2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（一）（全国2卷）（解析版）.docx

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1、2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（一）（全国2卷）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合,则（ ）ABCD【答案】C【解析】联立方程组 ,解得,.故选C2设为虚数单位,复数（ ）ABCD【答案】D【解析】.故选D.3在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有（ ）种ABCD【答案】C【解析】由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠军都有3种选取方法,由乘法原理共有

2、种故选C4已知为抛物线上一点,点到的焦点的距离为9,到轴的距离为6,则（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意,故选B5新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：,若,则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）A0.372B0.256C0.128D0.744【答案】C【解析】因为,所以根据正态曲线的对称性知,.故选C.6设为等比数列的前项和,若,则等比数列的公比的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】设等比数列的公比为,因为,所以,因为,所以有,因为,所以,因此要想对于恒成立,只需,而,所以.故选A7已知函数,的部分图象如图所示,的图象过,两点,将的图象向左平移个单位得到的图

3、象,则函数在上的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由图象知,则,将点的坐标代入得,即,又,则,将的图象向左平移个单位得到函数,在上的最小值为,故选A8已知函数（且）,若有最小值,则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由于函数有最小值,则函数在区间上不为增函数,可得.当时,此时函数无最小值；当时,即当时,函数在区间上为减函数,若函数在上为增函数,则,且有,即,解得,此时；若函数在上为减函数,则,且,所以,即,解得,此时.综上所述,实数的取值范围是.故选D.9若,且,则下列结论一定正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为,且,所以,所以对于,故正确；对于,令,显然,故错误；对

4、于,由于,所以,所以,故错误；对于,由于,故正确.故选D.10已知为所在平面内一点,若,则（ ）A-5B-10C10D5【答案】B【解析】由已知得, ,则为的外心.设,垂足分别为,.根据两个向量数量积的几何意义,可知,故选B.11已知是定义在上的单调函数,是上的单调减函数,且,则（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知得,则,所以,所以,则,则,所以又因为是上的单调减函数,所以故选B12已知点在半径为2的球面上,满足,若S是球面上任意一点,则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设外接圆圆心为,三棱锥外接球的球心为,设为中点,连,如图,则,且在上,设外接圆半径为,解得,要使体积的最

5、大,需到平面距离最大,即为的延长线与球面的交点,最大值为,所以三棱锥体积的最大值为故选A二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 已知向量满足,则实数_.【答案】或【解析】可得平行且同向,因为,所以,解得或,经检验,或均合题意,故或.14设曲线上任意一点的切线为l,若l的倾斜角的取值范围是,则实数a=_.【答案】【解析】,当且仅当时等号成立,l的倾斜角的取值范围是,解得.15已知双曲线M：（,）,为等边三角形若点A在y轴上,点B,C在双曲线M上,且双曲线M的实轴为的中位线,则双曲线M的离心率为_【答案】【解析】实轴长为,则,关于轴对称,不妨设在双曲线左支,则其横坐标为,根据为等边三角形,可

6、得,故,将的坐标代入双曲线方程有,则,则,故.16已知单调递增的数列满足、成等比数列,、成等差数列,则的取值范围是_.【答案】【解析】设等差数列、的公差为,则,且,设等比数列、的公比为,则,且,.由题意可得,即,由不等式的基本性质可得,.当时,则,可得,即,此时,由可得,又,此时；当时,则,可得,即,此时,由可得,则,此时.综上所述,的取值范围是.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.（1）求证：为等腰三角形；（2）若面积为,D为

7、中点,求线段的长.解：（1）由,根据正弦定理可得,所以,则,(2分)又,根据余弦定理可得,则,所以,因此为等腰三角形；(6分)（2）因为角是三角形内角,所以,则,因为面积为,所以,解得,所以,(9分)又D为中点,所以,则,整理得,所以.(12分)18.(12分)已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切,分别是椭圆的左右两个顶点,为椭圆上的动点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若与均不重合,设直线与的斜率分别为,证明：为定值.解：（1）由题意可得圆的方程为,因为直线与圆相切,所以,即,又,即,又,解得,所以椭圆方程为.(6分)（2）证明：设,则,即, 则,即,为定值.(1

8、2分)19.(12分) 在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,ADDCAP2,AB1,点E为棱PC的中点（1）求证：BEDC；（2）求直线PC与平面PDB所成角的正弦值（1）证明：依题意,以点为原点建立空间直角坐标系如图：可得,(2分),故,所以.(5分)（2）, 设为平面的一个法向量,则 即,不妨令,可得(9分)设直线PC与平面PDB所成角为 于是有,所以直线与平面所成角的正弦值为.(12分)20.(12分) “花开疫散,山河无恙,心怀感恩,学子归来,行而不缀,未来可期”,为感谢全国人民对武汉的支持,今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募名和名志愿者参与网

9、络云直播.将这名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：厘米).若身高在及其以上定义为“高个子”,否则定义为“非高个子”,且只有文学院的“高个子”才能担任兼职主持人.（1）根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取人,则从这人中选人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；（3）若从所有“高个子”中选名志愿者,用表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数,试写出的分布列,并求的数学期望.解：（1）根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为：,其升高的中位数为：；(3分)（2）由茎叶图可知,“高个子”有人,“非高个子”有人,按照分层抽

10、样抽取的人中“高个子”为人,“非高个子”为人,则从这人中选人,至少有人为高个子的概率；(7分)（3）由题可知：文学院的高个子只有人,则的可能取值为、,故,即的分布列为：所以.(12分)21.(12分) 已知函数（1）若函数在上为增函数,求实数的取值范围；（2）当时,证明：函数有且仅有3个零点解：（1）因为,由函数在上为增函数,则在上恒成立. (2分)令,当时,所以恒成立.所以在为增函数所以所以(5分)（2）由,则所以,是的两个零点因为,由（1）知,函数在上为增函数,无零点所以下面证函数在上有且仅有1个零点(7分)当时,无零点(8分)当时,设,在上递增,又,存在唯一零点,使得当时,在上递减；当时

11、,在上递增所以,函数在上有且仅有1个零点故函数在上有且仅有1个零点(11分)综上：当时,函数有且仅有3个零点(12分) (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4：坐标系与参数方程 (10分)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(的参数).（1）将曲线的极坐标方程的参数方程化为普通方程.（2）设,的交点为,求圆心在极轴上,且经过极点和的圆的极坐标方程.解：（1）, ,即：由可得 ,消去参数,可得即普通方程为.(5分)（2）由,即,设所求圆圆心的直角坐标为 ,其中a >0.则,解得 ,所求圆的半径,所求圆的直角坐标方程为: .即,所求圆的极坐标方程为 . (10分)23选修4-5：不等式选讲 (10分)设函数,.（1）若,求不等式的解集；（2）若函数恰有三个零点,求实数的取值范围.解：（1）若,不等式即,则或或,解得或或,故原不等式的解集为；(10分)（2）由,得,设,在平面直角坐标系中做出的大致图像,如图所示,结合图像分析,可知当,即时,、的图像有三个不同的交点,故函数恰有三个零点时,实数的取值范围是. (10分)