2022届高三数学一轮复习（原卷版）2．5　指数函数.doc

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1、25 指数函数指数函数 1根式 (1)n 次方根：如果 xna，那么 x 叫做 a 的_，其中 n1，且 nN*. 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个_ 数 ， 负 数 的 n 次 方 根 是 一 个_数，这时 a 的 n 次方根用符号_表示 当 n 为 偶 数 时 ， 正 数 的 n 次 方 根 有_ 个 ， 这 两 个 数 互 为_这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号_表示，负的 n 次方根用符号表示正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成_ 负数没有偶次方根 0 的 n(nN*)次方根是_，记作_ (2)根式：式子na叫做根式，这里 n 叫做_，a 叫做_ (3) 根

2、式 的 性 质 ： n为 奇 数 时 ，nan_； n 为偶数时，nan_. 2幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0_.这里a_0. (2)负整数指数幂：an_ (a0，nN*) (3)正分数指数幂：amn_ (a0，m，nN*，且 n1) (4)负分数指数幂：amn_ (a0，m，nN*，且 n1) (5)0 的正分数指数幂等于_，0 的负分数指数幂_ (6)有理指数幂的运算性质 aras（a0，r，sQ），（ar）s（a0，r，sQ），（ab）r（a0，b0，rQ）. 3指数函数的图象及性质 定义 一般地，函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数 图 象 a1 0a1 定义域 _ 值

3、域 _ 性 质 过定点_ 在R上是_ 在 R 上是_ 自查自纠： 1(1)n 次方根 正 负 na 两 相反数 na na na 0 n00 (2)根指数 被开方数 (3)a |a| 2(1)1 (2)1an (3)nam (4)1nam (5)0 没有意义 (6)ars ars arbr 3R (0，) (0，1) 增函数 减函数 ( 2018河南安阳月考 ) 化 简a3b23ab2（a14b12）43ba(a0，b0)的结果是 ( ) A.ba Bab Ca2b D.ab 解 ： 原 式 a3b2a13b23ab2ba13（a103b83）12a23b73a53b43a23b73 ab1a

4、b.故选 D. (2017青岛调研)已知函数 f(x)ax22(a0 且 a1)的图象恒过定点 A，则点 A 的坐标为 ( ) A(0，1) B(2，3) C(3，2) D(2，2) 解：由 a01 知，当 x20，即 x2 时， f(2)3，即图象必过定点(2，3)故选 B. (2017合肥模拟)若 2x5y2y5x， 则有 ( ) Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0 解：设函数 f(x)2x5x，易知 f(x)为增函数，又 f(y)2y5y，由已知得 f(x)f(y)，所以 xy，所以 xy0.故选 B. 函数 y823x(x0)的值域是_ 解：因为 x0，所以x0，所以 3x3，所以

5、 023x238，所以 0823x8，所以函数 y823x的值域为0，8)故填0，8) 设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是_ 解：当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为12a71，即12a8，即12a3.又 a0，所以3a0.当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 a1，所以 0a1. 综上，a 的取值范围为(3，1)故填(3，1) 类型一类型一 指数幂的运算指数幂的运算 (1)27823(0.002) 1210( 52)1( 2 3)0_. 解：原式2782315001210521827235001210( 52)14910 510 520

6、11679.故填1679. (2)化简：1412（ 4ab1）31101 （a3b3）12_. 解：原式2333223322210abab21310185.故填85. (3)已知 a12a123，求下列各式的值 ()aa1；()a2a2；()a2a21aa11. 解：()将 a12a123 两边平方，得 aa129，所以 aa17. ()将 aa17 两边平方， 得 a2a2249，所以 a2a247. ()由()()可得a2a21aa11471716. 点 拨： 指数幂运算的一般原则：指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数

7、底数是负数，先确定符号；底数是小数， 先化成分数； 底数是带分数的， 先化成假分数运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 (1)3213760 81442 2323_. 解：原式2313123421423132.故填 2. (2)化简：4a23b13113323a b_. 解：原式(6)2 13 3a1 13 3b 6a.故填6a. (3)已知 xy12，xy9，且 xy，则x12y12x12y12_. 解 ： 因 为x12y12x12y12（x12y12）2（x12y12）（x12y12）xy2（xy）12xy，又 xy12，xy9，且 x0 且 a1)的图象可能是(

8、 ) A B C D 解： 函数 yax1a是由函数 yax的图象向下平移1a个单位长度得到的，A 项显然错误；当 a1 时，01a1，平移距离小于 1，所以 B 项错误；当 0a1，平移距离大于 1，所以 C 项错误故选D. (2)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_ 解：令|2x2|b0，得|2x2|b，令 y|2x2|，yb，其函数图象有两个交点，结合函数图象可知，0b2，若互不相等的实数a， b， c满足 f(a)f(b)f(c)，则 2a2b2c的取值范围是( ) A(16，32) B(18，34) C(17，35) D(6，7) 解：画出函数 f(x)

9、的图象如图所示 不妨令 abc，由图象可知，ab2，则由 f(a)f(b)得 12a2b1，则 2a2b2.结合图象可得 4c5，故 162c32，所以 182a2b2c34.故选 B. 类型三类型三 指数函数的综合问题指数函数的综合问题 (1)( 2018莆田二十四中模拟 ) 已 知4，2， a(cos)cos， b(sin)cos， c(cos)sin，则 ( ) Aabc Bacb Cbac Dcab 解 ： 因 为 4，2， 所 以 0cos22，cos(cos)cos，根据指数函数的性质，可得(cos)cos(cos)sin，所以 bac.故选 D. (2)函数 y2212xx 的单

10、调递增区间是_ 解：令 tx2x20，得函数的定义域为 1，2，所以 tx2x2 在1，12上单调递增， 在12，2 上单调递减， 根据“同增异减”的原则，函数 y2212xx 的单调递增区间是12，2 .故填 12，2 . (3)(2018珠海模拟)若 xlog521，则函数 y4x2x13 的最小值为 ( ) A4 B3 C1 D0 解：由 xlog521 得 log52xlog515，即 2x15，令 t2x，则有 yt22t3(t1)24，因为 t15，所以当 t1，即 x0 时，函数取得最小值为4.故选 A. 点 拨： 解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数

11、值恒正，在 R 上单调，过定点等；对于底数 a 与 1 的大小关系不明确的，要分类讨论；涉及零点问题往往要数形结合；不同底的往往要化同底，并注意换元思想的应用 (1)(2017河南平顶山一模)已知f(x)是定义在(0， )上的函数对任意两个不相等的正数x1， x2， 都有x2f（x1）x1f（x2）x1x20， 记 af（30.2）30.2，bf（0.32）0.32，cf（log25）log25，则 ( ) Aabc Bbac Ccab Dcba 解：由题意得，x1x2与 x2f(x1)x1f(x2)同号，则 x1x2与x2f（x1）x1f（x2）x1x2(即f（x1）x1f（x2）x2)同号

12、，所以函数f（x）x是(0，)上的增函数，因为130.22，00.322，所以 0.3230.2log25，所以 bac.故选 B. (2)已知函数 f(x)2|2xm|(m 为常数)，若 f(x)在区间2， )上是增函数， 则m的取值范围是_ 解： 令 t|2xm|， 则 t|2xm|在区间m2，上单调递增，在区间，m2上单调递减而 y2t为 R 上的增函数，所以要使函数 f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有m22，即 m4，所以 m 的取值范围是(，4故填(，4 (3)(2018浙江丽水月考)当 x(，1时，不等式(m2m) 4x2x0 恒成立， 则实数 m 的取值范围是_ 解：原

13、不等式变形为 m2m12x，因为函数 y12x在(， 1上是减函数， 所以12x1212，当 x(，1时，m2m12x恒成立等价于m2m2，解得1m2.故填(1，2) 1指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论 2比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量 3作指数函数 yax(a0，且 a1)的图象应抓住三个点1，1a，(0，1)，(1，a) 1(2016 昆明模拟)设 2x8y1，9y3x9，则

14、 xy 的值为 ( ) A18 B21 C24 D27 解：因为 2x8y123(y1)，所以 x3y3，因为 9y32y3x9， 所以 x92y， 解得 x21， y6，所以 xy27.故选 D. 2(2016海南中学模拟)已知函数 f(x)4 2ax1(a0 且 a1)的图象恒过点 P，则点 P 的坐标是 ( ) A(1，6) B(1，5) C(0，5) D(5，0) 解：当 x1 时，f(1)6，与 a 无关，所以函数f(x)42ax1的图象恒过点 P(1，6)故选 A. 3(2017德州一模)已知 a3525，b2535， c2525，则 ( ) Aabc Bcba Ccab Dbc2

15、5，所以b25，所以ac，所以 bca.故选 D. 4已知函数 f(x)12x，ax0，x22x，0 x4的值域是8，1，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(，3 B3，0) C3，1 D3 解：当 0 x4 时，f(x)8，1，当 ax0时，f(x)12a，1 ，所以12a，1 是8，1的子集，即812a1，即3a1，所以 f(x) x19x15651，当且仅当 x19x1，即 x2 时，取等号所以 a2，b1.因此 g(x) 2|x1|，该函数图象由 y2|x|向左平移一个单位得到，结合图象知 A 正确故选 A. 6(2017江淮十校三联)函数 f(x)x2bxc满足 f(x1)f(1x

16、)，且 f(0)3，则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是( ) Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx) Cf(bx)f(cx) D与 x 有关，不确定 解：由 f(x1)f(1x)知，函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，所以 b2，由 f(0)3 知，c3.所以 f(bx)f(2x)，f(cx)f(3x)当 x0 时，3x2x1，结合函数 f(x)在1，)上单调递增，知 f(3x)f(2x)，即f(bx)f(cx)；当 x0 时，3x2x1，所以 f(3x)f(2x)，即 f(bx)f(cx)；当 x0 时，3x2xf(2x)，即 f(bx)0，且 a1)对应的图象如图所示，

17、那么 g(x)_. 解：依题意，f(1)12，所以 a12，所以 f(x) 12x，x0.当 x0.所以 g(x)f(x) 12x2x.故填2x(x0) 8(2018长春模拟)若存在正数 x 使 2x(xa)1成立，则实数 a 的取值范围是_ 解：不等式 2x(xa)1 可变形为 xa12x.在同一平面直角坐标系内作出直线 yxa 与 y12x的图象如图由题意，在(0，)上，直线有一部分在曲线的下方观察可知，有a1.故填(1，) 9设 a0 且 a1，函数 ya2x2ax1 在 1，1上的最大值是 14，求 a 的值 解：令 tax(a0 且 a1)， 则原函数化为 y(t1)22(t0) 当

18、 0a1 时，x1，1，taxa，1a， 此时 f(t)在a，1a上为增函数 所以 f(t)maxf1a1a12214. 解得 a13a15舍去 . 当 a1 时，x1，1，tax1a，a ， 此时 f(t)在1a，a 上为增函数 所以 f(t)maxf(a)(a1)2214， 解得 a3(a5 舍去)综上得 a13或 3. 10已知 f(x)1ax112x3(a0，且 a1) (1)讨论 f(x)的奇偶性； (2)求 a 的取值范围，使 f(x)0 在定义域上恒成立 解：(1)由于 ax10，则 ax1，得 x0，所以函数 f(x)的定义域为x|x0 对于定义域内任意 x，有 f(x)1ax

19、112(x)3ax1ax12(x)311ax112(x)31ax112x3f(x) 所以 f(x)是偶函数 (2)由(1)知 f(x)为偶函数， 所以只需讨论 x0 时的情况 当 x0 时，要使 f(x)0，即1ax112x30， 即1ax1120，即ax12（ax1）0，则 ax1. 又因为 x0，所以 a1.因此 a1 时，f(x)0. 故 a 的取值范围为(1，) 11(2017青岛模拟)已知定义在 R 上的函数f(x)2x12|x|. (1)若 f(x)32，求 x 的值； (2)若 2tf(2t)mf(t)0 对于 t1，2恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)当 x0，所以 x1. (2)当 t 1，2时，不等式为 2t22t122tm2t12t0， 即 m(22t1)(24t1)，因为 t1，2，所以22t10， 所以 m(22t1) 而 t1，2时，(22t1)17，5， 故实数 m 的取值范围是5，) 已知函数 f(x)x1，0 x1，2x12，x1， 设ab0，若 f(a)f(b)，则 b f(a)的取值范围是_ 解：画出函数图象如图所示， 由图象可知要使 ab0，f(a)f(b)同时成立，则12b1，bf(a)b f(b)b(b1)b2bb12214，所以34bf(a)2.故填 34，2 .