2022届高三数学一轮复习（原卷版）2．9　函数模型及其应用.doc

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1、29 函数模型及其应用函数模型及其应用 1函数的实际应用 (1)基本函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数， a0 且 a1，b0) 对数型函数模型 f(x)blogaxc(a， b， c 为常数，a0 且 a1，b0) 幂型函数模型 f(x)axnb(a，b 为常数，a0) (2)三种常用函数模型性质比较 函数 性质 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0， ) 上的单调性 单调_函数 单调_函数 单调_函数 增长速度 越来越_ 越来越_ 相对平稳 图象的 变化 随 x 值增大， 图象与_轴 接近

2、平行 随 x 值增大， 图象与_轴 接近平行 随 n 值变 化而不同 2.函数建模 (1)函数模型应用的两个方面 利用已知函数模型解决问题； 建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测 (2) 应 用函 数模 型解 决问 题的 基本 过程 ：_、_、_、_. 自查自纠： 1(1)f(x)axb(a，b 为常数，a0) f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) (2)增 增 增 快 慢 y x 2审题 建模 解模 还原 (2018长沙模拟)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是 (

3、) A B C D 解： 出发时距学校最远， 排除 A； 中途堵塞停留，距离没变，排除 D；堵塞停留后比原来骑得快，排除 B.故选 C. (教材改编题)已知某矩形广场的面积为 4 万平方米， 则其周长至少为 ( ) A800 米 B900 米 C1 000 米 D1 200 米 解：设这个广场的长为 x 米，则宽为40 000 x米，所以其周长 l2x40 000 x800，当且仅当 x40 000 x，即 x200 时取等号故选 A. (教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是 ( ) A105 元 B10

4、6 元 C108 元 D118 元 解：设进货价为 a 元，由题意知 132(110%)a10%a，解得 a108.故选 C. (2018抚顺模拟)某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog3(x1)，设这种动物第 2年有 100 只，则可预测第 8 年有_只 解：因为 alog33100，所以 a100，当 x8时，y100log39200.故填 200. 交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/ml.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 0.8 mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 20%的速度减少，则至少经过_小时他才可以驾驶

5、机动车(精确到个位，lg20.301) 解：设至少经过 n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得 0.8(120%)n0.2，nN*，0.8n10.2，n1log0.80.2lg213lg217.2，则 n6.2，即至少经过 7 小时他才可以驾驶机动车故填 7. 类型一类型一 幂型函数模型幂型函数模型 李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为 L甲5x2900 x16 000， L乙300 x2 000(其中 x 为销售辆数)， 若某月两连锁店共销售了 110 辆，则能获得的最大利润为 ( ) A11 000 元 B22 000 元 C33 000 元 D40 000 元

6、 解：设甲连锁店销售 x 辆，则乙连锁店销售(110 x)辆，故利润 L5x2900 x16 000300(110 x)2 0005x2600 x15 0005(x60)233 000，所以当 x60 时，有最大利润 33 000 元故选 C. 点 拨： 列函数关系式时，注意自变量的取值范围；求最值这里运用了配方法，通常换元法、导数法、均值不等式法也是解这类题比较常用的方法 (2016辽宁五校联考)一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间 t 秒内的路程为 s12t2米，那么，此人 ( )

7、A可在 7 秒内追上汽车 B可在 9 秒内追上汽车 C不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为14 米 D不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7 米 解：已知 s12t2，车与人的间距 d(s25)6t12t26t2512(t6)27.当 t6 时， d 取得最小值7.故选 D. 类型类型二二 指数型函数模型指数型函数模型 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了

8、多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 解：(1)设每年降低的百分比为 x(0 x0且 a1)图象的一部分根据专家研究，当注意力指数 p 大于等于 80 时听课效果最佳 (1)试求 pf(t)的函数关系式； (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由 解：(1)当 t(0，14时，设 pf(t)c(t12)282(c0)，将点(14，81)代入得 c14，t(0，14时，pf(t)14(t12)282； 当 t(14， 40时， 将点(14，81)代入 yloga(t5)83，得 a13， 所以pf(t)14（t12）282，t（0，14，log13（t5）83，t

9、（14，40. (2)当 t(0，14时，由14(t12)28280，解得 122 2t122 2，所以 t122 2，14，当 t(14，40时，由 log13(t5)8380，解得58.57.125，知 L(t)max9.125. 从而第 5 周每件销售利润最大，最大值为 9.125元 点 拨： 实际问题的情况往往是复杂的，许多实际问题都要使用分段函数模型求解解分段函数模型要注意定义域区间的分界点含有参数的实际应用题要注意分类讨论 (2017河南省实验中学期中)国庆节期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30 人，

10、则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元 (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0 x75，飞机票价格为 y 元， 则 y900，0 x30，90010（x30），30 x75， 即 y900，0 x30，1 20010 x，30 x75. (2)设旅行社获利 S 元， 则 S900 x15 000，0 x30，x（1 20010 x）15 000，30 x75， 即 S900 x15 000，0 x30，1

11、0（x60）221 000，30 x75. 因为 S900 x15 000 在区间(0， 30上为单调增函数， 故当 x30 时，S 取最大值 12 000 元， 又 S10(x60)221 000 在区间(30，75上，当 x60 时，取得最大值 21 000. 故每团人数为 60 人时， 旅行社可获得最大利润 1解函数应用问题的步骤 (1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础 (2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化

12、为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型 (3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果 (4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题 以上过程可以用示意图表示为： 模拟函数的过程可以用下面框图表示： 2函数模型的选择 解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的

13、特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型 1现有一组数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律

14、，其中最接近的一个是 ( ) Avlog2t Bvlog12t Cvt212 Dv2t2 解法一： v 值随 t 值增大， 且增长速度越来越快，故应选择指数型函数模型，仅选项 C 符合 解法二：取 t1.992(或 t5.15)， 代入 A 得vlog2211.5；代入 B，得 vlog12211.5；代入 C，得 v22121.5；代入 D，得 v22221.5.其余4组数据同样代入可知C最合要求故选 C. 2用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过 1%，则至少要洗的次数是 ( ) A3 B4 C5 D6 解： 设至少要洗 x 次， 则134x1100， 所以14x110

15、0，4x100，因此至少洗 4 次故选 B. 3(2018安阳一模)某类产品按工艺共分 10个档次，最低档次产品每件利润为 8 元每提高一个档次，每件利润增加 2 元用同样工时，可以生产最低档次产品 60 件，每提高一个档次将少生产 3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是 ( ) A7 B8 C9 D10 解：由题意，当生产第 k 档次的产品时，每天可获得利润为 y82(k1)603(k1)6(k9)2864(1k10，kN)，所以当 k9 时，获得利润最大故选 C. 4某地一天内的气温 Q(t)(单位： )与时刻 t(单位：h)之间的关系如图所示，令 C(t)表示时间段0，t内的温差

16、(即时间段0，t内最高温度与最低温度的差)，C(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是 ( ) A B C D 解： 当 0t4 时， 最高温度不变， 最低温度减小，所以温差变大，排除 C；当 4t8 时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除 A，B.故选 D. 5(2018 福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳 14 用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个

17、数至少是 ( ) A8 B9 C10 D11 解： 不妨设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 1，则经过 n(nN*)个“半衰期”后的含量为12n，由 12n11 000得 n10.所以若探测不到碳 14 含量，则至少经过了 10 个“半衰期”故选 C. 6(2017武汉模拟)某段时间内，国家规定个人稿费纳税办法为：不超过 800 元的不纳税；超过800 元而不超过 4 000 元的按超过部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全稿酬的 11%纳税若某人共纳税420 元，则这个人的稿费为 ( ) A3 000 元 B3 800 元 C3 818 元 D5 600 元 解：由题意可建立纳税额

18、 y(元)关于稿费 x(元)的函数解析式为 y0，x800，0.14（x800），8004 000，显然由 0.14(x800)420，可得 x3 800.故选 B. 7若某商场将彩电价格由原价 2 250(元/台)提高 40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商场每台彩电比原价多卖_元 解：由题意可得每台彩电比原价多卖 2 250(140%)80%2 250270 元故填 270. 8已知某品牌商品靠广告产生的收入 R 与广告费 A 之间满足关系 Ra A(a 为常数)，广告效果为DRA， 为了取得最大广告效果， 投入的广告费应为_(用常数 a 表示) 解： 依题意 DRAa AA，

19、令 t A(t0)，则 At2，所以 Datt2t12a214a2，显然a0， 所以当 t12a， 即 A14a2时， D 取得最大值故填14a2. 9为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热屋，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到

20、最小，并求最小值 解：(1)由已知条件得 C(0)8，则 k40， 因此 f(x)6x20C(x)6x8003x5(0 x10) (2)f(x)6x108003x5102（6x10）8003x51070(万元)， 当且仅当 6x108003x5，即 x5 时等号成立 所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元 10(2017山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元、 0.5万元 (1

21、)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系； (2)若该家庭有20万元资金， 全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？ 解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)k1x，g(x)k2x. 由已知得 f(1)18k1，g(1)12k2， 所以 f(x)18x(x0)，g(x)12x(x0) (2)设投资债券类产品为 20 x 万元，则投资股票类产品为 x 万元 依题意得 yf(20 x)g(x)20 x812xx4 x208(0 x20) 所以 x2，即 x4 时，收益最大，ymax3 万元 故投资债券类产品 16 万元，投资股票类产品 4万元时获

22、得最大收益，为 3 万元 11(2017山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 vablog3Q10(其中 a、b 是实数)据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为 30个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出 a、b 的值； (2)若这种鸟类为赶路程， 飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 ablog330100， 即 ab0；当耗

23、氧量为 90 个单位时，速度为1 m/s，故有 ablog390101，整理得 a2b1. 解方程组ab0，a2b1， 得a1，b1. (2)由(1)知，v1log3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s， 则有v2， 即1log3Q102， 即log3Q103，解得 Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位 (2018山西模拟)为提倡低碳生活，某旅游区在景区提供自行车出租，该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6元，则自行车可以全部租出；若超出 6 元，则每

24、超过 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用， 用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分) (1)求函数 yf(x)的解析式及其定义域； (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解：(1)当 x6 时，y50 x115， 令 50 x1150，解得 x2.3， 因为 x 为整数，所以 3x6. 当 x6 时， y503(x6)x1153x268x115. 令3x268x1150，有 3x268x1150，结合 x

25、为整数得 6x20. 故 x3，20，xZ， y50 x115，3x6，xZ，3x268x115，6x20，xZ. (2)对于 y50 x115(3x6，xZ)， 显然当 x6 时，ymax185， 对于 y3x268x1153x34328113(6185， 所以当每辆自行车的日租金定为11 元时，才能使一日的净收入最多 29 函数模型及其应用函数模型及其应用 1函数的实际应用 (1)基本函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数， a0 且 a1，b0) 对数型函数模型 f(x)blogaxc(a， b， c 为常数，a0

26、 且 a1，b0) 幂型函数模型 f(x)axnb(a，b 为常数，a0) (2)三种常用函数模型性质比较 函数 性质 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0， ) 上的单调性 单调_函数 单调_函数 单调_函数 增长速度 越来越_ 越来越_ 相对平稳 图象的 变化 随 x 值增大， 图象与_轴 接近平行 随 x 值增大， 图象与_轴 接近平行 随 n 值变 化而不同 2.函数建模 (1)函数模型应用的两个方面 利用已知函数模型解决问题； 建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测 (2) 应 用函 数模 型解 决问 题的 基本 过程 ：_

27、、_、_、_. 自查自纠： 1(1)f(x)axb(a，b 为常数，a0) f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) (2)增 增 增 快 慢 y x 2审题 建模 解模 还原 (2018长沙模拟)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是 ( ) A B C D 解： 出发时距学校最远， 排除 A； 中途堵塞停留，距离没变，排除 D；堵塞停留后比原来骑得快，排除 B.故选 C. (教材改编题)已知某矩形广场的面积为 4 万平方米， 则其周长至少为 ( ) A800 米 B900 米 C1 000 米 D1 200

28、米 解：设这个广场的长为 x 米，则宽为40 000 x米，所以其周长 l2x40 000 x800，当且仅当 x40 000 x，即 x200 时取等号故选 A. (教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是 ( ) A105 元 B106 元 C108 元 D118 元 解：设进货价为 a 元，由题意知 132(110%)a10%a，解得 a108.故选 C. (2018抚顺模拟)某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog3(x1)，设这种动物第 2年有 100 只，则可预测第 8 年有_

29、只 解：因为 alog33100，所以 a100，当 x8时，y100log39200.故填 200. 交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/ml.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 0.8 mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 20%的速度减少，则至少经过_小时他才可以驾驶机动车(精确到个位，lg20.301) 解：设至少经过 n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得 0.8(120%)n0.2，nN*，0.8n10.2，n1log0.80.2lg213lg217.2，则 n6.2，即至少经过 7 小时他才可以驾驶机动车故填 7. 类型一类型一

30、幂型函数模型幂型函数模型 李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为 L甲5x2900 x16 000， L乙300 x2 000(其中 x 为销售辆数)， 若某月两连锁店共销售了 110 辆，则能获得的最大利润为 ( ) A11 000 元 B22 000 元 C33 000 元 D40 000 元 解：设甲连锁店销售 x 辆，则乙连锁店销售(110 x)辆，故利润 L5x2900 x16 000300(110 x)2 0005x2600 x15 0005(x60)233 000，所以当 x60 时，有最大利润 33 000 元故选 C. 点 拨： 列函数关系式时，注意

31、自变量的取值范围；求最值这里运用了配方法，通常换元法、导数法、均值不等式法也是解这类题比较常用的方法 (2016辽宁五校联考)一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间 t 秒内的路程为 s12t2米，那么，此人 ( ) A可在 7 秒内追上汽车 B可在 9 秒内追上汽车 C不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为14 米 D不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7 米 解：已知 s12t2，车与人的间距 d(s25)6t12t26t2512(t6)27.当 t6 时， d 取得最小值7.故选

32、D. 类型类型二二 指数型函数模型指数型函数模型 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 解：(1)设每年降低的百分比为 x(0 x0且 a1)图象的一部分根据专家研究，当注意力指数 p 大于等于 80 时听课效果最佳 (1)试求 pf(t)的函数关系式； (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理

33、由 解：(1)当 t(0，14时，设 pf(t)c(t12)282(c0)，将点(14，81)代入得 c14，t(0，14时，pf(t)14(t12)282； 当 t(14， 40时， 将点(14，81)代入 yloga(t5)83，得 a13， 所以pf(t)14（t12）282，t（0，14，log13（t5）83，t（14，40. (2)当 t(0，14时，由14(t12)28280，解得 122 2t122 2，所以 t122 2，14，当 t(14，40时，由 log13(t5)8380，解得58.57.125，知 L(t)max9.125. 从而第 5 周每件销售利润最大，最大值为

34、 9.125元 点 拨： 实际问题的情况往往是复杂的，许多实际问题都要使用分段函数模型求解解分段函数模型要注意定义域区间的分界点含有参数的实际应用题要注意分类讨论 (2017河南省实验中学期中)国庆节期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元 (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0 x7

35、5，飞机票价格为 y 元， 则 y900，0 x30，90010（x30），30 x75， 即 y900，0 x30，1 20010 x，30 x75. (2)设旅行社获利 S 元， 则 S900 x15 000，0 x30，x（1 20010 x）15 000，30 x75， 即 S900 x15 000，0 x30，10（x60）221 000，30 x75. 因为 S900 x15 000 在区间(0， 30上为单调增函数， 故当 x30 时，S 取最大值 12 000 元， 又 S10(x60)221 000 在区间(30，75上，当 x60 时，取得最大值 21 000. 故每团人数

36、为 60 人时， 旅行社可获得最大利润 1解函数应用问题的步骤 (1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础 (2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型 (3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果

37、 (4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题 以上过程可以用示意图表示为： 模拟函数的过程可以用下面框图表示： 2函数模型的选择 解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商

38、品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型 1现有一组数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( ) Avlog2t Bvlog12t Cvt212 Dv2t2 解法一： v 值随 t 值增大， 且增长速度越来越快，故应选择指数型函数模型，仅选项 C 符合 解法二：取 t1.992(或 t5.15)， 代入 A 得vlog2211.5；代入 B，

39、得 vlog12211.5；代入 C，得 v22121.5；代入 D，得 v22221.5.其余4组数据同样代入可知C最合要求故选 C. 2用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过 1%，则至少要洗的次数是 ( ) A3 B4 C5 D6 解： 设至少要洗 x 次， 则134x1100， 所以14x1100，4x100，因此至少洗 4 次故选 B. 3(2018安阳一模)某类产品按工艺共分 10个档次，最低档次产品每件利润为 8 元每提高一个档次，每件利润增加 2 元用同样工时，可以生产最低档次产品 60 件，每提高一个档次将少生产 3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档

40、次是 ( ) A7 B8 C9 D10 解：由题意，当生产第 k 档次的产品时，每天可获得利润为 y82(k1)603(k1)6(k9)2864(1k10，kN)，所以当 k9 时，获得利润最大故选 C. 4某地一天内的气温 Q(t)(单位： )与时刻 t(单位：h)之间的关系如图所示，令 C(t)表示时间段0，t内的温差(即时间段0，t内最高温度与最低温度的差)，C(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是 ( ) A B C D 解： 当 0t4 时， 最高温度不变， 最低温度减小，所以温差变大，排除 C；当 4t8 时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大

41、，排除 A，B.故选 D. 5(2018 福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳 14 用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是 ( ) A8 B9 C10 D11 解： 不妨设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 1，则经过 n(nN*)个“半衰期”后的含量为12n，由 12n11 000得 n10.所以若探测不到碳 14 含量，则至少经过了 10 个“半衰期”故选 C. 6(2017武汉模拟

42、)某段时间内，国家规定个人稿费纳税办法为：不超过 800 元的不纳税；超过800 元而不超过 4 000 元的按超过部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全稿酬的 11%纳税若某人共纳税420 元，则这个人的稿费为 ( ) A3 000 元 B3 800 元 C3 818 元 D5 600 元 解：由题意可建立纳税额 y(元)关于稿费 x(元)的函数解析式为 y0，x800，0.14（x800），8004 000，显然由 0.14(x800)420，可得 x3 800.故选 B. 7若某商场将彩电价格由原价 2 250(元/台)提高 40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商场每台

43、彩电比原价多卖_元 解：由题意可得每台彩电比原价多卖 2 250(140%)80%2 250270 元故填 270. 8已知某品牌商品靠广告产生的收入 R 与广告费 A 之间满足关系 Ra A(a 为常数)，广告效果为DRA， 为了取得最大广告效果， 投入的广告费应为_(用常数 a 表示) 解： 依题意 DRAa AA， 令 t A(t0)，则 At2，所以 Datt2t12a214a2，显然a0， 所以当 t12a， 即 A14a2时， D 取得最大值故填14a2. 9为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热屋，每厘米厚的隔

44、热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 解：(1)由已知条件得 C(0)8，则 k40， 因此 f(x)6x20C(x)6x8003x5(0 x10) (2)f(x)6x108003x5102（6x10）8003x51070(万元)， 当且仅当 6x108003x5，即 x5 时等号成立 所以当隔

45、热层厚度为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元 10(2017山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元、 0.5万元 (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系； (2)若该家庭有20万元资金， 全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？ 解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)k1x，g(x)k2x. 由已知得 f(1)18k1，g(1)12

46、k2， 所以 f(x)18x(x0)，g(x)12x(x0) (2)设投资债券类产品为 20 x 万元，则投资股票类产品为 x 万元 依题意得 yf(20 x)g(x)20 x812xx4 x208(0 x20) 所以 x2，即 x4 时，收益最大，ymax3 万元 故投资债券类产品 16 万元，投资股票类产品 4万元时获得最大收益，为 3 万元 11(2017山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 vablog3Q10(其中 a、b 是实数)据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为 3

47、0个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出 a、b 的值； (2)若这种鸟类为赶路程， 飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 ablog330100， 即 ab0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为1 m/s，故有 ablog390101，整理得 a2b1. 解方程组ab0，a2b1， 得a1，b1. (2)由(1)知，v1log3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s， 则有v2， 即1log3Q102， 即log3Q103，解得 Q2

48、70.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位 (2018山西模拟)为提倡低碳生活，某旅游区在景区提供自行车出租，该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6元，则自行车可以全部租出；若超出 6 元，则每超过 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用， 用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分) (1)求函数 yf(x)的解析式

49、及其定义域； (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解：(1)当 x6 时，y50 x115， 令 50 x1150，解得 x2.3， 因为 x 为整数，所以 3x6. 当 x6 时， y503(x6)x1153x268x115. 令3x268x1150，有 3x268x1150，结合 x 为整数得 6x20. 故 x3，20，xZ， y50 x115，3x6，xZ，3x268x115，6x20，xZ. (2)对于 y50 x115(3x6，xZ)， 显然当 x6 时，ymax185， 对于 y3x268x1153x34328113(6185， 所以当每辆自行车的日租金定为11 元时，才能使一日的净收入最多