2022届高三数学一轮复习（原卷版）7．1　不等关系与不等式.doc

《2022届高三数学一轮复习（原卷版）7．1　不等关系与不等式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）7．1　不等关系与不等式.doc（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、71 不等关系与不等式不等关系与不等式 1两个实数大小的比较 (1)abab_ (2)abab_ (3)abab_ 2不等式的性质 (1)对称性：ab_ (2)传递性：ab，bc_ (3)不等式加等量：abac_bc (4)不等式乘正量：ab，c0_， 不等式乘负量：ab，cb，cd_ (6)异向不等式相减： ab， cb0 ， cd0 _ (8)异向不等式相除：ab0，0cb，ab01a1b (10)不等式的乘方：ab0_ (11)不等式的开方：ab0_ 注：(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正

2、数的异向不等式可相除 自查自纠： 10 0 0 2(1)bc (3) (4)acbc acbd (7)acbd (10)anbn(nN 且 n2) (11)nanb(nN 且 n2) 下列说法正确的是 ( ) A若ab1，则 ab B一个不等式的两边加上或乘以同一个实数，不等号方向不变 C一个非零实数越大，则其倒数就越大 Dab0，cd0adbc 解： 举反例易知A， B， C 均错误， cd01d1c0，故选项 D 正确故选 D (2016四川成都模拟)若 ab0，则下列不等式中一定成立的是 ( ) A1a1b B12a12b Ca1bb1a Dbab1a1 解：因为 ab0，所以 ba0，

3、ab0，1a1bbaab0，因此 A 错误；由函数 f(x)12x是减函数知12a12b，B 错误；由a1bb1a (ab)11ab0 知 C 正确或用特值法，取 a2，b1，排除 A，B，D故选 C (2016贵州模拟)若 a，b 都是实数，则 “ a b0”是“a2b20”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：由 a b0 得 ab0，由 a2b20 得a2b2， 即|a|b|， 所以“ a b0” 是“a2b20”的充分不必要条件故选 A 已知 a2 7，b 62 2，则 a，b 的大小关系是 a_b 解：由于 a2 7，b 62 2，平

4、方作差得a2b228148 3148 3874 3 0，从而 ab故填 (2018南京模拟)若 a， bR， 且 a|b|0； a3b30； a2b20； ab0 解：a|b|0a|b|，由|b|b 得 ababba3b3a3b3|b|a2b2a2b20，错；由ababq0，则提价多的方案是_ 解：设原价为 a，方案甲提价后为 a(1p%)(1q%)， 方案乙提价后为 a1pq2%2， 因为1pq2%2（1p%）（1q%）22 (（1p%）（1q%）)2(1p%)(1q%)， 又因为 pq0，所以等号不成立，则提价多的为方案乙 另解：用作差法来比较故填乙 类型二类型二 不等式的性质不等式的性质

5、 (1)对于任意实数 a，b，c，d，下列命题中正确的是 ( ) A若 ab，c0，则 acbc B若 ab，则 ac2bc2 C若 ac2bc2，则 ab D若 ab，则1a1b 解：对于选项 A，当 cbc2，所以 c0，所以c20，所以一定有 ab，故选项 C 正确； 对于选项 D， 当 a0， b0a ； 0ab ；a0b；ab0，能推出1ab，ab01ab，则下列不等式一定成立的是 ( ) Aacbc B(ab)c20 Ca3b3 Da2b2 解：对于 A，由于不知道 c 的正负及大小，故无法判断 ac 与 bc 的大小关系，所以错误；对于 B，当 c0 时，(ab)c20 不成立，

6、所以错误；对于 D，需要保证|a|b|，才能得到 a2b2，所以错误故选 C 类型三类型三 不等式性质的应用不等式性质的应用 (1)已知1xy4 且 2xy3，则 z2x3y 的取值范围是_(答案用区间表示) 解法一：设 2x3y(xy)(xy) ()x()y， 则2，312，52 所以 2x3y12(xy)52(xy)， 而212(xy)12，552(xy)152， 所以 32xy8，即 2xy(3，8) 解法二：令axy，bxy，则xab2，yab2， 且1a4，2b3 所以 2x3y2ab23ab2a252b， 因为1a4，2b3， 所以2a212，552b152， 所以 3a252b0

7、，y0，且181xy213，16x4y281，得 2x3y427，故x3y4的最大值是 27 解法二：设x3y4x2ym(xy2)n， 则 x3y4x2mny2nm， 所以2mn3，2nm4，即m2，n1 又因为 16x2y281，18(xy2)113， 所以 2x3y427，故x3y4的最大值为 27故填 27 点 拨： 由 af(x，y)b，cg(x，y)d，求 F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设 F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得 m，n 的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得 F(x， y)的取值范围有些也可用线性规划

8、知识求解 (1)若角 ， 满足22，则 2 的取值范围是_ 解：因为22，所以22，22，22，而 ，所以0，所以 2()32，2故填 32，2 (2)( 2016云南模拟 ) 若 1lgxy 2 ， 1 lg(xy)4，则 lgx2y的取值范围是_ 解：由 1lg(xy)4，1lgxy2， 得 1lgxlgy4，1lgxlgy2， 则 lgx2y2lgxlgy12(lgxlgy)32(lgxlgy)， 所以1lgx2y5故填1，5 类型四类型四 比较大小比较大小 (1)(2018上海徐汇模拟)若 a0，b0，则 pb2aa2b与 qab 的大小关系为 ( ) Apq Dpq 解：pqb2aa

9、2bab b2a2aa2b2b(b2a2)1a1b （b2a2）（ba）ab（ba）2（ba）ab， 因为 a0，b0，所以 ab0 若 ab，则 pq0，即 pq； 若 ab，则 pq0，即 p0，b0，且 ab，试比较 aabb与 (ab) ab2的大小 解：因为 a0，b0， 所以aabb（ab）ab222a ba bababaab2bba2abab2， 若 ab0，则ab1，ab0， 由指数函数的性质知abab21； 若 ba0，则 0ab1，ab1 综上知，aabb（ab）ab21，又(ab)ab20，所以aabb(ab)ab2 点 拨： 作差(商)比较法的步骤是： 作差(商)； 变

10、形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；判断符号(判断商和“1”的大小关系)；给出结论 (1)(2016武汉模拟)已知 a1a2，b1b2，则 a1b1a2b2与 a1b2a2b1的大小关系是_ 解： a1b1a2b2(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)，因为 a1a2，b1b2，所以 a1a20，b1b20，于是(a1a2)(b1b2)0，故 a1b1a2b2a1b2a2b1故填 a1b1a2b2a1b2a2b1 (2)若 0ab，且 ab1，则将 a，b，12，2ab，a2b2从小到大排列为_ 解：因为 0ab 且 ab1，所以 2aab1且 1ab2b，所以 0a12b1

11、 且2a1，所以 a2ba2a(1a)2a22a 2a1221212，即 a2ab11212，即 a2b212a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，又 2b10，b10，所以 a2b2b0，所以 a2b2b综上，a2ab12a2b2b 另解：用特值法比较，如取 a13，b23 故填 a2ab12a2b2bc Bbca Ccba Dbac 解：因为 a3121，0blog1312log321，clog213bc故选 A 点 拨： 比较大小的常用方法：作差法；作商法；放缩法在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或数)，放缩的手段可能是基本不等式、 三角函数的有

12、界性等有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在 设 x0，P2x2x，Q(sinxcosx)2，则 ( ) APQ BP0， 所以 P2； 又(sinxcosx)21sin2x， 而 sin2x1， 所以 Q2， 则有 PQ故选 A 1理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础 2一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件 3不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种， 前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础 4利用几个不等式

13、来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围 5比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系； 作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系 6对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制 1(2018贵阳监测)下列命题中，正确的是 ( ) A若 ab，cd，则 acbd B

14、若 acbc，则 ab C若ac2bc2，则 ab，cd，则 acbd 解：选项 A：取 a2，b1，c1，d2，可知 A 错误；选项 B：当 cbcab，所以 B 错误； 选项 C： 因为ac20，所以 ab0， 则下列不等式一定成立的是 ( ) A|a|1b C12a12b Dlnalnb 解： 取 a2， b1， 则 2|a|b|1，121a1b1，12a122140ln1lnb故选 D 3若 a，b，cR，且 ab，则下列不等式一定成立的是 ( ) Aacbc B(ab)c20 Cacbc Dc2ab0 解：A 项：当 c0 时，不等式 acbab0，c20，故(ab)c20；C 项：

15、当 c0 时，acbc；D 项：当 c0 时， c2ab0故选 B 4设 a，b 是实数，则“ab0”是“ab0”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：若 ab0，取 a3，b2，则 ab0 不成立；反之，若 a2，b3，则 ab0 也不成立，因此“ab0”是“ab0”的既不充分也不必要条件故选 D 5(2018 江西鹰潭二模)若1a1bb2 B112b12a Cbaabbea 解：由题意，ba0，则 a212a1，baab2，因为 baeb0，ba0，所以beaaeb，所以 aebbea故选 D 6(2016浙江)已知 a，b0 且 a1，b

16、1，若 logab1，则 ( ) A(a1)(b1)0 C(b1)(ba)0 解：因为 a，b0 且 a1，b1，所以当 a1，即 a10 时，不等式 logab1 可化为 logablogaa，则 ba1，所以(a1)(ab)0， (b1)(ba)0当 0a1，即 a11 可化为 logablogaa，即 0ba1，所以(a1)(ab)0，(b1)(ba)0故选D 7若 13，4b0，ma，则bmamba时，实数 m满足的条件是_ 解：由bmamba得（ab）ma（am）0，因为 ab0，所以mma0，即m0，ma0或m0，ma0 或m0 或 ma故填m0 9已知 ab0，且 ab，比较1a

17、1b与ab2ba2的大小 解：1a1bab2ba2 aba2bab2 (ab)1a21b2 (ab)（ba）（ba）a2b2 （ab）2（ab）a2b2 而 ab0，ab，故上式小于 0 从而1a1bab2ba2 10(2018昆明模拟)设 f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，求 f(2)的取值范围 解法一：设 f(2)mf(1)nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a2bm(ab)n(ab)， 即 4a2b(mn)a(nm)b 则mn4，nm2，解得m3，n1， 所以 f(2)3f(1)f(1) 又因为 1f(1)2，2f(1)4， 所以 53f(1)f(1)10，故 5f(

18、2)10， 即 f(2)的取值范围是5，10 解法二：由f（1）ab，f（1）ab， 得a12f（1）f（1），b12f（1）f（1）， 所以 f(2)4a2b3f(1)f(1) 又因为 1f(1)2，2f(1)4， 所以 53f(1)f(1)10，故 5f(2)10， 即 f(2)的取值范围是5，10 11(1)设 xy1b，xy，求证：xxayyb 解：(1)方法一： (x2y2)(xy)(x2y2)(xy) (xy)(x2y2)(xy)22xy(xy)， 因为 xy0，xy0， 所以(x2y2)(xy)(x2y2)(xy) 方法二：因为 xy0，所以 xyy2，xy0 所以(x2y2)(

19、xy)0，(x2y2)(xy)0， 所以 0（x2y2）（xy）（x2y2）（xy）x2y2x2y22xy(x2y2)(xy) (2)证明：xxayybbxay（xa）（yb） 因为1a1b且 a，b(0，)，所以 ba0， 又因为 xy0，所以 bxay0， 所以bxay（xa）（yb）0，所以xxayyb 甲、 乙两人同时从寝室到教室， 甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？ 解：设从寝室到教室的路程为 s，甲、乙两人的步行速度为 v1，跑步速度为 v2，且 v14v1v24v1v21 因为 t甲0，t乙0， 所以 t甲t乙，即乙先到教室