 又BEmABnA

24、C，所以 mABnAC78AB38AC又因为AB与AC不共线，所以 m78，n38，所以 mn12故填12 9已知 a(1，0)，b(2，1)求： (1)|a3b|； (2)当 k 为何实数时，kab 与 a3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为 a(1，0)，b(2，1)， 所以 a3b(7，3)， 故|a3b|7232 58 (2)kab(k2，1)，a3b(7，3)， 因为 kab 与 a3b 平行， 所以 3(k2)70，即 k13 此时 kab(k2，1)73，1 ， a3b(7，3)，则 a3b3(kab)， 即此时向量 a3b 与 kab 方向相反 10已知点 O

25、(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OPOAtAB，试问： (1)当 t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P在第三象限内？ (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由 解：(1)依题意，得AB(3，3)， 所以OPOAtAB(13t，23t)，即 P(13t，23t) 若 P 在 x 轴上，则 23t0，所以 t23； 若 P 在 y 轴上，则 13t0，所以 t13； 若 P 在第三象限内， 则13t0，23t0， 所以 t23 (2)因为OA(1，2)，PB(33t，33t)， 8 若 OABP 是平行四边形，则OAPB， 所以3

26、3t1，33t2 此方程无解 故四边形 OABP 不可能成为平行四边形 11已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标 解：如图所示，令 A(1，0)，B(3，0)，C(1，5)，D(x，y) (1)若四边形 ABCD1为平行四边形， 则AD1BC， 且AD1(x1，y)，BC(2，5) 所以x12，y5， 解得x3，y5 所以 D1(3，5) (2)若四边形 ACD2B 为平行四边形，则ABCD2， 且AB(4，0)，CD2(x1，y5) 所以x14，y50， 解得x5，y5 所以 D2(5， 5) (3)若四边形 ACBD3为平行四边形，则AD

27、3CB， 且AD3(x1，y)，CB(2，5)， 所以x12，y5， 解得x1，y5 所以 D3(1，5) 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为 (3，5)或(5，5)或(1，5) 如图所示，在ABC 中，点 M 是 AB的中点，且AN12NC，BN 与 CM 相交于点 E，设 ABa， ACb， 用基底a， b表示向量AE_ 解： 易得AN13AC13b， AM12AB12a， 由 N，E，B 三点共线知，存在实数 m，满足AEmAN (1m)AB13mb(1m)a 由 C，E， M 三点共线知存在实数 n， 满足AEnAM(1n)AC12na(1n)b 所以13mb(1m)a12na(1

28、n)b 由于 a，b 为基底，所以1m12n，13m1n， 解得m35，n45 所以AE25a15b故填25a15b 9 52 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2， 使_ 我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_ 2向量的夹角 (1)已知两个_向量 a 和 b，作OAa， OBb， 则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图) (2)向量夹角 的范围是_a与 b 同向时，夹角 _；a 与 b 反向时，夹角 _ (3)如果

29、向量 a 与 b 的夹角是_，我们就说 a 与 b 垂直，记作_ 3平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个_的向量，叫做向量的正交分解 (2)在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底任作一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y，使得 axiyj则实数对_叫做向量 a 的(直角)坐标，记作 a_，其中 x叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示与 a 相等的向量的坐标也 为 _显 然 ， i _ ， j _，0_ 4平面向量的坐标运算 (1)已知 a

30、(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a b_ (2) 如 果 A(x1， y1) ， B(x2， y2) ， 则 AB_ (3)若 a(x，y)，则 a_ (4)如果 a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)， 则 ab的充要条件是_ 自查自纠： 1a1e12e2 基底 2(1)非零 (2)0180 0 180 (3)90 ab 3(1)互相垂直 (2)(x， y) (x， y) (x， y) (1，0) (0，1) (0，0) 4(1)(x1x2，y1y2) (2)(x2x1，y2y1) (3)(x，y) (4)x1y2x2y10 在ABC 中，已知 A(2，1)，B(0，2)，BC(1

31、，2)，则向量AC ( ) A(0，0) B(2，2) C(1，1) D(3，3) 解：因为 A(2，1)，B(0，2)，所以AB(2，1)又因为BC(1， 2)， 所以ACABBC(2，1)(1，2)(1，1)故选 C (2017杭州模拟)已知 e1， e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是 ( ) A e1e2和 e1e2 B 3e12e2和 4e26e1 Ce12e2和 e22e1 De2和 e1e2 解：因为 4e26e12(3e12e2)，所以 3e12e2与 4e26e1共线， 又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底故选 B

32、 (2018北京朝阳高三一模)已知平面向量 a(x，1)，b(2，x1)且 ab，则实数 x 的值是 ( ) A1 B1 C2 D1 或 2 解：由 a(x，1)，b(2，x1)且 ab，可以得到 x(x1)2，即(x2)(x1)0，所以 x1或 x2故选 D (2017全国卷)已知向量 a(2，3)， 10 b(3，m)，且 ab，则 m_ 解：由题意可得，233m0，所以 m2故填 2 在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD的中点，若ACAMBN，则实数 _ 解法一：因为ACABBC，AMABBMAB12BC，BNBCCNBC12AB，所以由ACAMBN有112，112，解得6

33、5，25，所以 85 解法二：不妨设正方形边长为 2，以 A 为坐标原点， AB方向为 x 轴正方向， AD方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系，则AC(2，2)，AM(2，1)，BN(1，2) 由ACAMBN有22，22，解得 65，25，85故填85 类型一类型一 向量共线充要条件的坐向量共线充要条件的坐标表示标表示 (1)(2018全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，)，若 c(2ab)，则 _ 解： 由题可得 2ab(4， 2)， 因为 c(2ab)，c(1，)，所以 420，即 12故填12 (2)已知平面向量 a(2m1，3)，b(2，m)，且 a 与 b 反向

34、，则|b|等于( ) A10 27 B2 2 C52 D52或 2 2 解：根据题意 ab 知 m(2m1)320，解得 m2 或 m32当 m32时，a(4，3)，b2，32，则 a2b，此时两向量同向，与已知不符，故 m2， 此时 b(2， 2)， 故|b|2 2故选 B 点 拨： 两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(b0)的充要条件是 x1y2x2y10；ab(a0)，当且仅当唯一一个实数 ，使 ba向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时， 也可以利用坐标对应成比例来求解 (1) (2017郑州月考

35、)已知向量 a (1sin，1)，b12，1sin ，若 ab，则锐角 _ 解：由 ab，得(1sin)(1sin)12， 所以 cos212，所以 cos22或 cos22， 又 为锐角，所以 45故填 45 (2)已知向量OA(1，3)，OB(2，1)， OC(k1， k2)， 若 A， B， C 三点能构成三角形，则实数 k 的取值范围是_ 解：若点 A，B，C 能构成三角形，则向量AB，AC不共线 因为ABOBOA(2，1)(1，3)(1，2)， ACOCOA(k1，k2)(1，3)(k，k1)， 所以 1(k1)2k0，解得 k1 故填k|kR，且 k1 11 类型二类型二 平面向量

36、基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用 (1)如图，已知平面内有三个向量OA，OB， OC， 其中OA与OB的夹角为 120， OA与OC的夹角为 30，且|OA|OB|1，|OC|2 3，若 OCOAOB(， R)， 则的值为_ 解法一：以 OA和 OB为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则OCOB1OA1 因为OA与OB的夹角为 120， OA与OC的夹角为 30， 所以B1OC90，在 RtOB1C 中，|OC|2 3， 所以|OB1|2，|B1C|4，所以|OA1|B1C|4， 所以OC4OA2OB，即 6 解法二：以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(1，0)，

37、C(2 3cos30，2 3sin30)，B(cos120，sin120) 即 A(1，0)，C(3， 3)，B12，32 由OCOAOB(1，0)12，3212，32 ，即12，32 (3， 3)， 得123，32 3， 所以2，4， 即 6故填 6 (2)已知向量AC，AD和AB在正方形网格中的位置如图所示， 若ACABAD， 则 _ 解：建立如图所示的平面直角坐标系 xAy，则 AC(2，2)，AB(1，2)，AD(1，0) 由题意可知(2，2)(1，2)(1，0)，即2，22， 解得1，3， 所以 3故填 3 点 拨： 应用平面向量基本定理应注意：平面向量基本定理中的基底必须是两个不共

38、线的向量；选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便 (1)设向量 a，b 不平行，向量 ab与 a2b 平行，则实数 _ 解：由于 ab 与 a2b 平行，且 a2b0， 12 所以存在唯一的实数 R， 使得 ab(a2b)，即()a(12)b0因为 a，b 不平行，所以0，120， 解得 12故填12 (2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若 cab(，R)，则_ 解：设 i，j 分别为水

39、平向右和竖直向上的单位向量，则 aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，即i3j(6)i ( 2)j ， 根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 得16，32， 解得2，12 所以4故填4 类型三类型三 求向量的坐标求向量的坐标 已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且DC2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点 D 的坐标为_ 解：因为在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABCD，所以DC2AB设点 D 的坐标为(x，y)， 则DC(4，2)(x，y)(4x，2y)， AB(2，1)(1，2)(1，1)， 所以(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2

40、y)(2，2)， 所以4x2，2y2， 解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2，4) 故填(2，4) 点 拨： 平面向量坐标运算的技巧：向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解 已知三点 A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中 a0，b0 (1)若 O 是坐标原点， 且四边形 OACB 是平行四边形，试求 a，b 的值； (2)若 A，B，C 三点共线，试求1a1b的值 解：(1)因为四边形 OACB 是平行四边形， 所以OABC，即(a，0)(2，2b)

41、， a2，2b0， 解得a2，b2 故 a2，b2 (2)因为AB(a，b)，BC(2，2b)， 由 A，B，C 三点共线，得ABBC， 所以a(2b)2b0，即 2(ab)ab， 因为 a0，b0， 所以1a1b12 类型四类型四 向量坐标的应用向量坐标的应用 (2018天津)如图，在平面四边形ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1若点 E 为边 CD 上的动点，则AEBE的最小值为 ( ) A2116 B32 C2516 D3 解法一：以点 A 为原点，以 AB 所在的直线为x 轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，依题意 13 得， A(0， 0)， B(1， 0)

42、因为 AD1， BAD120，所以 D12，32，且直线 CD 的倾斜角为 30，所以直线CD的方程为y3233x12， 即y33(x2) 由y33（x2），x1，得x1，y 3，所以点 C 的坐标为(1， 3) 因 为 点 E 为 边 CD 上 的 动 点 ， 故 可 设Et，33（t2） ，12t1， 所 以 AEt，33（t2）， BEt1，33（t2） ， 所以AEBEt(t1)33（t2）243t1822116，所以当 t18时，AEBE取最小值，为2116 图(1) 图(2) 解法二：易知 DC 3，CAD60，设 DEx(0 x 3)， 则AE BE(ADDE) (BAADDE)

43、11cos60120 x1cos1500 x2x34221162116 解法三：如图(2)，取 AB 的中点 F，连接 EF，则AEBEEAEB(EFFA) (EFFA)EF2 FA2EF214可知当且仅当|EF|最小时AEBE取最小值， 分别过 F， B 作 CD 的垂线， 垂足分别为 H，G，当点 E 与 H 重合时，EF 取到最小值，易知 EF为梯形 DABG 的中位线，由已知得|BG|32，|AD|1，则|HF|EF|12(|BG|AD|)54故AEBE的最小值为2116故选 A 点 拨： 向量的坐标运算，往往能降低推理的难度，与向量相关的最值、范围问题，可优先考虑坐标运算用向量法解决

44、平面几何相关问题的步骤是：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系，从而解决问题 (2017安徽联考)在边长为 1 的正ABC 中，D，E 是边 BC 的两个三等分点(D 靠近点 B)，则ADAE等于 ( ) A16 B29 C1318 D13 解法一：建立如图所示的直角坐标系，则A0，32，D16，0 ，E16，0 ，所以AD16，32， AE16，32， AD AE161632321318 解法二：取 BC 中点 O，则ADAE(AOOD) (AOOE

45、)AO2OE2341361318 解法三：如图，|AB|AC|1， AB，AC60 因为 D，E 是边 BC 的两个三等分点， 14 所以ADAEAB13BCAC13CBABAC13ABBC13BCAC19BC211 cos60 13 1 1 cos120 13 1 1 cos6019121616191318故选 C 1对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础 (2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组 (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a1e12e2(1，2R

46、，e1，e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式， 它是向量线性运算知识的延伸 (4)如果 e1， e2是同一平面内的一组基底， 且 1e12e20(1，2R)，那么 120 2对两向量夹角的理解 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角若起点不同，则应通过平移，使其起点相同 3向量的坐标表示 向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标两个向量相等，当且仅当其坐标相同 4向量坐标的应用 向量具有代数和几何的双重特征，如向量

47、运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷 1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 ( ) Aa(1，2)，b(0，0) Ba(1，2)，b(3，5) Ca(3，2)，b(9，6) Da34，12， b(3，2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底故选 B 2设向量 a(2，4)与向量 b(x，6

48、)共线，则实数 x ( ) A2 B3 C4 D6 解： 因为 ab， 所以 264x0， 解得x3故选 B 3(2017 抚州模拟)若向量 a(1， 1)， b(1，1)，c(4，2)，则 c ( ) A3ab B3ab Ca3b Da3b 解法一：设 cmanb，则(4，2)(mn， mn)，所以mn4，mn2， 所以m3，n1， 所以 c3ab 解法二：代入验证法对于 A，3ab3(1，1)(1，1)(2，4)c，故 A 不正确；同理选项C、D 也不正确；对于 B，3ab(4，2)c，故 B正确故选 B 4已知 M(3， 2)， N(5， 1)， 且MP12MN，则 P 点的坐标为 (

49、) A(8，1) B1，32 C1，32 D(8，1) 解：设 P(x，y)，则MP(x3，y2)， 而12MN12(8，1)4，12， 所以x34，y212， 解得x1，y32 所以 P 点坐标为1，32故选 B 5如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a，b 如图，则向量 ab 可表示为 ( ) 15 A3e2e1 B2e14e2 Ce13e2 D3e1e2 解：由图易知 ab3e2e1e13e2故选C 6(2018 浙江)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量 a 与 e 的夹角为3，向量 b满足 b24e b30，则|ab|的最小值是( ) A 31 B 31 C

50、2 D2 3 解： 不妨设 e(1， 0)， b(x， y)， 则由 b24e b30(x2)2y21，再由 a 与 e 的夹角为3可知， 所求为如图两条射线上的点到圆上的点距离的最小值，即为 2sin601 31故选 A 7已知向量 e1，e2是两个不共线的向量，若 a2e1e2与 be1e2共线，则 _ 解：若 a2e1e2与 be1e2共线，则 2e1e2k(e1e2)ke1ke2， 得k2，k1， 解得12故填12 8(2018山东菏泽高三一模)已知在ABC中，D 为边 BC 上的点，且 BD3DC，点 E 为 AD的中点，BEmABnAC，则 mn_ 解：BEBDDEBD12ADBD