2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（一）（全国3卷）（解析版）.docx

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1、2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（一）（全国3卷）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1（ ）A1B-1CiD-i【答案】D【解析】.故选D.2已知全集为R,集合,则（ ）ABCD【答案】D【解析】A中,显然集合A并不是集合B的子集,错误.B中,同样集合B并不是集合A的子集,错误.C中,错误.D中,由,则,正确.故选D3国家统计局发布数据显示,2020年1月份全国CPI（居民消费价格指数）同比上涨5.4%,环比上涨1

2、.4%.下图是2019年1月到2020年1月全国居民消费价格同比（与去年同期相比）和环比（与上月相比）涨跌幅,则下列判断错误的是（ ）（参考数据：,）A各月同比全部上涨,平均涨幅超过3%B各月环比有涨有跌,平均涨幅超过0.3%C同比涨幅最大的月份,也是环比涨幅最大的月份D环比跌幅最大的月份,也是同比涨幅最小的月份【答案】D【解析】由统计图可知,各月同比全部上涨,平均涨幅为,超过3%,故 A正确；各月环比有涨有跌,平均涨幅为,超过0.3%,故B正确；同比涨幅最大的是2020年1月,环比涨幅最大的也是2020年1月,故C正确；环比跌幅最大的是2019年3月,同比涨幅最小的是2019年2月,故D错误

3、,故选D.4设,则,的大小关系是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据对数函数的性质得,且,根据指数函数的性质得,故故选A5已知抛物线y22px(p0),点C(4,0),过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是（ ）Ay24xBy24xCy28xDy28x【答案】D【解析】因为ABx轴,且AB过点F,所以AB是焦点弦,且|AB|2p,所以SCAB×2p×解得p4或12(舍),所以抛物线方程为y28x,所以直线AB的方程为x2,所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y28x.故选D.6已知向量,满足

4、,且,则在方向上的投影为（ ）ABCD1【答案】B【解析】因为,所以在方向上的投影为故选B7.已知函数的图象如图所示,则的解析式可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】由图象可知：,且时,时,排除AB;由,排除D.又在上递减,所以在上递减,故选C.8海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作,现有取自其中的一个问题：今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直,从前表却行一百二十三步,人目着地,取望岛峰,与表末参合,从后表却行一百二十七步,人目着地,取望岛峰,亦与表末参合,问岛高几何？用现代语言来解释,其意思为：立两个3丈高的标杆,之间距离为1000步,两标杆与海岛的底端在同

5、一直线上.从第一个标杆M处后退123步,人眼贴地面,从地上A处仰望岛峰,人眼,标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步,从地上B处仰望岛峰,人眼,标杆顶部和山顶三点也共线,则海岛的高为（3丈=5步）（ ）A1200步B1300步C1155步D1255步【答案】D【解析】设海岛的高为步,由题意知,步,步,步,步,则,即,所以,则,解得,即海岛的高为步,故选D.9下图是一个正方体的展开图,则在该正方体中（ ）A直线与直线平行B直线与直线相交C直线与直线异面垂直D直线与直线异面且所成的角为60°【答案】D【解析】正方体的展开图的立体图形如图所示：由图知：直线与直线为异面直线

6、,故A,B错误；连接,因为,所以或其补角为异面直线与所成角.又因为为等边三角形,所以.所以直线与直线异面且所成的角为60°,故C错误,D正确.故选D10若,则（ ）AB或C或D【答案】B【解析】由题可得所以,即所以或.又所以当时,.当时,.故选B.11已知双曲线（,）的左、右焦点分别为、,圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为,四边形的周长与面积满足,则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由双曲线的定义可知,又,可知四边形是平行四边形,所以联立解得,又线段为圆的直径,由双曲线的对称性可知四边形为矩形,所以四边形的面积,又,所以,即,解得,由,得,即,即.故选C.12

7、设函数,直线是曲线的切线,则的最大值是（ ）AB1CD【答案】C【解析】由题得,设切点,则,；则切线方程为：,即,又因为,所以,则,令,则,则有,；,即在上递增,在上递减,所以时,取最大值,即的最大值为.故选C.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13若满足,则的最小值为_.【答案】【详解】如图令,可得目标函数的一条等值线,则将移至点处,目标函数取最小值,所以最优解为点,则.14.某市的天气预报显示，大别山区在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5表示没有强浓雾，用6，7，8

8、，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：779 537 113 730 588 506 027 394 357 231 683 569 479 812 842 273 925 191 978 520则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为_【答案】【解析】这20组数据，其中恰有2天有浓雾的是588，683，569，479，恰有3天浓雾的是779，978，所以三天中至少有两天有强浓雾的组数包含6组，所以概率. 15已知函数,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 【答案】【解析】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,

9、且,所以16直三棱柱内有一个体积为的球,若是边长为的等边三角形,则的最大值为_【答案】【解析】由题意知,为使球的体积尽可能的大时,球需与三棱柱内切,先保证截面圆与内切,记截面圆的半径为,则,即,所以,又直三棱柱的高为,此时不能满足球在该棱柱内,因此为使球在棱柱内,且体积最大,只能球与棱柱的上下底面相切,即,球的半径最大只能是,此时.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 等比数列中,已知, （1）求数列的通项公式； （2）若,分别是等差数列的第4项和第16项,求数

10、列的通项公式及前n项和解：（1）设等比数列的公比为,因为,可得,解得,所以数列的通项公式为(6分)（2）因为,分别是等差数列的第4项和第16项,所以,设等差数列的公差为,可得,解得,所以,则数列的通项公式及前n项和(12分)18(12分)产品质量是企业的生命线,企业非常重视产品生产线的质量,为提高产品质量,某企业引进了生产同一种产品的,两条生产线,为比较两条生产线生产的产品的质量,从,生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品进行检测,将产品等级结果和频数制成了如下的统计图：（1）填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为产品是否为一级品生产线有关一级品非一级品生产线生产线（2）以

11、样本估计总体,若生产一件一级品可盈利100元,生产一件二级品可盈利50元,生产一件三级品亏损20元分别估计,生产线生产一件产品的平均利润；你认为哪条生产线的利润较为稳定？说明理由附：,其中0.150.100.050.012.0722.7063.8416.635解：（1）根据已知数据可得列联表如下：一级品非一级品生产线2080生产线3565,参照临界值表可知,有95%的把握认为产品是否为一级品与生产线有关. (5分)（2）生产线生产一件产品的平均利润为（元）,生产线生产一件产品的平均利润为（元）. (8分)生产线生产的产品利润的方差,生产线生产的产品利润的方差,因为,所以生产线的利润更为稳定.

12、(12分)19(12分) 如图,在三棱锥中,分别为,的中点.（1）求证：平面平面；（2）若,是面积为的等边三角形,求四棱锥的体积.解:（1）,为的中点,.,又,.,平面,平面,平面,平面平面.(6分)（2）,又平面平面,平面平面,平面.是面积为的等边三角形,可得：.(12分)20(12分)已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有最大值，且最大值大于时，求的取值范围解：（1）由题知，的定义域为，当时，则，在上单调递增；当时，则当时，当，当时在单调递增，在单调递减综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减(6分)（2）由（1）知，当时再无最大值；当时，在取得最大值此时，其最大值为

13、令，则在是增函数注意到，所以要使成立，则需.的取值范围是(12分)21(12分)如图,点为椭圆：的左焦点,点,分别为椭圆的右顶点和上顶点,点在椭圆上,且满足.（1）求椭圆的方程；（2）过定点且与轴不重合的直线交椭圆于,两点,直线分别交直线,于点,求证：以为直径的圆经过轴上的两定点（用表示）.解：（1）由在椭圆：上得,如图,由为的右顶点,为的上顶点可知,因,所以,则.联立得方程组解得故所求椭圆的方程为.(4分)（2）设,又,所以直线的方程为,令,得,所以.同理.设是以为直径的圆上的任意一点,则,所以,令,得.设直线的方程为,与椭圆的方程联立,消去得,所以,所以.所以,因为,所以.所以以为直径的圆

14、经过轴上两定点,其坐标分别为和.(12分)(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4：坐标系与参数方程 (10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),圆的方程为.以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线及圆的极坐标方程；（2）若直线与圆交于两点,求的值.解：（1）由直线的参数方程,得其普通方程为,直线的极坐标方程为.又圆的方程为,将代入并化简得,圆的极坐标方程为. (5分)（2）将直线：,与圆：联立,得,整理得,.不妨记点A对应的极角为,点B对应的极角为,且.于是,. (10分)23选修4-5：不等式选讲 (10分)设正实数,满足（1）求的最大值；（2）求的最小值解：（1）,当且仅当,即,时,取到最大值为(5分)（2）,当且仅当,即时,取得最小值为5(10分)