2021届高三大题优练11 导数恒成立问题（理） 学生版.docx

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1、导数恒成立问题大题优练11优选例题例1已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若，对，都有成立，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），所以，当时，在上单调递增；当时，由，得；由，得；由，得，综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为（2）若，则对都有成立，等价于对都有，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，函数在上是增函数，所以，解得，又，所以，所以实数的取值范围是例2已知函数满足，且曲线在处的切线方程为（1）求，的值；（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值【答案】（1），；（2）3【解析】（1）由已知得，且函数的图象过点，则

2、，解得，（2）由（1）得若在上恒成立，则在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以，从而可得在上恒成立令，则，令，则恒成立，在上为增函数又，所以存在，使得，得，且当时，单调递减；当时，单调递增，则又，所以，代入上式，得又，所以因为，且，所以，故的最大值为3例3已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，都有成立，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由题意，函数，可得，当时，在上单调递减；当时，所以在上单调递减；当时，令，即，解得或；令，即，解得，所以在，单调递增，在单调递减（2）当时，函数，由（1）可知在单调递减，不妨设，则，所以，即，即对任意的成立，所以在单调递减，则，即对

3、恒成立，令，可得，令，即，解得，令，即，解得或，所以在单调递增，在单调递减，当时，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数的取值范围例4已知实数，设函数（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若对任意的，均有，求a的取值范围【答案】（1）极小值，无极大值；（2）【解析】（1）当时，由，解得当时，故在内单调递增；当时，故在内单调递减，函数在取得极小值，无极大值（2）由，则有令，得，当时，不等式显然成立，当时，两边取对数，即恒成立令函数，即在内恒成立由，得故当时，单调递增；当时，单调递减，因此令函数，其中，则，得，故当时，单调递减；当时，单调递增，又，故当时，恒成立，因此恒成立，即当时，对任意的，均有

4、成立模拟优练1已知函数，且（1）求的解析式；（2）设，若对任意，求实数的取值范围2已知函数，（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围3已知三次函数（1）若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求出实数的取值范围4已知函数 ，（1）求函数在上的值域；（2）若，使得，求实数的取值范围5已知且，（1）当时，求的单调区间；（2）设，存在，使成立求实数的取值范围6已知函数（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围参考答案1【答案】（1）；（

5、2）【解析】（1），则，解得，因此，（2）当时，则成立，此时；当时，由题意得恒成立，令，其中，得，以下只需求，当时，单调递减；当时，单调递增所以，所以，综上所述，实数的取值范围是2【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，即，曲线在点处的切线方程为，即（2）由，即对有若对任意，有恒成立，则对任意都有，即下面证明当时，对任意有由题意，当，即时，易知在上单调递增，当时，即在上单调递增，当时，满足条件；当，即时，设，易知函数在上单调递增，而，在上有唯一零点，且，在上单调递减，在上单调递增，设，则，故在上单调递减，所以，满足条件，综上，实数的取值范围为3【答案】（1）；（2）【解析】（1），由题意知，

6、解得，（2）由（1）知，令，得，所以在和上分别单调递增，在上单调递减，而，在区间上，对于区间上任意两个自变量，都有，4【答案】（1）；（2）【解析】（1），因为，所以，即函数为减函数，因为，所以值域为（2）因为，使得，所以，因为，所以，所以，即5【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）【解析】（1）函数的定义域为，由已知，由，得增区间；由，得减区间（2）由已知：，设在上的最大值为，最小值为，依题意：，为增函数，时，递增；时，递减，故，设，在上递增，时，此时；时，此时，当时，设，在上递增，又，所以由，得；当时，由，得，综上：的取值范围是6【答案】（1）极小值，极大值为；（2）【解析】（1）由题意知函数的定义域为，因为，所以，由函数在点处的切线方程为，则，可解得，则，所以，令，解得，所以当时，；当时，；当时，所以在，上单调递增，在上单调递减所以函数的极小值为，函数极大值为（2）当时，不等式可化为，即，令，则，所以原不等式可化为，因为对任意，当时，不等式恒成立，则可知在上单调递减，因为，所以在上恒成立，则在上恒成立，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围为