2022届高三数学一轮复习（原卷版）6．1　数列的概念与简单表示法.doc

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1、61 数列的概数列的概念与简单表示法念与简单表示法 1数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列， 数列中的每一个数叫做这个数列的_数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做_)，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项所以，数列的一般形式可以写成_， 其中 an是数列的第 n 项，叫做数列的通项常把一般形式的数列简记作an (2)通项公式：如果数列an的_与序号_之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 (3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函数(离散

2、的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列_ (4)数列的递推公式： 如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项_与它的前一项_ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 (5)数列的表示方法有_、_、_、_ 2数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分，分为_、_ (2)按项的增减规律分为_、_、_和_递增数列an1_an；递 减 数 列 an1_an； 常 数 列 an1_an递增数列与递减数列统称为 3数列前 n 项和 Sn与 an的关系 已知 Sn，则 an_（n1）， _（n2） 4常见数列的通项 (1)1，

3、2，3，4，的一个通项公式为 an_ (2)2，4，6，8，的一个通项公式为 an_ (3)3，5，7，9，的一个通项公式为 an_ (4)2，4，8，16，的一个通项公式为 an_ (5)1，1，1，1，的一个通项公式为 an_ (6)1，0，1，0，的一个通项公式为 an_ (7)a，b，a，b，的一个通项公式为 an_ (8)9，99，999，的一个通项公式为 an_ 注：据此，很易获得数列 1，11，111，；2，22，222，；8，88，888，的通项公式分别为19(10n1)，29(10n1)，89(10n1) 自查自纠： 1(1)项 首项 a1，a2，a3，an， (2)第 n

4、项 n (3)函数值 (4)an an1 (5)通项公式法(解析式法) 列表法 图象法 递推公式法 2(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 单调数列 3S1 SnSn1 4(1)n (2)2n (3)2n1 (4)2n (5)(1)n (6)1（1）n12 (7)（ab）（1）n1（ab）2 (8)10n1 数列 0，75，135，6317，的一个通项公式是 an ( ) A(1)n1n31n21 B(1)nn31n21 C(1)n1n31n21 D(1)nn31n21 解：奇数项符号为正，偶数项符号为负，故用 (1)n1或(1)n1调节，135变为2610，观

5、察发现各项分子是立方数减 1，分母是平方数加 1，故得 an(1)n1n31n21故选 A (教材改编题)若数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n21，则 a1a3 ( ) A10 B11 C17 D18 解：a1S1211，a3S3S223222210，所以 a1a311故选 B 在数列an中，a11，an1（1）nan1 (n2)，则 a5 ( ) A32 B53 C85 D23 解：a211a12，a311a212，a41 1a33，a511a423故选 D 已知 Sn是数列an的前 n 项和，且 log3(Sn1)n1，则数列an的通项公式为 an_ 解：由 log3(Sn1)n

6、1，得 Sn3n11，当n1 时，a1S18；当 n2 时， anSnSn12 3n， 所 以 数 列 an 的 通 项 公 式 为an8，n1，23n，n2 故填8，n1，23n，n2 已知 Sn为数列an的前 n 项和，若 a112，且 an122an(nN*)，则 6S100_ 解：由数列的递推公式可得： a222a143， a322a23， a422a32，a522a412a1， 知数列an是周期为 4 的周期数列，则 6S100625124332 425故填425 类型一类型一 数列的通项公式数列的通项公式 根据下面各数列前几项的值， 写出数列的一个通项公式 (1)1，7，13，19

7、， (2)23，415，635，863，1099， (3)12，2，92，8，252， (4)5，55，555，5 555， (5)1，32，13，34，15，36， 解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an(1)n(6n5) (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 13， 35， 57， 79， 911， ，每一项都是两个相邻奇数的乘积故数列的一个通项公式为 an2n（2n1）（2n1） (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再

8、观察即12，42，92，162，252，故数列的一个通项公式为 ann22 (4)将原数列改写为599，5999，59999，易知数列 9，99，999，的通项为 10n1，故数列的一个通项公式为 an59(10n1) (5) 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(1)n； 各项绝对值的分母组成数列 1， 2， 3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 21，偶数项为 21，所以 an(1)n2（1）nn 也可写为 an1n，n为正奇数，3n，n为正偶数 点 拨： 给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑： 熟悉一些常见数列的通项公式，

9、如n， 2n，(1)n，2n，n2，2n1等 分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系 若第 n 项和第 n1 项正负交错， 那么用符号 (1)n或(1)n1来适配 对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳 注意通项公式的形式不一定是惟一的，如数列 1，0，1，0，的通项公式可写成 an1（1）n12或 ansinn2，甚至分段形式 an1，n是奇数，0，n是偶数等 写出下列数列的一个通项公式 (1)1，12，13，14，15， (2)3，5，9，17，33， (3)08，

10、088，0888， (4)23，1，107，179，2611， (5)1，0，13，0，15，0，17，0， 解：(1)an(1)n1n； (2)an2n1； (3)将数列变形为89(101)，89(1001)， 89(10001)，所以 an891110n (4)由于155， 故分母为 3， 5， 7， 9， 11， ，即2n1，分子为 2，5，10，17，26，即 n21符号看作各项依次乘 1， 1， 1， 1， ，即(1)n1，故 an(1)n1n212n1 (5)把数列改写成11，02，13，04，15，06，17，08，分母依次为 1，2，3，而分子 1，0，1，0，周期性出现，因此

11、数列的通项可表示为 an1（1）n12n 类型二类型二 由前由前 n 项和公式求通项公式项和公式求通项公式 (1)若数列an的前n项和Snn210n，则此数列的通项公式为 an_ 解：当 n1 时，a1S11109； 当 n2 时， anSnSn1n210n(n1)210(n1)2n11 当 n1 时，21119a1所以 an2n11 故填 2n11 (2)若数列an的前 n 项和 Sn2n1， 则此数列的通项公式为 an 解：当 n1 时，a1S12113； 当 n2 时， anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1 综 上 有 an3（n1），2n1（n2）故 填3（n1），2n

12、1（n2） (3)已知数列an的首项 a12，其前 n 项和为Sn若 Sn12Sn1，则 an_ 解：由 Sn12Sn1，有 Sn2Sn11(n2)， 两式相减得 an12an， 又 S2a1a22a11，a23， 所以数列an从第二项开始成等比数列， 所以an2，n1，32n2，n2故填2，n1，32n2，n2 点 拨： 任何一个数列， 它的前 n 项和 Sn与通项 an都存在关系：anS1（n1），SnSn1（n2） 若 a1适合 SnSn1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示另外一种快速判断技巧是利用 S0是否为 0 来判断：若 S00，则 a1适合 SnSn1，否则不符合，这在解

13、小题时比较有用 (1)已知下列数列an的前 n 项和 Sn，分别求它们的通项公式 an ()Sn2n23n； ()Sn3nb 解：()a1S1231，当 n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5， a1也适合此等式，所以 an4n5 ()a1S13b， 当 n2 时，anSnSn1 (3nb)(3n1b)2 3n1 当 b1 时，a1适合此等式 当 b1 时，a1不适合此等式 所以当 b1 时，an2 3n1； 当 b1 时，an3b， n1，23n1，n2 (2)设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 an_ 解：因为 an1SnSn1，

14、所以 an1Sn1SnSnSn1，所以Sn1SnSn1Sn1Sn1Sn11，即1Sn11Sn1，又 a11，即1S11a11，所以数列1Sn是首项和公差均为1 的等差数列， 所以1Sn11(n1)n，所以 Sn1nanSnSn11n（n1）(n2)故填1，n1，1n（n1），n2 类型三类型三 由递推公式求通项公式由递推公式求通项公式 写出下面各数列an的通项公式 (1)a12，an1ann1； (2)a11，an1n2nan； (3)a11，an13an2； (4)a12，an1an13an 解：(1)由题意得，当 n2 时，anan1n， 所以 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1

15、) 2(23n)2（n1）（2n）2 n（n1）21 又 a121（11）21，适合上式， 因此 ann（n1）21 (2)由题设知 an0，则an1ann2n， a2a1a3a2a4a3an1an314253n2n， an1a1（n1）（n2）2， 又 a11，则 an1（n1）（n2）2，故 ann（n1）2 (3)方法一：(累乘法) an13an2， 得 an113(an1)， 即an11an13， 所以a21a113，a31a213，a41a313， ，an11an13 将这些等式两边分别相乘得an11a113n 因为 a11，所以an11113n， 即 an123n1(n1)， 所以

16、 an23n11(n2)， 又 a11 也适合上式， 故数列an的一个通项公式为an23n11 方法二：(迭代法) an13an2， 即 an113(an1)32(an11)33(an21) 3n(a11)23n(n1)， 所以 an23n11(n2)， 又 a11 也满足上式， 故数列an的一个通项公式为an23n11 (4)an1an13an， 易知 an0， 两边取倒数得1an131an，即1an11an3，1a112，所以数列1an是以12为首项，3 为公差的等差数列，所以1an3n52，所以 an26n5 点 拨： 已知数列的递推关系求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现

17、 anan1m 时，构造等差数列；当出现 anxan1y 时，构造等比数列；当出现 anan1f(n)时，一般用累加法求通项；当出现anan1f(n)时，一般用累乘法求通项另外， 有些递推关系可通过两边取倒数后转化为等差、等比数列注意检验 n1 时，是否适合所求 写出下面各递推公式表示的数列an的通项公式 (1)a12，an1an1n（n1）； (2)a11，an12nan； (3)a11，an12an1； (4)a123，an12anan2 解： (1)因为当 n2 时， anan11n（n1）1n11n， 所以当 n2 时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a11n11n1n2

18、1n1(1213)112231n 当 n1 时，适合故 an31n (2)因为an1an2n，所以a2a121，a3a222，anan12n1， 将这 n1 个等式叠乘， 得ana1212 (n1)2n（n1）2，所以 an2n（n1）2 当 n1 时，适合故 an2n（n1）2 (3)由题意知 an112(an1)，所以数列an1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an12n，所以 an2n1 (4)由an12anan2知an0， 两边取倒数得1an11an12， 所以1an是以32为首项，12为公差的等差数列，所以1an32(n1)12n22，an2n2 类型四类型四 数列通项的

19、性质数列通项的性质 已知数列an中， an11a2（n1） (nN*，aR，且 a0) (1)若 a7， 求数列an中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的 nN*，都有 ana6成立，求 a的取值范围 解：(1)因为 a7，所以 an112n9 结合函数 f(x)112x9的单调性， 可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*) 所以数列an中的最大项为 a52，最小项为a40 (2)an11a2（n1）112n2a2 因为对任意的 nN*，都有 ana6成立，结合函数 f(x)112x2a2的单调性，知 52a26，所以10a8 故 a 的取值范围为(10，8) 点 拨： 数列是

20、特殊的函数，故研究其前 n 项和或通项的性质时，可充分借助函数，要具备能将公式转化为我们熟知的函数的能力 设函数 f(x)（a2）x，x2，12x1，x2， anf(n)，若数列an是递减数列，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(，2) B，138 C，74 D138，2 解：由题意，知 f(x)(a2)x 在(2，)上是减函数，且 a1a2，所以a2f（2）， 即a2（a2）， 解得 a74故选 C 1已知数列的前几项求数列的通项公式 (1)如果符号正负相间，则符号可用(1)n或 (1)n1来调节 (2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决 (3)对于比较

21、复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、 比较(比较已知的数列)、 归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决 2anS1（n1），SnSn1（n2），注意 anSnSn1的条件是 n2，还须验证 a1是否符合 an(n2)，是则合并，否则写成分段形式 3已知递推关系求通项 掌握先由 a1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想 an的方法，以及“累加法”“累乘法”等 (1)已知a1且anan1f(n)， 可以用“累加法”得： ana1f(2)f(3)f(n1)f(n) (2)已知 a1且anan1f(n

22、)，可以用“累乘法”得： ana1f(2) f(3) f(n1) f(n) 注：以上两式均要求f(n)易求和或积 4数列的简单性质 (1)单调性：若 an1an，则an为递增数列；若 an1an，则an为递减数列 (2)周期性：若 ankan(nN*，k 为非零正整数)，则an为周期数列，k 为an的一个周期 (3)最大值与最小值： 若anan1，anan1， 则 an最大；若anan1，anan1， 则 an最小 1数列 0，23，45，67， 的一个通项公式为( ) Aann1n1(nN*) Bann12n1(nN*) Can2（n1）2n1(nN*) Dan2n2n1(nN*) 解法一：

23、特例淘汰法 令 n1，淘汰 D 选项，令 n2 淘汰 A，B 选项 解法二：数列变形为01，23，45，67，分子、分母都是等差数列， 分子 2(n1)分母 2n1故选 C 2已知数列an的前 n 项和 Snn22n，则a2a18 ( ) A36 B35 C34 D33 解：当 n2 时，anSnSn12n3；当 n1 时，a1S11，所以 an2n3(nN*)，所以a2a1834故选 C 3若数列an满足 a12, a2n1a2n2an1 an，则数列an的前 32 项和为 ( ) A16 B32 C64 D128 解：根据题意，由 a2n1a2n2an1an(nN*)，得(an1an)20

24、，即 an1an由 a12，得 an2，则数列an前 32 项和 S3223264故选 C 4(2016广东3月测试)设 Sn为数列an的前n 项和，且 Sn32(an1)(nN*)，则 an ( ) A3(3n2n) B3n2 C3n D32n1 解：当 n1 时，a13； 当 n2 时，anSnSn132(an1)32(an11)， 得到 an3an1，所以 an3n故选 C 5若数列an中，a13，a26，且 an2 an1an，则 a2 020 ( ) A3 B3 C6 D6 解：因为 an2an1an，所以 an3an2 an1， 两式相加可得 an3an， 于是 an6an， an

25、是以 6 为周期的周期数列，a3a2a13，a4 a3a23，a5a4a36，a6a5a43，故 a2 020a43故选 A 6已知an满足 an1an2n，且 a133，则ann的最小值为 ( ) A21 B10 C172 D212 解：由已知条件可知，当 n2 时， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 33242(n1)n2n33 又 n1 时，a133 满足此式 所以annn33n1 令 f(n)annn33n1，则 f(n)在1，5上为减函数， 在6，)上为增函数，又 f(5)535，f(6)212， 则 f(5)f(6)，故 f(n)ann的最小值为212故选D 7在数列

26、1， 0，19，18， ，n2n2， 中， 008是它的第_项 解：令n2n2008，得 2n225n500，即(2n5)(n10)0解得 n10 或 n52(舍去)即008 是该数列的第 10 项故填 10 8已知函数f(n)n2，n为奇数，n2，n为偶数，且anf(n)f(n1)，则 a1a2a3a2 020_ 解：当 n 为奇数时，anan1n2(n1)2(n1)2(n2)22， 为定值， 所以 a1a2a3a2 02022 02022 020故填 2 020 9根据数列an 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式 (1)7，77，777，7 777， (2)4，52，2，74，85，

27、 (3)3，5，3，5， (4)1，2，2，4，3，8，4，16， 解：(1)将各项改写如下 79(101)，79(1021)，79(1031)，79(1041)， 易知 an79(10n1) (2)将各项绝对值改写如下 41，52，63，74，85， 综合考查分子、分母，以及各项符号可知 an(1)n1n3n (3)an3（n为奇数），5（n为偶数）， 或an（35）（1）n1（35）24(1)n (4)观察数列an可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，所以 ann12（n为奇数），2n2（n为偶数） 10已知数列an的通项公式是 ann2kn4 (1)若 k5，则数列中有多少项是负数？

28、n 为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)对于 nN*，都有 an1an，求实数 k 的取值范围 解：(1)由 n25n40，解得 1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 ann2kn4，可以看作是关于 n 的二次函数， 考虑到 nN*， 所以k23 所以实数 k 的取值范围为(3，) 11Sn为数列an的前 n 项和，已知 an0，a2n2an4Sn3 (1)求an的通项公式； (2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和 解：(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13 可得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即 2(an1an)a2n1a

29、2n(an1an)(an1an) 由于 an0，可得 an1an2 又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13 所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1 (2)由 an2n1 可知 bn1anan11（2n1）（2n3） 1212n112n3 设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnb1b2bn 121315151712n112n3 n3（2n3） 设 Sn为数列an的前 n 项和，2an an13 2n1(n2)，且 3a12a2 (1)证明：数列an2n1 为等比数列； (2)记 Tn为数列1anSn的前 n 项和，若nN*，Tnm，求 m 的最

30、小值 解：(1)证明：由 2anan13 2n1(n2)，得 an2n14an12n134，所以an2n114an12n11 (n2) 由 2anan13 2n1(n2)，且 3a12a2，可得2a2a16，即 2a16，得 a13 所以数列an2n1 是以12为首项，14为公比的等比数列 (2)由(1)知an2n11214n1122n1，所以 an2n(212n1)21n2n 所以 Sn11212n1(222232n)112n1122（12n）122 2n21n， 1anSn121n2n2 2n21n132n， 所以 Tn13121412n13112n13， 因为对nN*，Tnm，所以 m 的最小值为13