2021届高考二轮精品专题十 极坐标与参数方程（理） 教师版.docx

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1、专题 10××极坐标与参数方程命题趋势极坐标与参数方程是高考的选考内容之一，考查的形式主要为解答题通常第一问比较简单，一般为极坐标方程与普通方程的互换，参数方程与普通方程的互换；第二问一般以直线与圆的位置关系或直线与圆锥曲线的位置关系作为背景，考查极坐标方程中的的几何意义，或者是参数方程中参数的几何意义，整体难度中等考点清单1平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到点P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；自

2、极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)一般地，不做特殊说明时，我们认为0，可取任何实数注：极坐标(，)与(，+2k)(kZ)表示同一个点极点O的坐标为(0，)(R)若<0，则->0，规定点(-，)与点(，)关于极点对称，即(-，)与(，+)表示同一点如果规定>0，0<2，那么除极点外，平面内的点可

3、用唯一的极坐标(，)表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不唯一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(，2k)或（-，(2k+1)），(kZ)极点的极径为0，而极角任意取若对、的取值范围加以限制，则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定>0，0<2或<0，-<等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的，即一个点的极坐标

4、是不唯一的3极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，从图中可以得出：x=cos,y=sin,2=x2+y2，4常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为的直线（1）=R和=+R（2）=(0)和=+(0)过点，与极轴垂直的直线过点，与极轴平行的直线sin=a0<<过点，倾斜角为的直线sin-=asin圆心为极点，半径为a的圆=a0<2圆心为，半径为a的圆圆心为，半径为a的圆=2asin0<5参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确

5、定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程6常见曲线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程（t为参数）设P是直线上的任意一点，则t表示有向线段P0P的数量参数的几何意义是有向线段P0P的数量（2）圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为（为参数）（3）椭圆的参数方程为（为参数）；椭圆的参数方程为（为参数）（4）抛物线y2=2px参数方程为参数，）参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数7参数方程与普通方程之间的互化在建立

6、曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过根据t的取值范围导出的取值范围 精题集训（70分钟）经典训练题一、解答题1直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）（1）求直线l的普通方程，说明C是哪一种曲线；（2）设M，N分别为l和C上的动点，求|MN|的最小值【答案】（1）l:x+y=4，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；（2）22-5【解析】（1）由题得直线l:x+y=4，曲线，即，所以曲线C是焦点在x轴上的椭

7、圆（2）设N(3cos，sin)，则|MN|就是点N到直线l的距离，（的终边在第一象限且tan=3），当sin(+)=1时，【点评】参数方程里求直线上的点到曲线上的点的最值，一般先利用曲线的参数方程设点，再利用点到直线的距离求出距离的函数表达式，再利用三角函数的图象和性质求解2已知在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M0，1，倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=4sin（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求直线l的参数方程；（2）若直线l被圆C截得的弦长为13，求直线l的倾斜角【答案】（1）C：x2+y2-4y=0，（t为参数）；

8、（2）或【解析】（1）=4sin2=4sin，所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0，直线l的参数方程为（t为参数）（2）将代入t2-2sint-3=0t1+t2=2sin，l被C截得弦长，或【点评】本题考查了极坐标方程与普通方程的互换，直线参数方程中，参数的几何意义，属于中档题3在极坐标系中，圆C的极坐标方程为2=4cos+sin-3，若以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系（1）求圆C的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，Px，y是圆C上的动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标【答案】（1）是参数）；（2）最大值为11，P(3，4)【解析】（1）因为2

9、=4(cos+sin)-3，所以x2+y2-4x-4y+3=0，即(x-2)2+(y-2)2=5为圆C的直角坐标方程，所以圆C的一个参数方程为为参数）（2）由（1）可知点P的坐标可设为(2+5cos，2+5sin)，则x+2y=2+5cos+4+25sin=25sin+5cos+6=5sin(+)+6，其中，当x+2y取最大值时，sin(+)=1，此时，所以x+2y的最大值为11，此时点P的直角坐标为3，4【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式，同角三角函数的基本关系式、圆的参数方程及其应用、三角函数单调性与值域，属于中档题4在平面直角坐标系xOy中，直线l过定点P3，0，倾斜角为，曲线

10、C的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知直线l交曲线C于M，N两点，且，求l的参数方程【答案】（1）；（2）（t为参数）【解析】（1）由，得，x2-2y2=4，即x2-4y2=4，又，即曲线C的极坐标方程为（2）设l的参数方程为（t为参数），代入x2-4y2=4，整理得，设方程的两根分别为t1，t2，则，则，解得，故l的参数方程为（t为参数）【点评】在利用参数的几何意义时，一定要将参数方程化为标准方程5在平面直角坐标系xOy中，曲线C1是圆心在0，2，半径为2的圆，曲线C2的参数方程为（t为参数且），以坐标原点O为极点，

11、x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）若曲线C2与坐标轴交于A、B两点，点P为线段AB上任意一点，直线OP与曲线C1交于点M（异于原点），求的最大值【答案】（1）=4sin；（2）2+1【解析】（1）曲线C1的直角坐标方程为x2+y-22=4，即x2+y2-4y=0，所以曲线C1的极坐标方程为，即=4sin（2）曲线C2的参数方程为，因为曲线C2与两坐标轴相交，所以曲线C2交x轴于点A2，0、交y轴于点B0，2，所以，线段AB的方程为x+y-2=00x2，则线段AB的极坐标方程为，设点P、Q的极坐标分别为P1，、Q2，点P在线段AB上，可得1cos+1sin=2，可得

12、，点Q在曲线C1上，则OM=2=4sin，可得，当时，即当时，取得最大值2+1【点评】在已知直角坐标方程求曲线的交点、距离、线段长度等几何问题时，如果不能直接用直角坐标解决，或用直角坐标解决较为麻烦，可将直角坐标方程转化为极坐标方程解决6在直角坐标系xOy中，直线（t为参数）与曲线（m为参数）相交于不同的两点A，B（1）当时，求直线l与曲线C的普通方程；（2）若MAMB=2MA-MB，其中M3，0，求直线l的倾斜角【答案】（1）l：y=x-3，C：y2=2x；（2）或【解析】（1）当时，直线l的普通方程为y=x-3，曲线C的普通方程为y2=2x（2）将直线，代入y2=2x，得 sin 2t2-

13、2cost-23=0，所以直线l的倾斜角为或【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时t的几何意义的应用，是中档题7在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设A，B为曲线C上不同两点（均不与O重合），且满足，求的最大面积【答案】（1）=4sin；（2）22+2【解析】（1）设曲线C上任意点的极坐标为(，)，由题意，曲线C的普通方程为x2+(y-2)2=4，即x2+y2-4y=0，则，故曲线C的极坐标方程为=4sin（2）设A(1，)，则，故，因为点A，B在曲线C上，则1=4sin，故，故时，

14、取到最大面积为22+2【点评】本题考查参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，其中普通方程与极坐标方程转化的公式为，考查两线段积的取值范围的求法，涉及三角函数的辅助角公式以及三角函数的值域，考查学生转化与化归的思想以及运算求解的能力，属于中档题高频易错题一、解答题1在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=4cos（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l1过点P1，2且与直线平行，直线l1与曲线C1相交于A，B两点，求的值【答案】（1）R；（2）【解析】（1）由(为参数)，

15、消去参数，得曲线C1的普通方程为x2+(y-2)2=4，由，得，得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4x，即(x-2)2+y2=4所以两方程相减可得交线为y=x，所以直线的极坐标方程为R（2）由，得3sin+cos=1，直线l的直角坐标方程x+3y=1，直线l的斜率为，所以直线l1的斜率为，倾斜角为，所以直线l1的参数方程为(t为参数)，将直线l1的参数方程代入曲线C1，x2+(y-2)2=4中，得设A，B两点的参数为t1，t2，t1t2=-3，则t1，t2异号【点评】将参数方程化为普通方程消参的3种方法：（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消参；（2）利用三角恒等式消去参数；（

16、3）根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法从整体上消去参数精准预测题一、解答题1已知曲线C1的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2:=2acosa>0关于C1对称（1）求C1的极坐标方程，C2的直角坐标方程；（2）已知曲线与两坐标轴正半轴交于A、B两点，P为上任一点，求ABP的面积的最大值【答案】（1）；C2:x-42+y2=16；（2）【解析】（1），消去t，得x-y=4又，代入x-y=4，得，所以C1的极坐标方程为；C2:=2acosa>0化为x-a2+y2=a2a>0，又C2关于C1:x-y=4对称，a，0C1

17、，a=4，C2:x-42+y2=16（2）由（1）知a=4，A4，0，B0，23，AB=27，易得lAB:3x+2y-43=0，设P4cos，23sin到lAB的距离为d则，当时，d有最大值【点评】本题关键在于准确运用x=cos，y=sin进行由极坐标方程向直角坐标方程转化，以及利用椭圆的参数方程求点到直线的最值2在直角坐标系xOy中，直线l过点P(0，2)，倾斜角为以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos 2-2sin=0（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，M为AB中点，且满足|PA|，|PM|，|PB|成等

18、比数列，求直线l的斜率【答案】（1）l的参数方程为 (t为参数)，C的直角坐标方程为x2=2y；（2）斜率为±2【解析】（1）因为直线l过点P(0，2)，倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数) 因为cos 2=2sin，所以2cos2=2sin，所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y（2）将直线l的参数方程为(t为参数)，代入x2=2y可得： cos 2t2-2tsin-4=0，设A，B所对应的参数为t1，t2，所以，因为|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，所以，即，解得tan2=4，tan=±2，故直线l的斜率为±2【点评】解题的关键是熟练掌握极坐标与普

19、通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题3在直角坐标系xOy中，已知点M(2，0)，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=0(>0)，点Q是C1与C2的公共点（1）当时，求直线MQ的极坐标方程；（2）当时，记直线MQ与曲线C1的另一个公共点为P，求|MP|MQ|的值【答案】（1）cos+3sin-2=0；（2）3【解析】（1）曲线C1的普通方程是x2+y2=1，当时，点Q的坐标为，直线MQ的普通方程为x+3y-

20、2=0，所以直线MQ的极坐标方程为cos+3sin-2=0（2）当时，点Q的坐标为，所以MQ的斜率为，所以直线MQ的参数方程为(t为参数)，代入x2+y2=1并化简得，设它的两根为t1，t2，则|MP|MQ|=t1t2=3【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义其中第二问解题的关键在于根据题意写出直线MQ的参数方程为(t为参数)，进而利用直线参数方程几何意义求解4在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t，R），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

21、（2）设曲线C1与C2的交点分别为A，B，求OAB的面积的最小值【答案】（1）C1:xsin-ycos-2sin=0，曲线C1表示过点的直线；C2:y2=2x，曲线C2表示抛物线；（2）4【解析】（1）由（t为参数），消去t得C1:ycos=x-2sin，即xsin-ycos-2sin=0，曲线C1表示过点2，0的直线由C2:sin2-2cos=0，得将x=cos，y=sin代入C2的方程得y2=2x，曲线C2表示抛物线（2）由于直线C1过定点2，0，由题意可设C1:x=my+2联立，消去x得y2-2my-4=0设Ax1，y1，Bx2，y2，则y1+y2=2m，y1y2=-4，且C1与x轴的交

22、点为2，0，所以，所以当m=0时，SOAB取得最小值4【点评】本题考查直线的参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，以及直线与抛物线的位置关系，三角形面积的最值问题，属于中档题5数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C：=sin3（R，）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）射线l1，l2的极坐标方程分别为=0，（，>0），l1，l2分别交曲线C于点M，N两点，求的最小值【答案】（1），；（2）4【解析】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立，解得sin3=1，所以，因为，所以取k=0，1，2，得，从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点

23、的极坐标为，（2）将=0，代入C：，点M，N所对应的极径分别为1，2，所以1=sin30，2=-cos30，即，ON2=cos 230，当且仅当 tan 230=1时，取得最小值4【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题维权 声明江西多宝格教育咨询有限公司（旗下网站：好教育http：/wwwjtyhjycom）郑重发表如下声明： 一、本网站的原创内容，由本公司依照运营规划，安排专项经费，组织名校名师创作，经由好教育团队严格审核通校，按设计版式统一精细排版，并进行版权登记，本

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