2022届高三数学一轮复习（原卷版）8．3　空间点、线、面之间的位置关系.doc

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1、 1 83 空间点、线、面之间的位置关系空间点、线、面之间的位置关系 1平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内它的作用是可用来证明点在平面内或_ (2)公理 2：过_上的三点，有且只有一个平面 公理 2 的推论如下： 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理 2 及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面 (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_过该点的公共直线它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题 2

2、空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线相交直线：同一个平面内，有且只有 .平行直线：同一个平面内， .异面直线：不同在任何一个平面内， . (2)异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线” 异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性 异面直线所成的角： 已知两条异面直线 a， b，经过空间任一点

3、O 作直线 aa， bb， 把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角( 或 夹 角 )异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 是_若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线_，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和_ 3平行公理 公理 4：平行于_的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)它给出了判断空间两条直线平行的依据 4等角定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_ 自查自纠： 1(1)两点 直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条 2(1)一个公共点 没有公共点 没有公共点 (2)0，2 互相垂直 异面垂直 3同一条直线 4相

4、等或互补 若 l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( ) Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3 Cl1l2l3l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 解：易知仅 B 正确故选 B (2018厦门调考)设 a，b，c 是空间中的三条直线，给出以下几个命题： 设 ab，bc，则 ac； 若 a， b 是异面直线， b， c 是异面直线， 则 a，c 也是异面直线； 若 a 和 b 相交，b 和 c 相交，则 a 和 c 也相交 其中真命题的个数是 ( ) A0 B1 C2 D3 解：因为 ab，bc，所以 a 与 c 可能相交、

5、平行、异面，故错因为 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 可能异面、相交、平行，故错由 a，b相交，b，c 相交，则 a，c 可能异面、相交、平行，故错故选 A (2017黑龙江哈师大附中月考)若AOBA1O1B1，且 OAO1A1，OA 与 O1A1的方向相同， 2 则下列结论中正确的是 ( ) AOBO1B1且方向相同 BOBO1B1 COB 与 O1B1不平行 DOB 与 O1B1不一定平行 解：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角故选D 有下列四个命题： 若ABC 在平面 外，它的三条边所在的直线分别交平面 于 P，Q，R，则 P，Q，R 三点

6、共线； 若三条直线 a，b，c 互相平行且分别交直线l 于 A，B，C 三点，则这四条直线共面； 空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面； 若直线 a 不平行于平面 ，且 a，则 内的所有直线与 a 异面 其中正确命题的序号是_ 解：在中，因为 P，Q，R 三点既在平面 ABC上， 又在平面 上， 所以这三点必在平面 ABC 与平面 的交线上， 即 P， Q， R 三点共线， 所以正确在中，因为 ab，所以 a 与 b 确定一个平面 ，而l 上有 A，B 两点在该平面上，所以 l，即 a，b，l 三线共面于 ；同理 a，c，l 三线也共面，不妨设为 ，而 ， 有两条公共的直线 a，l，所

7、以 与 重合，即这些直线共面，所以正确 在中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定 7 个平面，所以错在中，由题设知，a 与 相交，设 aP，如图，在 内过点 P 的直线 l 与 a 共面，所以错故填 (2018广东百校联盟联考)如图，E 是正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长 C1D1上的一点，且 BD1平面 B1CE， 则异面直线 BD1与 CE 所成角的余弦值为_ 解： 不妨设正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 2，连接 BC1，设 B1CBC1O，连接 EO，如图所示，在BC1D1中， 当点 E 为 C1D1的中点时， BD1OE，则 BD1平面 B1CE，据此可得

8、OEC 为直线 BD1与 CE 所成的角 在OEC中， 边长EC 5， OC 2， OE 3， 则OEC 是直角三角形， 即异面直线 BD1与 CE 所成角的余弦值为35155故填155 类型一类型一 基本概念与性质问题基本概念与性质问题 (2017福建闽侯三中月考)ABCD- A1B1C1D1是正方体，在图 1 中，E、F 分别是 D1C1、B1B 的中点，画出图 1、2 中有阴影的平面与平面 ABCD的交线，并给出证明 解： 在图 3 中， 过点 E 作 EN 平行于 B1B 交 CD于点 N， 连接 NB 并延长交 EF 的延长线于点 M， 连接 AM，则 AM 即为有阴影的平面与平面

9、ABCD 的交线 在图 4 中，延长 DC，过点 C1作 C1MA1B 交DC 的延长线于点 M，连接 BM，则 BM 即为有阴影的平面与平面 ABCD 的交线 证明：在图 3 中，因为直线 ENBF，所以 B、N、E、F 四点共面，因此 EF 与 BN 相交，交点为M因为 MEF，且 MNB，而 EF平面 AEF， 3 NB平面 ABCD， 所以 M 是平面 ABCD 与平面 AEF的公共点又因为点 A 是平面 AEF 和平面 ABCD的公共点，故 AM 为两平面的交线 在图 4 中， C1M 在平面 DCC1D1内， 因此与 DC的延长线相交，交点为 M，则点 M 为平面 A1C1B与平面

10、 ABCD 的公共点， 又点 B 是这两个平面的公共点，因此直线 BM 是两平面的交线 点 拨： 本题解题的关键在于构造平面，可考虑过一条直线及另一条直线上的点作平面，进而找出两面相交的交线 如图所示，E，F 分别是正方体ABCD- A1B1C1D1的棱 CC1，AA1的中点，试画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线 解：如图所示，在平面 AA1D1D 内，D1F 与 DA不平行， 分别延长 D1F 与 DA，则 D1F 与 DA 必相交，设交点为 M 因为 MD1F，MDA，D1F平面 BED1F，DA平面 ABCD， 所以 M平面 BED1F平面 ABCD， 又 B平面 BED1F

11、平面 ABCD， 连接 MB，则平面 BED1F平面 ABCDMB 故直线 MB 即为所求两平面的交线 类型二类型二 点共线、线共点问题点共线、线共点问题 如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BGGCDHHC12 (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线 证明：(1)因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EFBD 在BCD 中，因为BGGCDHHC12， 所以 GHBD，所以 EFGH 所以 E，F，G，H 四点共面 (2)因为 EGFHP， PEG，

12、 EG平面 ABC， 所以 P平面 ABC同理 P平面 ADC 所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC平面 ADCAC， 所以 PAC，即 P，A，C 三点共线 点 拨： 证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理 3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线， 然后证明另一点也在直线上证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如

13、变式 2 已知在正方体 ABCD- A1B1C1D1中， E，F 分别为 D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ求证： (1)D，B，F，E 四点共面； (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点 4 证明：(1)如图所示 因 为EF是 D1B1C1的 中 位 线 ， 所 以EFB1D1在正方体 AC1中，B1D1BD，所以EFBD所以 EF，BD 确定一个平面，即 D，B，F，E 四点共面 (2)在正方体 AC1中，设平面 AA1C1C 为 ， 又设平面 BDEF 为 因为 QA1C1，所以Q 又 QEF，所以

14、 Q所以 Q 是 与 的公共点同理， P 是 与 的公共点所以 PQ 又 A1CR，所以 RA1C，R，且 R 则 RPQ，故 P，Q，R 三点共线 (3)因为 EFBD 且 EFBD， 所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M， 则由 MDE，DE平面 D1DCC1， 得 M平面 D1DCC1，同理，点 M平面B1BCC1又平面 D1DCC1平面 B1BCC1CC1，所以 MCC1 所以 DE，BF，CC1三线交于点 M 类型三类型三 共面问题共面问题 如图，已知直线 abc，laA，lbB，lcC求证：直线 a，b，c 和 l 共面 证明：方法一：(辅助平面法) 因为 ab，所以 a，b

15、确定一个平面 因为 Aa，Bb，所以 A，B 又 Al，Bl，所以 l 因为 Cl，所以 C，所以直线 a 与点 C 同在平面 内 又 ac，所以直线 a，c 确定一个平面 因为 Cc，c，所以 C，即直线 a 与点C 同在平面 内， 由公理 2 的推论 1， 可得平面 和平面 重合，则 c 所以 a，b，c，l 共面 方法二：(纳入平面法) 因为 ab，所以 a，b 确定一个平面 因为 Aa，Bb，所以 A，B 又 Al，Bl，所以 l 则 a，b，l 都在平面 内，即 b 在 a，l 确定的平面内 同理可证 c 在 a，l 确定的平面内 因为过 a 与 l 只能确定一个平面， 所以 a，b

16、，c，l 共面于 a，l 确定的平面， 即直线 a，b，c 和 l 共面 点 拨： 证明点、线共面的主要依据是公理 1、公理 2及其推论，常用的方法有：辅助平面法，先证明有关点、线确定平面 ，再证明其余点、线确定平面 ，最后证明平面 ， 重合；纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内 下列如图所示的正方体和正四面体中，P、Q、R、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_(填所有满足条件图形的序号) 解：易知中 PSQR，所以四点共面在中构造如图所示的含点 P，S，R，Q 的正六边形，易知四点共面在中，由点 P，R，Q 确定平面 ，由图象观察知点 S 在平面 外， 因

17、此四点不共面综上知，故填 类型四类型四 异面直线问题异面直线问题 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点问： (1)AM 和 CN 是否为异面直线？并说明理由； (2)D1B 和 CC1是否为异面直线？并说明理由 解：(1)AM 和 CN 不是异面直线，理由如下： 5 如图，连接 A1C1，AC，MN，因为 M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点，所以 MNA1C1 又 A1A 綊 C1C，所以四边形 A1ACC1为平行四边形， 所以 A1C1AC，所以 MNAC，所以 A，M，N，C 在同一个平面内 故 AM 和 CN 不是异面直线 (2)

18、D1B 和 CC1是异面直线，理由如下： 假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内， 则B平面 CC1D1，C平面 CC1D1， 所以 BC平面 CC1D1， 这与 ABCD- A1B1C1D1是正方体相矛盾， 所以假设不成立，故 D1B 和 CC1是异面直线 另解：D1在 CC1D1内，B 不在 CC1D1内，CC1不过 D1 点 拨： 空间两条直线的位置关系共有三种：异面，平行，相交要证两条直线是异面直线，要否定其为平行、相交两种情况，另外，也可由“与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线”证明要证两条直线相交，只要证其共面不平行即可 (2017清原县高级中学月考)

19、在长方体ABCD- A1B1C1D1的 A1C1面上有一点 P(如图所示，其中 P 点不在对角线 B1D1)上 (1)过 P 点在空间作一直线 l，使 l直线 BD，应该如何作图？并说明理由； (2)过 P 点在平面 A1C1内作一直线 m，使 m 与直线 BD 成 角，其中 0，2，这样的直线有几条，应该如何作图？ 解：(1)连接 B1D1，BD，在平面 A1C1内过 P 作直线 l，使 lB1D1，则 l 即为所求作的直线 因为 B1D1BD，lB1D1，所以 l直线 BD (2)在平面 A1C1内作直线 m，使直线 m 与 B1D1相交成 角，因为 BDB1D1，所以直线 m 与直线BD

20、 也成 角，即直线 m 为所求作的直线，如图 由图知 m 与 BD 是异面直线，且 m 与 BD 所成的角 0，2 当 2时，这样的直线 m 有且只有一条，当2时，这样的直线 m 有两条 (2018四川泸州模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD- A1B1C1D1中， O是底面ABCD的中心，E，F 分别是 CC1，AD 的中点，那么异面直线 OE 与 FD1所成的角的余弦值等于 解： 取 BC 的中点 G， 连接 GC1， 则 GC1FD1，再取 GC 的中点 H，连接 HE、OH 因为 E 是 CC1的中点，所以 GC1EH 所以OEH 即为异面直线 OE 与 FD1所成的角 在OEH

21、 中，OE3，HE52，OH52 cosOEHOE2EH155故填155 点 拨： 6 求解本题的关键是作出异面直线所成角，先选择适当的点，如线段的中点或端点，再平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；然后证明所作的角是异面直线所成的角；接着在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形， 并解之； 最后注意取舍，因为异面直线所成角 的取值范围是 0 90，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角 (2018湖南师大附中一模)如图，已知正三棱柱 ABC- A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线 AB1和 A1C 所成角的余弦值为 ( ) A14 B14 C12 D12 解：设正三棱柱

22、 ABC- A1B1C1各条棱长为 1，取AB1中点 M，BC 中点 N，易知所求角为AMN(或其补角)，cosAMN1212342222214故选 A 1判断空间线面关系命题的真假，是一类常见的客观题解这类题，一要准确把握、理解相关概念；二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法；三要借助空间直观如教室就是一个长方体，建议同学们学立体几何时充分借助这一模型 2要重视三种数学语言文字语言、符号语言、图形语言的互译，特别要培养准确使用符号语言的能力在空间图形中，点是最基本的元素，点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，防止出现符号“” “”混用的错误 3求两条异面直线所成角的步

23、骤是：先作图，再证明，后计算作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线，即平移线段法，此法是求异面直线所成角的常用方法，其实质是把异面问题转化为共面问题；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果计算出来的角是钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是0，2 4证明“线共面”或者“点共面”问题时，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内 5证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这

24、些点是两个平面的公共点，根据公理 3 就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线 1下面三条直线一定共面的是 ( ) Aa，b，c 两两平行 Ba，b，c 两两相交 Cab，c 与 a，b 均相交 Da，b，c 两两垂直 解：因为 ab，所以 a，b 确定了一个平面，又 c 与 a，b 均相交，所以 c 只能在 a，b 确定的平面内，即 a，b，c 共面故选 C 2如图，点 P，Q，R，S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS是异面直线的一个图是 ( ) 解：A，B 中 PQ 綊 RS，D 中直线 PQ 与 RS 相交(或 RPSQ)，即直线 PQ 与 RS 共面

25、，均不满足条件；C 中的直线 PQ 与 RS 是两条既不平行，又不相交的直线， 即直线 PQ 与 RS 是异面直线故选 C 3(2018安徽马鞍山质检)如图，在三棱柱ABC- A1B1C1中，AA1底面 A1B1C1，A1B1C1是正三角形， E是BC的中点， 则下列叙述正确的是( ) 7 A直线 CC1与 B1E 是异面直线 BAC平面 ABB1A1 CA1C1平面 AB1E D直线 AE 与 B1C1为异面直线，且 AEB1C1 解：直线 CC1与 B1E 均在平面 BCC1B1内，两直线不是异面直线，故 A 错误； 因为A1B1C1是正三角形，所以ABC 是正三角形，所以CAB60，可知

26、 AC平面 ABB1A1不成立，故 B 错误； 因为 ACA1C1，AC 与平面 AB1E 相交，所以A1C1平面 AB1E 不成立，故 C 错误； 由 ABC 是 正 三 角 形 ， 得 AEBC ， 又AECC1，所以 AE平面 BCC1B1，所以直线 AE与 B1C1为异面直线，且 AEB1C1，故 D 正确故选 D 4(2018云南大理模拟)给出下列命题，其中正确的两个命题是 ( ) 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行； 夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面； 直线 m平面 ，直线 n直线 m，则 n； a，b 是异面直线，则存在唯一的平面 ，使它与

27、 a，b 都平行且与 a，b 的距离相等 A与 B与 C与 D与 解：直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线 m平面 ， 直线 m直线 n， 则直线 n 可能平行于平面， 也可能在平面 内， 因此为假命题故选 D 5(2017抚顺市第六中学月考)如果两条异面直线称为“一对”， 那么在正方体的 12 条棱中， 共有异面直线 ( ) A12 对 B24 对 C36 对 D48 对 解：因为每条棱都有 4 对，但其中都有 2 次重复，故所求为412224故选 B 6( 2017全国卷 ) 已 知 直 三 棱 柱ABC- A1B1C1中，ABC120，AB2，BC

28、 CC11，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 ( ) A32 B155 C105 D33 解：如图所示，将直三棱柱 ABC- A1B1C1补成直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，连接 AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线 AB1与 BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以 AB1 5，AD1 2在B1D1C1中， B1C1D160， B1C11， D1C12， 所以 B1D11222212cos60 3 ， 所 以 cosB1AD15232 5 2105故选 C 7(2018陕西西安期末)如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，

29、M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为_ 解： A， M， C1三点共面， 且在平面 AD1C1B 中，但 C平面 AD1C1B，C1AM，因此直线 AM 与 CC1是异面直线，同理，AM 与 BN 也是异面直线，AM与 DD1也是异面直线，错，正确；M，B，B1三点共面， 且在平面 MBB1中， 但 N平面 MBB1，BMB1， 因此直线BN与MB1是异面直线， 正确故填 8(2017武汉市第十五中学月考)在空间

30、四边形ABCD 中，已知 E、F 分别是 AB、CD 的中点，且EF5，又 AD6，BC8，则 AD 与 BC 所成角的大小是_ 解：如图所示， 8 取 BD 的中点 G，连接 EG，GF，易知直线 AD与 BC 所成的角即EGF又 EF2EG2GF2所以EGF90，则异面直线 AD 与 BC 所成的角为 90故填 90 9( 2017鞍山市第三中学月考 ) 正 方 体ABCD- A1B1C1D1的棱长为 8 cm，M，N，P 分别是AD、A1B1、B1B 的中点 (1)画出过 M，N，P 三点的平面与平面 AC 的交线以及与平面 BC1的交线； (2)设过 M，N，P 三点的平面与 BC 交

31、于点 R，求 PR 的长 解：(1)延长 NP、AB 交于点 Q 则 Q平面 MNP，Q平面 AC 又 M平面 MNP，M平面 AC 所以平面 MNP平面 ACMQ 设 MQBCR则平面 MNP平面 BC1PR (2)因为 P 为 BB1中点， 所以 BQB1N12AB，所以 BR13AM43(cm) 所以 PR BP2BR24310(cm) 10( 2018 合肥模拟 ) 如 图 所 示 ， 正 方 体ABCD- A1B1C1D1的棱长为 2，E，F 分别是棱 DD1，C1D1的中点 (1)求三棱锥 B1A1BE 的体积； (2)试判断直线 B1F 与平面 A1BE 是否平行，如果不平行，请

32、说明理由；如果平行，请在平面 A1BE上作出一条与 B1F 平行的直线，并说明理由 解： (1)VB1A1BEVEA1B1B13SA1B1B DA131222243 (2)B1F平面 A1BE如图，延长 A1E 交 AD 的延长线于点 H， 连接 BH 交 CD 于点 G，连接 EG，则 BG 即为所求理由如下： 因为 A1B平面 CDD1C1，平面 A1BH平面CDD1C1GE，所以 A1BGE又因为 A1BCD1，所以 GECD1， 且 E 为 DD1的中点， 所以 G 为 CD的中点，又 F 为 C1D1中点，所以 BGB1F，则 BG即为所求 11(2018榆林高三模拟)如图所示，在四

33、棱锥 P- ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60， 对角线 AC与 BD交于点O， PO平面ABCD，PB 与平面 ABCD 所成角为 60 (1)求四棱锥 P- ABCD 的体积； (2)若 E 是 PB 的中点， 求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值 解：(1)在四棱锥 P- ABCD 中， 因为 PO平面 ABCD， 所以PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，即PBO60 在 RtAOB 中，因为 AB2， 所以 BOABsin301 在 RtPOB 中，因为 POOB，所以 POBO tan60 3， 因为底面菱形的面积 S21222322 3， 所以四棱锥

34、 P- ABCD 的体积 VPABCD132 3 32 (2)如图所示，取 AB 的中点 F，连接 EF，DF 因为 E 为 PB 的中点， 9 所以 EFPA， 所以DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角(或其补角) AOAB cos30 3OP， 在 RtPOA 中，PA 6，EF62 在正ABD 和正PDB 中，DFDE 3， 由余弦定理得 cosDEFDE2EF2DF22DEEF（ 3）2622（ 3）22 36224 所以异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为24 (2017新宾县高级中学月考)如图所示，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，若 PQ 与 CB 的延长线交于点

35、 M，RQ 与 DB 的延长线交于点 N， RP 与 DC 的延长线交于点 K给出以下说法： 直线 MN平面 PQR； 点 K 在直线 MN 上； M，N，K，A 四点共面 其中说法正确的是_ 解： 因为 PQ 在平面 PQR 内， M 在直线 PQ 上，所以 M 在平面 PQR 内，因为 RQ 在平面 PQR 内，N 在直线 RQ 上，所以 N 在平面 PQR 内，所以直线MN平面 PQR，故正确 因为 M 在直线 CB 上，而 CB 在平面 BCD 内，所以 M 在平面 BCD 内，由知 M 在平面 PQR 内，所以 M 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线上， 同理可知 N，K 也在平面 PQR 与平面 BCD 的交线上，所以 M，N，K 三点共线，所以正确 因为 M， N，K 三点共线， 所以 M， N，K， A 四点共面，故正确故填 10