专题07 三角函数 7.3三角函数图像与性质 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）.docx

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1、专题七 三角函数讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(kZ)上是递增函数，在(kZ)上是递减函数在2k，2k(kZ)上是递增函数，在2k，2k(kZ)上是递减函数在(kZ)上是递增函数周期性周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是k(kZ且k0)，最小正周期是对称性对称轴是xk(kZ)，对称中心是(k，0)(kZ)对称轴是xk(kZ)，对称中心是(kZ)对称中心是(kZ)题型一. 三角函

2、数图像的伸缩变换1要得到函数y3sin（2x+3）的图象，只需要将函数y3cos2x的图象（）A向右平行移动12个单位 B向左平行移动12个单位C向右平行移动6个单位 D向左平行移动6个单位【解答】解：函数y3sin（2x+3）3cos2（2x+3）3cos（62x）3cos（2x6）3cos2（x12），故把函数y3cos2x的图象向右平行移动12个单位，可得函数y3sin（2x+3）的图象，故选：A2（2017新课标）已知曲线C1：ycosx，C2：ysin（2x+23），则下面结论正确的是（）A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线

3、C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2【解答】解：曲线C2：ysin（2x+23）cos（2x+6），把C1：ycosx上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得ycos2x的图象；再把得到的曲线向左平移12个单位长度，可以得到曲线C2：ycos（2x+6）sin（2x+23）的图象，故选：D3（2021春闵行区校级期中）

4、函数ycos（2x+）的图象向右平移2个单位长度后与函数ysin（2x+23）的图象重合，则|的最小值为56【解答】解：函数ycos（2x+）的图象向右平移2个单位长度后得到f（x）cos（2x+）cos（2x+）sin（2x+32）由于与函数ysin（2x+23）的图象重合，所以+32=2k+3，整理得：2k76，所以|的最小值为56故答案为：564（2016春南通期末）将函数f(x)=sin(x+)，(0，22)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4个单位长度得到ysinx的图象，则f(6)=32【解答】解：将函数f(x)=sin(x+)，(0，22)图象上每一点的

5、横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得ysin（2x+）的图象；再把图象向右平移4个单位长度得到ysin2（x4）+sin（2x2+）的图象再根据所得图象为 ysinx，2=12+=0，求得=12，且 =4，f（x）sin（12x+4），则f(6)=sin（12+4）sin3=325（2015湖南）将函数f（x）sin2x的图象向右平移（02）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|2的x1、x2，有|x1x2|min=3，则（）A512B3C4D6【解答】解：因为将函数f（x）sin2x的周期为，函数的图象向右平移（02）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x

6、1）g（x2）|2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1x2|min=3，不妨x1=4，x2=712，即g（x）在x2=712，取得最小值，sin（2×7122）1，此时=6，不合题意，x1=34，x2=512，即g（x）在x2=512，取得最大值，sin（2×5122）1，此时=6，满足题意另解：f（x）sin2x，g（x）sin（2x2），设2x12k+2，kZ，2x22=2+2m，mZ，x1x2=2+（km），由|x1x2|min=3，可得2=3，解得=6，故选：D题型二. 已知图像求解析式1图是函数yAsin（x+）（xR）在区间6，56上的图象，为了得

7、到这个函数的图象，只要将ysinx（xR）的图象上所有的点（）A向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图象可知函数的周期为，振幅为1，所以函数的表达式可以是ysin（2x+）代入（6，0）可得的一个值为 3，故图象中函数的一个表达式是ysin（2x+3），即ysin2（x+6），所以只需将ysinx（xR）的图象上所有的点向左平移 3个

8、单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变故选：A2已知函数y=sin(x+)(0，|2)的部分图象如图所示，则（）A=2，=4B=2，=4C=，=4D=，=4【解答】解：结合图象5232=1，是14个周期，故T4，故=24=2，而ysin（2×32+）1，解得：=4，故选：A3已知函数f（x）Acos（x+）的图象如图所示，f（2）=23，则f（0）（）A23B12C23D12【解答】解：由题意可知，此函数的周期T2（1112712）=23，故2=23，3，f（x）Acos（3x+）f（2）Acos（32+）Asin=23又由题图可知f（712）Acos（3&#

9、215;712+）Acos（14）=22（Acos+Asin）0，f（0）Acos=23故选：C4已知函数f（x）Atan（x+）（0，|2）的部分图象如图所示，下列关于函数g（x）Acos（x+）（xR）的表述正确的是（）A函数g（x）的图象关于点（4，0）对称B函数g（x）在8，38递减C函数g（x）的图象关于直线x=8对称D函数h（x）cos2x的图象上所有点向左平移4个单位得到函数g（x）的图象【解答】解：根据函数f（x）Atan（x+）（0，|2）的部分图象知，最小正周期为T2×（388）=2，=T=2；又8+=2+k，kZ，=4+k，kZ；=4，f（0）Atan4=A1，

10、函数g（x）cos（2x+4）；x=4时，g（4）cos（2+4）=220，g（x）的图象不关于点（4，0）对称，A错误；x8，38时，2x+40，g（x）在8，38上单调递减，B正确；x=8时，g（8）cos（4+4）0，g（x）的图象不关于直线x=8对称，C错误；h（x）cos2x的图象上所有点向左平移4个单位，得h（x+4）cos2（x+4）cos（2x+2）的图象，不是函数g（x）的图象，D错误故选：B题型三. 三角函数的性质考点1.单调性1函数ysin（2x+3）的单调递减区间是（）Ak12，k+512，kZB2k12，2k+512，kZCk6，k+56，kZD2k6，2k+56，k

11、Z【解答】解：函数ysin（2x+3）sin（2x3），故本题即求函数ysin（2x3） 的增区间令2k22x32k+2，kz，求得k12xk+512，kZ，故函数ysin（2x3） 的增区间为k12，k+512，kZ，故选：A2已知函数f(x)=Asin(x+)(A0，20)在x=56时取得最大值，则f（x）在，0上的单调增区间是（）A，56B56，6C3，0D6，0【解答】解：因为函数f（x）Asin（x+）（A0）在x=56取最大值所以可得，Asin(56+)=Asin（56+）1又因为20 所以 =3而f(x)=Asin(x3)（A0）与ysin（x3）的单调性相同且，0故函数在6，0

12、上单调递增，在，6上单调递减故选：D3已知函数f（x）sin（2x+3）在区间0，a（其中a0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）Aa|0a12Ba|0a2Ca|ak+12，kN*Da|2ka2k+12，kN*【解答】解：由2+2k2x+32+2k，得512+kx12+k，kZ取k0，得512x12，则函数数f（x）sin（2x+3）的一个增区间为512，12函数f（x）sin（2x+3）在区间0，a（其中a0）上单调递增，0a12故选：A4已知0，函数f（x）sin（x+4）在区间（2，）上单调递减，则实数的取值范围是（）A12，54B12，34C(0，12D（0，2【解答】解：法一：令：

13、=2(x+4)54，94不合题意 排除（D）=1(x+4)34，54合题意 排除（B）（C）法二：(2)2，(x+4)2+4，+42，32得：2+42，+4321254故选：A考点2.周期性、奇偶性、对称性1已知函数f（x）cos2x+sin2（x+6），则（）Af（x）的最小正周期为，最小值为12Bf（x）的最小正周期为，最小值为12Cf（x）的最小正周期为2，最小值为12Df（x）的最小正周期为2，最小值为12【解答】解：函数f（x）cos2x+sin2（x+6）=1+cos2x2+1cos(2x+3)2=1+12cos2x12cos（2x+3）1+1212cos2x+34sin2x1+1

14、2cos（2x3），故函数f（x）的最小正周期为22=，最小值为112=12，故选：A2已知f（x）sin2x+|sin2x|（xR），则下列判断正确的是（）Af（x）是周期为2的奇函数Bf（x）是值域为0，2周期为的函数Cf（x）是周期为2的偶函数Df（x）是值域为0，1周期为的函数【解答】解：若2k2x2k+，即kxk+2时，sin2x0，f（x）sin2x+|sin2x|2sin2x；若2k+2x2k+2，即k+2xk+时，sin2x0，f（x）sin2x+|sin2x|0，作出函数图象，如下图：根据图象可知f（x）为周期函数，最小正周期为，函数的值域为0，2故选：B3将函数ysin2x

15、3cos2x的图象沿x轴向右平移a个单位（a0）所得图象关于y轴对称，则a的最小值是（）A712B4C12D6【解答】解：将函数ysin2x3cos2x的图象沿x轴向右平移a个单位（a0），得到的函数：ysin2（xa）3cos2（xa）sin（2x2a）3cos（2x2a）2sin（2x2a3），所得图象关于y轴对称，2a+3=2+k（kz），解得a=12+k2（kz），a的最小值是12故选：C4已知函数f（x）asinxbcosx（ab0，xR）在x=4处取得最大值，则函数yf（4x）是（）A偶函数且它的图象关于点（，0）对称B偶函数且它的图象关于点(32，0)对称C奇函数且它的图象关于点

16、(32，0)对称D奇函数且它的图象关于点 （，0）对称【解答】解：将已知函数变形f（x）asinxbcosx=a2+b2sin（x），其中tan=ba又f（x）asinxbcosx在x=4处取得最大值，4=2+2k（kZ）得=42k（kZ），f（x）=a2+b2sin（x+4），函数y=f(4x)=a2+b2sin（2x）=a2+b2cosx，函数是偶函数且它的图象关于点(32，0)对称故选：B考点3.三角函数性质综合1（2019天津）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）是奇函数，将yf（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）若g（x

17、）的最小正周期为2，且g（4）=2，则f（38）（）A2B2C2D2【解答】解：f（x）是奇函数，0，则f（x）Asin（x）将yf（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）即g（x）Asin（12x）g（x）的最小正周期为2，212=2，得2，则g（x）Asinx，f（x）Asin2x，若g（4）=2，则g（4）Asin4=22A=2，即A2，则f（x）2sin2x，则f（38）2sin（2×38=2sin34=2×22=2，故选：C2（2015天津）已知函数f（x）sinx+cosx（0），xR，若函数f（x）在区间（，）内

18、单调递增，且函数yf（x）的图象关于直线x对称，则的值为2【解答】解：f（x）sinx+cosx=2sin（x+4），函数f（x）在区间（，）内单调递增，02k2x+42k+2，kZ可解得函数f（x）的单调递增区间为：2k34，2k+4，kZ，可得：2k34，2k+4，kZ，解得：02342k且022k+4，kZ，解得：18k38，kZ，可解得：k0，又由x+4=k+2，可解得函数f（x）的对称轴为：x=k+4，kZ，由函数yf（x）的图象关于直线x对称，可得：2=4，可解得：=2故答案为：23（2014大纲版）若函数f（x）cos2x+asinx在区间（6，2）是减函数，则a的取值范围是（，

19、2【解答】解：由f（x）cos2x+asinx2sin2x+asinx+1，令tsinx，则原函数化为y2t2+at+1x（6，2）时f（x）为减函数，则y2t2+at+1在t（12，1）上为减函数，y2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=a4a412，解得：a2a的取值范围是（，2故答案为：（，24（2016新课标）若函数f（x）x13sin2x+asinx在（，+）单调递增，则a的取值范围是（）A1，1B1，13C13，13D1，13【解答】解：函数f（x）x13sin2x+asinx的导数为f（x）123cos2x+acosx，由题意可得f（x）0恒成立，即为123cos2x

20、+acosx0，即有5343cos2x+acosx0，设tcosx（1t1），即有54t2+3at0，当t0时，不等式显然成立；当0t1时，3a4t5t，由4t5t在（0，1递增，可得t1时，取得最大值1，可得3a1，即a13；当1t0时，3a4t5t，由4t5t在1，0）递增，可得t1时，取得最小值1，可得3a1，即a13综上可得a的范围是13，13另解：设tcosx（1t1），即有54t2+3at0，由题意可得54+3a0，且543a0，解得a的范围是13，13故选：C5（2013安庆二模）已知函数f（x）sin（x+6），其中0，若f（6）f（3），且f（x）在区间（6，3）上有最小值、

21、无最大值，则等于（）A403B283C163D43【解答】解：对于函数f（x）sin（x+6），由f（6）f（3），可得函数的图象关于直线x=6+32=4 对称，再根据f（x）在区间（6，3）上有最小值、无最大值，可得4+6=32，求得=163，故选：C6（2014北京）设函数f（x）Asin（x+）（A，是常数，A0，0）若f（x）在区间6，2上具有单调性，且f（2）f（23）f（6），则f（x）的最小正周期为【解答】解：由f（2）f（23），可知函数f（x）的一条对称轴为x=2+232=712，则x=2离最近对称轴距离为7122=12又f（2）f（6），则f（x）有对称中心（3，0），由于

22、f（x）在区间6，2上具有单调性，则2612TT23，从而7123=T4T故答案为：题型四. 三角函数最值 1函数f（x）=15sin（x+3）+cos（x6）的最大值为（）A65B1C35D15【解答】解：函数f（x）=15sin（x+3）+cos（x6）=15sin（x+3）+cos（x+6）=15sin（x+3）+sin（x+3）=65sin（x+3）65故选：A2函数f（x）cos（x+3）（0）在0，内的值域为1，12，则的取值范围为（）A32，53B23，43C23，+)D23，32【解答】解：函数f（x）cos（x+3）（0），当x0，时，f（x）1，12，1cos（x+3）12

23、，结合余弦函数的性质，则+353，解得2343，的取值范围是23，43故选：B3已知函数f（x）cos2x+sinx，则下列说法中正确的是（）Af（x）的一条对称轴为x=4Bf（x）在（6，2）上是单调递减函数Cf（x）的对称中心为（2，0）Df（x）的最大值为1【解答】解：对于A，f（2x）cos2（2x）+sin（2x）cos（2x）+cosxcos2x+cosxf（x），所以x=4不是f（x）的对称轴，故A错误；对于B，f（x）2sin2x+cosx4sinxcosx+cosxcosx（14sinx），当x（6，2）时，cosx0，12sinx1，所以314sinx1，所以f（x）0，f

24、（x）单调递减，故B正确；对于C，f（x）+f（x）cos2（x）+sin（x）+cos2x+sinx2cos2x+2sinx2f（x）0，所以（2，0）不是f（x）的对称中心，故C错误；对于D，f（x）cos2x+sinx12sin2x+sinx，令tsinx1，1，则y2t2+t+1，当t=14时，函数取得最大值为2×(14)2+14+1=98，所以f（x）的最大值为98，故D错误故选：B4若0x3，则函数ysinx+cosx+sinxcosx的值域为（1，12+2【解答】解：令sinx+cosxt，则sinxcosx=t212，ysinxcosx+sinx+cosxt+t212

25、=12t2+t12=12（t+1）21x（0，3，tsinx+cosx=2sin（x+4）（1，2ymax=12+2，x0时，y1函数ysinx+cosx+sinxcosx的值域为：（1，12+25已知函数f(x)=2sinxcos2(x24)sin2x(0)在区间25，56上是增函数，且在区间0，上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是（）A(0，35B12，35C12，34D12，52)【解答】解：由f(x)=2sinxcos2(x24)sin2x(0)，化简，f（x）sinx（1+sinx）sin2xsinx，由x=2+2k，kz，即x=2+2k=2(1+4k)时，取得最大值1，因为x0，

26、上恰好取得一次最大值，所以k0，20，所以12，f（x）在区间25，56上是增函数，根据题意256，即35，结合上面所述，12，35，故选：B6已知函数f（x）cosxsin（x+3）3cos2x+34，xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在闭区间0，2上的最大值和最小值及相应的x值；（3）若不等式|f（x）m|2在x0，2上恒成立，求实数m的取值范围【解答】解：（1）由已知，有：f（x）cosx（12sinx+32cosx）3cos2x+34=12sinxcosx32cos2x+34=14sin2x34cos2x=12sin（2x3），（3分）所以f（x）的最小正周期T=22=

27、（4分）（2）x0，2，2x33，23f（x）minf（0）=34，f（x）maxf（512）=12（8分）（3）x0，2，32x323，3412sin（2x3）12，f（x）max=12，f（x）min=34不等式|f（x）m|2f（x）2mf（x）+2|f（x）m|2在x0，2上恒成立mf（x）max2且mf（x）min+232m234，即：m的取值范围是（32，234），m的取值范围（32，234）（12分）题型五.三角函数零点1已知函数f（x）sinx3cosx（0），若方程f（x）1在（0，）上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为72256【解答】解：函数f（x）sinx3cosx

28、（0），2sin（x3），令2sin（x3）1，解得：x3=6+2k，或x3=76+2k（kZ），所以：x=6+2k或x=32+2k（kZ），设直线y1与yf（x）在（0，+）上从左到右的第四个交点为A第五个交点为B，则：xA=32+2，xB=6+4由于方程f（x）1在（0，）上有且只有四个实数根，则：xAxB，即：32+26+4，解得：72256故答案为：722562已知函数f（x）=3sinxcosx+cos2x12，（0，xR），若函数f（x）在区间（2，）内没有零点，则的取值范围（）A（0，512B（0，51256，1112C（0，58D（0，561112，1）【解答】解：函数f（x）

29、=3sincosx+cos2x12，=32sin2x+1+cos2x212，=sin(2x+6)，函数f（x）在区间（2，）内没有零点，所以：f(2)f()0，即：sin(+6)sin(2+6)0，所以：sin(+6)0sin(2+6)0，解得：(0，512，sin(+6)0sin(2+6)0，解得：56，1112，综上所述：（0，51256，1112，故选：B3函数f(x)=2sin(2x+6)(0)图象上有两点A（s，t），B（s+2，t）（2t2），若对任意sR，线段AB与函数图象都有五个不同交点，若f（x）在x1，x2和x3，x4上单调递增，在x2，x3上单调递减，且x4x3=x2x1

30、=23(x3x2)，则x1的所有可能值是6+k，kZ【解答】解：由于|AB|2且线段AB与函数图象都有五个不同交点，则2T2×22=2，即1，则f（x）2sin（2x+6），由题意得x3x2=T2=2，则x4x3=x2x1=23(x3x2)=23×2=3，即x1x23，若f（x）在x1，x2和x3，x4上单调递增，在x2，x3上单调递减，f（x）在x2处取得最大值，即f（x2）2sin（2x2+6）2，即sin（2x2+6）1，则2x2+6=2k+2，得x2k+6，则x1x23=k+63=k6，kZ，故答案为：x1k6，kZ课后作业. 三角函数的图像与性质1函数f（x）As

31、in（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）Asinx的图象，只需将函数yf（x）的图象（）A向左平移3个单位长度B向左平移12个单位长度C向右平移3个单位长度D向右平移12个单位长度【解答】解：根据函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象，可得A2，122=3+6，2再根据五点法作图可得2×3+=2，求得=6，f（x）2sin（2x6）为了得到g（x）Asinx2sin2x的图象，只需将函数yf（x）2sin（2x6）的图象向左平移12个单位长度，故选：B2关于函数y2sin（3x+4）+1，下列叙述正确的是（）A其图象关于直线x=4对称B其图象关

32、于点（12，1）对称C其值域是1，3D其图象可由y2sin（x+4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到【解答】解：因为sin3×(4)+41，y取得最小值，故x=4是对称轴，故A正确；因为sin(3×12+4)=10，故(12，1)不是对称中心，故B错误；因为sin（3x+4）1，1，故2sin（3x+4）+11，3，故C正确；由y2sin（x+4）+1到y2sin（3x+4）+1系数中，只有x的系数变成了原来的3倍，故所有点的横坐标变成原来的13，故D正确故选：ACD3已知函数f（x）（12a3）sinx+（32a+1）cosx，将f（x）的图象向右平移3个单位长

33、度得到函数g（x）的图象，若对任意xR，都有g（x）g（4），则a的值为2【解答】解：f（x）（12a3）sinx+（32a+1）cosxasin（x+3）2sin（x6），将f（x）的图象向右平移3个单位长度得到函数g（x）asinx2sin（x2）asinx+2cosx，因为对任意xR，都有g（x）g（4），所以a2+4=22a+2，解得a2；故答案为：24已知函数f（x）sin（x+）（1，0）是R上的偶函数，其图象关于点M（34，0）对称，且在区间0，2上是单调函数，则和的值分别为（）A23，4B2，3C2，2D103，2【解答】解：由f（x）是偶函数，k+2，0，当k0时，=2，f（

34、x）sin（x+2）cosx，f（x）图象上的点关于M（34，0）对称，f（34）cos340，故34k+2，kZ，即=23（2k+1），f（x）在区间0，2上是单调函数，可得2122=，即2又=23（2k+1），1当k1时可得2故选：C5已知函数f（x）sin（x+），其中0，|2，4为f（x）的零点：且f（x）|f（4）|恒成立，f（x）在区间（12，24）上有最小值无最大值，则的最大值是（）A11B13C15D17【解答】解：由题意知函数f（x）sin（x+）（0，|2），x=4 为yf（x）图象的对称轴，x=4为f（x）的零点，2n142=2，nN*，2n+1，nN*，f（x）在区间（

35、12，24）上有最小值无最大值，周期T（24+12）=8，即28，16要求的最大值，结合选项，先检验15，当15时，由题意可得4×15+k，=4，函数为yf（x）sin（15x4），在区间（12，24）上，15x4（32，38），此时f（x）在15x4=2时取得最小值，15满足题意则的最大值为15，故选：C6已知函数f（x）2sin（x6）sin（x+3）（0），若函数g（x）f（x）+32在0，2上有且只有三个零点，则的取值范围为（）A2，113）B（2，113）C73，103）D（73，103）【解答】解：f（x）2sin（x6）sin（x+3）2sin（x2+3）sin（x+3）2cos（x+3）sin（x+3）sin（2x+23），由g（x）f（x）+32=0得f（x）=32，即sin（2x+23）=32，得sin（2x+23）=32，0x2，02x，则232x+23+23，sin23=32，要使sin（2x+23）=32，在0x2上有三个根，23+2+233+4，得2113，即2113，即的取值范围是2，113），故选：A