2022届高三数学一轮复习（原卷版）10．9　正态分布.doc

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1、 1 109 正态分布正态分布 1正态曲线的性质 函数 ，(x)12 222)(ex，x(，)，其中实数和(0)为参数，我们称 ，(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线简称_ (2)正态曲线的性质 曲线位于 x 轴_， 与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线_对称； 曲线在 x 处达到峰值_； 曲线与 x 轴之间的面积为_； 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着_的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示 2正态分布的定义与简单计算 (1)正态分布的定义及表

2、示 如果对于任何实数 a， b(ab)， 随机变量 X 满足P(aXb)_， 则称随机变量 X 服从正态分布，记作_ (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(X)0682 6； P(2X2)0954 4； P(32)p，则 P(0X2)p， 所以 P(2x2)12p，所以 P(0X2)12p212p故选 D 设随机变量 服从正态分布 N(，2)，函数 f(x)x24x 没有零点的概率是12，则 等于 ( ) A1 B2 C4 D不能确定 解：当函数 f(x)x24x 没有零点时，1644，根据正态曲线的对称性知， 4故选 C (2016新余二模)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000

3、 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(2，1)的密度曲线)的点的个数的估计 2 值为 ( ) 附：若 XN(，2)，则 P(X)0682 6， P(2X2)0954 4， P(3X3)0997 4 A430 B215 C2 718 D1 359 解：因为 2，1，所以 P(4X0)0954 4，P(5X1)0997 4，所以阴影部分P(0X1)0997 40954 420021 5，故落入阴影部分的点的个数约为 10 0000021 5215，故选 B (2016青岛模拟)某班有 50 名同学，一次数学考试的成绩 服从正态分布 N(110，102)，已知P(100110)034，估

4、计该班学生数学成绩在120 分以上的有_人 解： 数学成绩 的正态曲线关于直线 x110 对称，因为 P(100110)034所以 P(120)P(100)12(10342)016数学成绩在 120 分以上的人数为 016508故填 8 已知当 XN(，2)时，P(X)0682 6，P(2X2)0954 4，P(3X3)0997 4，则34122(1)2exdx_ 解：由题意，1，1，P(3X4)12P(2X4)P(1X3)12(0997 40954 4)0021 5故填 0021 5 类型一类型一 正态分布的概念与性质正态分布的概念与性质 已知三个正态分布密度函数 i(x)12i2()2ei

5、ix(xR，i1，2，3)的图象如图所示，则 ( ) A123，123 B123，123 C123，123 D123，123 解：由正态曲线关于直线 x 对称，知 1 23； 的大小决定曲线的形状，越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；越小，总体分布越集中，曲线越瘦高， 则123实际上， 由1(1)2(2)3(3)， 则121122123 ， 即 123故选 D 点 拨： 正态曲线的性质(详见“考点梳理”)大都可由，(x)的解析式推知如 一定，当 x 且 x 增大时，(x)2减小（x）222增大22()2ex增大，(x)在 x 左侧单调递增其他类似可得 某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩

6、近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是 ( ) A甲学科总体的方差最小 B丙学科总体的均值最小 C乙学科总体的方差最小 D甲、乙、丙的总体的均值不相同 解：由图象可知三个图象的对称轴相同，即三学科的均值相同，甲学科成绩的正态分布图象最瘦高，说明甲学科成绩最集中，方差最小故选 A 3 类型二类型二 正态分布的计算问题正态分布的计算问题 设 XN(1，22)，试求 (1)P(1X3)； (2)P(3X5)； (3)P(X5) 解：因为 XN(1，22)，所以 1，2 (1)P(1X3)P(12X12) P(X)0682 6 (2)因为 P(3X5)P(3X1)， 所 以 P(3X5)

7、 12P( 3X5) P( 1X3) 12P(14X14)P(12X12) 12P(2X2)P(X) 12(0954 40682 6)0135 9 (3)因为 P(X5)P(X3)， 所以 P(X5)121P(3X5) 121P(14X14) 121P(22c1)P(X2c1)P(Xc3)，所以 2c1c332，所以 c43故填43 类型三类型三 正态分布的实际应用正态分布的实际应用 (2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(

8、，2) (1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求 P(X1)及 X 的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性； 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 995 1012 996 996 1001 992 998 1004 1026 991 1013 1002 922 1004 1005 995 经 计 算 得x116i116xi 997 ， s 116i116 （xi x ）21

9、62211(16)16iixx0.212，其中 xi为抽取的第 i个零件的尺寸，i1，2，16. 用样本平均数x作为 的估计值，用样本标准差 s 作为 的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计 和 (精确到0.01) 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(，2)，则P(3Z3)0997 4，0997 4160959 4 2， 0008009 解：(1)抽取一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为 0997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为 0002 6， 故 XB(16， 0002 6)，因此 P(X1)1P(X0)10997

10、4160040 8， X 的数学期望为 E(X)160002 60041 6 (2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有 0002 6，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有 0040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 由x997，s0212，得 的估计值为 997，的估计值为0212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查 剔除(3，3)之外的数据 922，剩下数据的

11、平均数为115(16997922)1002， 因此 的估计值为 1002 1621iix之外的数据 922，剩下数据的样本方差为115(1 59113492221510022)0008， 因此 的估计值为 0008009 点 拨： 解决正态分布问题有三个关键点：对称轴 X；标准差 ；分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由 ，分布区间的特征进行转化， 使分布区间转化为 3 特殊区间， 从而求出所求概率注意只有在标准正态分布下对称轴才为x0 (2018武汉市4月调研)在某市高中数学竞赛中，某一个区 4 000 名考生的参赛成绩统计如图所示 (1)求这 4 000 名考生的竞赛平均成绩 x(同

12、一组中数据用该组区间中点值作代表)； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服从正态分布 N(，2)，其中 ，2分别取考生的平均成绩 x和考生成绩的方差 s2，那么该区 4 000 名考生成绩超过 8481 分(含 8481 分)的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取 4 名考生，记成绩不超过 8481 分的考生人数为 ，求 P(3)(精确到 0001) 附：s220475， 204751431； zN(，2)，则 P(z) 0682 6；P(2z2)0954 4； 0841 340501 解：(1)由题意知： 中间值

13、 45 55 65 75 85 95 概率 01 015 02 03 015 01 所以x45015501565027503850159501705， 所以这 4 000 名考生的竞赛平均成绩x为 705分 (2)依题意 z 服从正态分布 N(，2)，其中 x705，2s220475，1431， 所以 z 服从正态分布 N(，2)，即 N(705，14312)， 而 P(z)P(5619z8481)0682 6， 所以 P(z8481)10682 620158 7 所以竞赛成绩超过 8481 分的人数估计为0158 74 0006348635 人 (3)全市竞赛考生成绩不超过 8481 分的概

14、率为 10158 70841 3 而 B(4，0841 3)，所以 P(3)1P(4)1C440841 34105010499 5 1正态曲线的性质特点可用来求其数学期望 和标准差 ：正态曲线是单峰的，它关于直线 x对称，据此结合图象可求 ；正态曲线在 x 处达到峰值1 2，据此结合图象可求 2正态分布计算中应注意的问题： (1)正态曲线与 x 轴之间的面积为 1 (2)正态曲线关于直线 x 对称， 从而在关于 x 对称的区间上概率相等 (3)几个常用公式 P(Xa)1P(Xa)； P(X0，则P(Xb)1P（b0)和 N(2，22)(20)的密度函数分别为 1(x)和 2(x)，其图象如图所

15、示，则有 ( ) A12，12 B12 C12，12，12 解：f(x)12e（x）222中 x 是对称轴，故12； 越大，曲线越“矮胖” ， 越小曲线越“高瘦” ，故12故选 A 2(2016郑州调研)已知随机变量 服从正态分布 N(2， 2)， 且 P(4)08， 则 P(04)( ) A06 B04 C03 D02 解：由 P(4)08，得 P(4)02 又正态曲线关于 x2 对称 则 P(0)P(4)02， 所以 P(0a1)，则实数 a 等于 ( ) A4 B5 C6 D7 解： 根据对称性有a5a124， 得 a6故选 C 4已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0

16、，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为 ( ) 附：若随机变量 服从正态分布 N(，2)，则P()6826%，P(22)9544% A456% B1359% C2718% D3174% 解： 依题设， XN(0， 32)， 其中 0， 3所以 P(3X3)0682 6， P(6X6)0954 4因此 P(3X6) 12P( 6X6) P( 3X3) 12(0954 40682 6)0135 91359%故选B 5(2017石家庄模拟)设 XN(1，2)，其正态分布密度曲线如图所示，且 P(X3)0022 8，那么向正方形 OABC 中随机投掷 20 000 个点， 则

17、落入阴影部分的点的个数的估计值为 ( ) 附：随机变量 服从正态分布 N(，2)，则P()0682 6，P(22)0954 4 A12 076 B13 174 C14 056 D7 539 解： 由题意得， P(X1)P(X 3)0022 8， 所以 P(1X3)10022 820954 4， 因为 P(22)0954 4， 所以 121，故 1， 6 所以 P(0X1)12P(0X0)： f(x)12e（x+）222； f(x)12e（x-）24； f(x)12 2ex24； f(x)1e(x)2， 则可以作为正态分布密度函数的个数有( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解：对于，f(x)

18、12e（x+）222.由于 (，)，所以(，)，故它可以作为正态分布密度函数； 对于，若 1，则应为 f(x)12e（x-）22.若 2，则应为 f(x)12 2e（x-）24，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数； 对于，它就是当 2，0 时的正态分布密度函数； 对于， 它是当 22时的正态分布密度函数 所以一共有 3 个函数可以作为正态分布密度函数故选 C. 7(2018 福州模拟)若随机变量 XN(，2)，且 P(X5)P(X1)02，则 P(2X5)P(X1)， 所以 5122，所以 P(2X5)12P(1X5)12(10202)03故填 03 8(2017广州模拟)按照国

19、家规定，某种大米质量(单位：kg)必须服从正态分布 N(10，2)，根据检测结果可知 P(99101)096，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有 2000 名职工， 则分发到的大米质量在 99 kg 以下的职工数大约为_ 解 ： 由题 意得 P(101) 1P（99101）2002， 从而分发到的大米质量在 99 kg 以下的职工数大约为 002200040(人)，故填 40 9已知某种零件的尺寸 (单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在区间(0，80)上是增函数，在区间(80，)上是减函数，且 f(80)18 2 (1)求正态分布密度函数的解析式； (2)估计尺寸在

20、72mm88mm 间的零件大约占总数的百分之几？ 解： (1)由于正态曲线在区间(0， 80)上是增函数，在区间(80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线 x80 对称， 且在 x80 处取得最大值因此得 80，1218 2，所以8 故正态分布密度函数的解析式是 ，(x)18 2 e（x-8）2128 (2)由 80，8，得 80872， 80888 所以零件尺寸位于区间(72，88)内的概率是0682 6 因此尺寸在 72mm88mm 间的零件大约占总数的 6826% 10在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布 N(60，100)，已知成绩在 90 分以上(含 90 分

21、)的学生有 13 人 (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？ (2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生，问受奖学生分数线是多少？ 解：(1)设学生的成绩为 X， 共有 n 人参加竞赛， 因为 XN(60，100)，所以 60，10 所以 P(X90)121P(30X90)12(10997 4)0001 3 又 P(X90)13n，所以13n0001 3 所以 n10 000 (2)设受奖学生的分数线为 x0 则 P(Xx0)22810 0000022 8 因为 0022 860 所以 P(120 x0Xx0)12P(Xx0)0954 4 所以 x0602080 7 故受奖学生的分数

22、线是 80 分 11(2017四川广元三诊)质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取 100 桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图 (1)写出频率分布直方图甲中 a 的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为s21，s22，试比较 s21，s22的大小(只要求写出答案)； (2)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一桶的质量指标大于 20 的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 Z 服从正态分布 N(， 2)其中 近似为样本平均数x，2近似为样本方差 s22，设 X 表示从乙种食用油中随机抽取 10 桶， 其质

23、量指标值位于(1455，3845)的桶数，求 X 的数学期望 注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得 s2 142751195； 若 ZN(， 2)， 则 P(Z)0682 6，P(2Zs22 (2)设事件 A：在甲种食用油中随机抽取 1 桶，其质量指标不大于 20， 事件 B：在乙种食用油中随机抽取 1 桶，其质量指标不大于 20， 事件 C：在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 桶，恰有一桶的质量指标不大于 20，且另一桶大于 20， 则 P(A)02001003，P(B)01002003， 所以 P(C)P(A)P(B)P(A)P(B)042， (3)计算得：x265，由条件得 ZN(

24、265，14275)， 从而P(2651195Z2651195)0682 6， 所以从乙种食用油中随机抽取 10 桶， 其质量指标值位于(1455，3845)的概率是 0682 6， 根据题意得 XB(10，0682 6)， 所以 E(X)100682 66826 某市高中男生身高统计调查数据显示：全市 100 000 名男生的身高服从正态分布 N(168，16)现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高， 测量发现被测学生身高全部介于 160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第1 组160， 164)， 第 2 组164， 168)， ， 第 6 组18

25、0，184，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 (1)试估计该校高三年级男生的平均身高； (2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数； (3)在这 50 名身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的男生中任意抽取 2 人，将该 2 人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前 130 名的人数记为 ，求 的数学期望 参考数据： 若 N(，2)，则 P()0682 6， P(22)0954 4， P(33)0997 4 解：(1)由频率分布直方图可计算该校高三年级男 生 平 均 身 高 约 为 (1625100 16671001708100174210017821001821100)416872(cm) (2)由频率分布直方图知，后 3 组频率为(002002001)402，人数为 025010，即这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数为 10 (3)因为 P(1683416834)0997 8 4， 所以 P(180)10997 420001 3， 0001 3100 000130 所以全市约前 130 名的身高在 180 cm 及以上，这 50 人中 180 cm 及以上的有 2 人随机变量 可取 0，1，2，于是 9 10