人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：分布列.docx

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1、分布列知识讲解一、离散型随机变量及其分布列1.离散型随机变量定义：如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量随机变量常用大写字母表示如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量2.离散型随机变量的分布列定义：将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列二、超几何分布定义：一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为：，为和中较小的

2、一个我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，的超几何分布在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列三、条件概率1.条件概率的定义：对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号“”来表示2.条件概率公式：其中称为事件与的积或交（或积）把由事件与的交（或积），记做（或）3.条件概率的求法：1）利用定义，分别求出和，得2）借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，即再求事件，得4.条件概率具有的性质：1）；2）如果B和C是两个互斥事件，则四、相互独立事件事件的独立性：如果事件（或）是否发生对

3、事件（或）发生的概率没有影响，这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件如果事件与相互独立，那么事件发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即如果事件，相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立五、二项分布1.独立重复试验定义：如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为2.二项分布定义：若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件

4、恰好发生次的概率是，其中于是得到的分布列由于表中的第二行恰好是二项展开式各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作二项分布的均值与方差：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则均值，方差六、离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，这些值对应的概率是，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平七、离散型随机变量的方差定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，这些值对应的概率是，则叫做这个离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值

5、相对于期望的平均波动的大小（离散程度）标准差：的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量期望：为随机变量，为常数，则；经典例题一选择题（共8小题）1随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，则D的最大值为（）A23B59C29D34【解答】解：a，b，c成等差数列，由随机变量的分布列，得：&0a1&0b1&0c1&a+b+c=1&2b=a+c，解得b=13，a=13-d，b=13+d，E（）=-1×(13-d)+0×13+1×(13+d)=2d，D（）=（12d）2&

6、#215;（13-d）+（02d）2×13+（12d）2×（13+d）=23-4d2当d=0时，D取最大值为23故选：A2某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）P（X=6），则p=（）A0.7B0.6C0.4D0.3【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足XB（10，p），P（x=4）P（X=6），可得C104p4(1-p)6C106p6(1-p)4，可得12p0即p12因为DX=2.4，可得10p（1p）=2.4，解得p=0.6或p

7、=0.4（舍去）故选：B3设a，b，c是不全相等的实数，随机变量取值为a，b，c的概率都是13，随机变量取值为a+b2，b+c2，c+a2的概率也都是13，则（）AEE，DDBE=E，DDCEE，D=DDE=E，D=D【解答】解：随机变量取值为a，b，c的概率都是13，E=13（a+b+c）；设t=13（a+b+c），则D=13（at）2+（bt）2+（ct）2=13a2+b2+c22（a+b+c）t+3t2=13a2+b2+c26t+3t2；随机变量取值为a+b2，b+c2，c+a2的概率都是13，E=13（a+b2+b+c2+c+a2）=13（a+b+c），D=13(a+b2-t)2+(b

8、+c2-t)2+(c+a2-t)2=13(a+b2)2+(b+c2)2+(c+a2)26t+3t2；由a，b，c是不全相等的实数，（a2+b2+c2）(a+b2)2+(b+c2)2+(c+a2)2=(a-b2)2+(b-c2)2+(c-a2)20，a2+b2+c2(a+b2)2+(b+c2)2+(c+a2)2，DD；综上，E=E，DD故选：B4已知甲盒中有m个红球，n个蓝球，乙盒中有n个红球，m个蓝球（mn3），若同时从甲、乙两盒中随机取出2个球进行互换，互换后记甲盒中红球的个数为1，若先从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，再从乙盒中随机取出2个球放入甲盒中，互换后记甲盒中红球的个数为2，则AE

9、（1）E（2）BE（1）=E（2）CE（1）E（2）D以上情况都有可能【解答】解：由题意设甲中有4个红球，3个蓝球，乙盒中有3个红球，4个蓝球，则1的可能取值为2，3，4，5，6，P（1=2）=C42C72×C42C72=449，P（1=3）=C41C31C72×C42C72+C42C72×C41C31C72=1649，P（1=4）=C32C72×C42C72+C42C72×C32C72+C41C31C72×C31C41C72=2049，P（1=5）=C32C72×C31C41C72+C31C41C72×C32C7

10、2=849，P（1=6）=C32C72×C32C72=149，E（1）=2×449+3×1649+4×2049+5×849+6×149=182493.712的可能取值为2，3，4，5，6，P（2=2）=C42C72×C42C92=6126，P（2=3）=C42C72×C51C41C92+C41C31C72×C52C92=40126，P（2=4）=C32C72×C62C92+C41C31C72×C41C51C92+C42C72×C52C92=115152，P（2=5）=C32C

11、72×C31C61C92+C41C31C72×C42C92=21126，P（2=6）=C32C72×C32C92=3252，E（2）=2×6126+3×40126+4×115252+5×21126+6×3252=4851263.85E（1）E（2）故选：A5已知随机变量i满足P（i=0）=pi，P（i=1）=1pi，且0pi12，i=1，2若E（1）E（2），则（）Ap1p2，且D（1）D（2）Bp1p2，且D（1）D（2）Cp1p2，且D（1）D（2）Dp1p2，且D（1）D（2）【解答】解：随机变量i满足P（i

12、=0）=pi，P（i=1）=1pi，0pi12，i=1，2E（1）E（2），P（1=0）=p1，P（1=1）=1p1，P（2=0）=p2，P（2=1）=1p2，E（1）=1p1，E（2）=1p2，E（1）E（2），1p11p2，解得p1p2，0p2p112，D（1）=（01+p1）2p1+（11+p1）2（1p1）=p1-p12，D（2）=（01+p2）2p2+（11+p2）2（1p2）=p2-p22，0p2p112，D（1）D（2）=p1-p12-p2+p22=（p1p2）1（p1+p2）0，D（1）D（2）故选：B6把一枚硬币任意抛掷三次，事件A表示“至少一次出现反面”，事件B表示“恰有一

13、次出现正面”，则P（B|A）值等于（）A2164B764C17D37【解答】解：由题意，P（AB）=323=38，P（A）=1123=78，P（B|A）=P(AB)P(A)=3878=37，故选：D7已知随机变量X服从二项分布B（4，12），则D（3X+1）=（）A3B4C9D10【解答】解：随机变量X服从二项分布B（4，12），D（X）=4×12×(1-12)=1则D（3X+1）=9D（X）=9故选：C8已知随机变量N（2，4），则D（12+1）=（）A1B2C0.5D4【解答】解：随机变量N（2，4），D（）=4，设=12+1，D（）=D（12+1）=14D（）=14&

14、#215;4=1，故选：A二填空题（共5小题）9若离散型随机变量的分布列为01P9c2c38c则常数c的值为13【解答】解：根据离散型随机变量的分布列的定义和性质可得 9c2c+（38c）=1，且9c2c0，（38c）0解得c=13，故答案为 1310随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P（|X|=1）=23，方差的最大值是23【解答】解：由题意可得：2b=a+c，又a+b+c=1，（0a，b，c1）联立解得b=13P（|X|=1）=a+c=1b=23EX=a+0×b+1×c=ca=232a，令EX=m=232a，DX=（1m）2a+（0m）

15、2×13+（1m）2c=m2+（2a2c）m+a+c=(23-2a)2+（4a43）（232a）+23=4a2+8a3+29=4(a-13)2+2323，当且仅当a=c=13时取等号因此DX的最大值为23故答案为：23，2311如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好取自由曲线y=x与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）=14【解答】解：根据题意，阴影部分由函数y=x与y=x围成，其面积为01（xx）dx=（23x32-x22）|01=16，A表示事件“点P恰好取自曲线y=x与直线x=1及x轴所围成

16、的曲边梯形内”，面积为16+12=23，则P（B|A）等于1623=14故答案为1412已知随机变量XB（4，p），若E（X）=2，则D（X）=1【解答】解：随机变量X服从二项分布XB（4，p），E（X）=2，4p=2，p=12D（X）=4p（1p）=1，故答案为：113将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E（X）=503【解答】解：这是100次独立重复试验，XB（100，16），E（X）=100×16=503故答案为：503三解答题（共3小题）14一个口袋内有5个大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球，以随机变量表示取出球的最大号码，求的分布列【解

17、答】解：一个口袋内有5个大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球，以随机变量表示取出球的最大号码，则的可能取值为3，4，5，P（=3）=C11C22C53=110，P（=4）=C11C32C52=310，P（=4）=C11C42C52=35，的分布列为：345P1103103515秉承提升学生核心素养的理念，学校开设以提升学生跨文化素养为核心的多元文化融合课程，选某艺术课程的学生唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，其P（0）=710（）求选该艺术课程的学生人数；（）写出的概率分布列并计算E【解答】解

18、：（）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有7x人，则只会一项的人数是72x人，P（0）=P（1）=1P（=0）=710，P（=0）=310，即C7-2x2C7-x2=310，解得x=2，选该艺术课程的学生人数共有5人（）由题意知的可能取值为0，1，2，P（=0）=C32C52=310，P（=1）=C21C31C52=35，P（=2）=C22C52=110，的概率分布列为： 0 1 2 P 310 35 110E=0×310+1×35+2×110=4516已知箱中有4个白球和3个黑球，（）有放回的任取两次，求都是白球的概率；（）无放回的任取两次，求在第一次取得黑球的前提下，第二次取得白球的概率【解答】解：（）有放回的任取两次，共有基本事件7×7=49种，都是白球，共有基本事件4×4=16种，所求概率为1649；（）袋中有4个白球，3个黑球，在第一次取出黑球的条件下，还剩下4个白球，2黑球，故第二次取出的情况共有6种，其中第二次取出的是白球有4种，故第一次取得黑球的前提下，第二次取得白球的概率是46=23