考点41 直线与圆锥曲线的位置关系-备战2020年高考数学（理）考点一遍过_20210103224733.docx

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1、考点41 直线与圆锥曲线的位置关系（1）了解圆锥曲线的简单应用.（2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系1曲线的交点在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线，已知它们的方程为，求曲线的交点坐标，即求方程组的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.2直线与圆锥曲线的交点个数的判定 设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.（1）当时，方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a=0时，方程为一次方程，

2、若b0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b=0,c0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.3直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离.（2）直线与双曲线有两个交点相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有交点相离.（3）直线与抛物线有两个交点相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛

3、物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有交点相离.二、圆锥曲线中弦的相关问题1弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.2中点弦问题（1）AB为椭圆的弦，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.（2）AB为双曲线的弦，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所

4、在直线的斜率.考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.典例1 已知椭圆x2+4y2=4，直线l:yxm(1)若l与椭圆有一个公共点，求m的值；(2)若l与椭圆相交于P,Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值【解析】(1)联立直线与椭圆的方程，得

5、，即5x2+8mx+4m2-4=0，由于直线l与椭圆有一个公共点，则=80-16m2=0,所以m=±5.(2)设P(x1,y1)，Q(x2，y2)，由(1)知：，则|PQ|=2.解得：m=±304.典例2 已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，所以，则抛物线的方程为，抛物线的方程为.若直线的斜率不存在，则易知直线的方程为；若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，联立，可得，当时，满足题意，此时直线的方程为；当时，解得，此时直线的

6、方程为.综上，直线的方程为，或，或.（2）易得直线MF的方程为，由得设，则，从而，所以的面积为1已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为ABCD2已知点到抛物线的准线的距离为2.（1）求抛物线的方程及焦点的坐标；（2）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，求直线与的斜率之积.考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距

7、离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例3 已知抛物线C：y2=2px（p>0），焦点为F，直线l交抛物线C于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，D(x0,y0)为AB的中点，且|AF|+|BF|=1+2x0（1）求抛物线C的方程；（2）若x1x2+y1y2=-1，求的最小值【解析】（1）根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p，x1+x2=2x0，|AF|+|BF|=1+2x0，p=1，y2=2x（2）设直线l的方程为x=my+b，代入抛物线方程，得y2-2my-2b=0，x1x2+y1y2=-1，即，y1y2=-2，即y1y2=-2b=-2，b=1，y1+y2=2m

8、，y1y2=-2，|AB|=1+m2|y1-y2| =1+m2(y1+y2)2-4y1y2 =21+m2m2+2，令t=m2+1，t1,+)，则，当且仅当时等号成立故的最小值为.典例4 已知椭圆：的上顶点为，右顶点为，直线与圆相切于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）直线与圆相切于点，且，直线的方程为，即，椭圆的标准方程为；（2）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，代入椭圆的方程中，得，由椭圆定义知，又，从而，设，则，.，代入并整理得，.故直线的方程为或.3直线与双曲线相交于A，B两点（1）当时

9、，求线段AB的长；（2）若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值4已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于点，且（1）求抛物线的方程；（2）设直线与轴交于点，试探究：线段与的长度能否相等？如果相等，求直线的方程，如果不等，说明理由考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将

10、过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.典例5 如图，已知点E(m,0)(m0)为抛物线y24x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点（1）若m1，k1k21，求EMN面积的最小值；（2）若k1k21，求证：直线MN过定点【解析】（1）当m=1时，E为抛物线y2=4x的焦点，k1k2=-1，ABCD. 设直线AB的方程为y=k1x-1，Ax1,y1,Bx2,y2，由y=k1x-1y2=4x得k1y2-4y-4k1=0，y1+y2=4k1，y1y2=-4.则，同理，N2k12+1,-2k1，化简得，当且仅当k1=

11、7;1时等号成立.故EMN的面积取得最小值，为4. （2）设直线AB的方程为y=k1x-m，Ax1,y1,Bx2,y2，由y=k1x-my2=4x得k1y2-4y-4k1m=0，y1+y2=4k1，y1y2=-4m，则，同理，直线MN的方程为，即y=k1k2x-m+2，直线MN恒过定点m,2典例6 已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于两点（异于）.（1）求证：直线的斜率为定值；（2）求面积的最大值.【解析】（1）由，得，不妨设直线，直线.由，得，设，同理得，直线的斜率为定值2.（2）设直线，由，得，则，由得，且，又点到的距离，则，当且仅当，即，时，取等号

12、，所以面积的最大值为1.5已知抛物线过点（1）求抛物线的方程和焦点坐标；（2）过点的直线与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并加以证明.6已知椭圆的离心率为12，右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，左顶点为P，过F2的直线交椭圆于A、B两点，直线PA、PB与直线l:x=4交于M、N两点.（1）求椭圆E的方程；（2）试计算PMPN是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 1直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为A相交 B相切C相离 D不确定2已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为A(0,52) B1,5

13、2C(-52,52) D(1,52)3直线被椭圆截得的弦长是ABCD4设F为抛物线C：y2=8x的焦点，过F作倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，则AB=A323 B16C32 D435直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A,B两点，若线段AF,BF的长分别为m,n，则4m+n的最小值是A10 B9C8 D76已知直线与抛物线相切，则双曲线的离心率为ABCD7已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为A2BCD8过双曲线的右顶点A作倾斜角为135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若,则双曲线的渐近线方程为

14、A(2+1)x+y=0B(2+1)y-x=0C(2+1)x±y=0D(2+1)y±x=09过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，为坐标原点，则的面积与的面积之比为ABCD210若椭圆与直线x-2y+4=0有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是A BC D11已知双曲线的一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为433，则此双曲线的离心率为A2 B3C D612设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，为垂足，如果直线的斜率为，那么ABCD213若直线与抛物线交于两个不同的点，抛物线的焦点为，且成等差数列，则A2或BC2D14已知是关于的方程的两个不等实根，则经过两

15、点的直线与椭圆公共点的个数是ABCD不确定15如图,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为AB C Dy2=3x16已知椭圆C：，过点M(1,0)的直线l与椭圆C交于点A，B，若AM=2MB，则直线l的斜率为A B C D 17已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，若直线与直线的斜率的乘积为，则的最小值为A14B16C18D2018直线过抛物线的焦点且与相交于A，B两点，且的中点的坐标为，则抛物线C的方程为A或B或C或D或19如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：

16、的下焦点，交椭圆C于A，B两点，则弦AB的长等于_20如果双曲线C:x2a2-y2b2=1的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为_.21过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若弦的垂直平分线经过点，则等于_.22直线m与椭圆x22+y2=1分别交于点P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为_23过抛物线C:y2=x上一点A(1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P,Q(异于点A)两点,则直线PQ恒过定点_.24过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于、两点，则_25已知椭圆的

17、离心率，焦距是（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于、两点，求的值26已知抛物线y2=2pxp>0上的点P到点Fp2,0的距离与到直线x=0的距离之差为1，过点Mp,0的直线l交抛物线于A，B两点.（1）求抛物线的方程；（2）若ABO的面积为43，求直线l的方程.27设、分别为双曲线的左、右项点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于、两点，且在双曲线的右支上存在点使，求的值及点的坐标28已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，.（1）求抛物线的标准方程；（2）如图，为抛物线的准线上任一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，直线与直线，

18、分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，求的值.29已知椭圆过点且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，且满足若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.30已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上的射影为，且是边长为的正三角形.（1）求；（2）过点作两条相互垂直的直线与交于两点，与交于两点，设的面积为的面积为（为坐标原点），求的最小值.31已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.（1）求的值；（2）已知点为上一点，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标32已知点在双曲线（，）上，且双曲线的一

19、条渐近线的方程是（1）求双曲线的方程；（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；（3）设（2）中直线与双曲线交于两个不同的点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值33已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于不同的两点，交轴于点，已知，求证：为定值34已知圆，抛物线（1）若抛物线的焦点在圆上，且为抛物线和圆的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于两点，设，当时，求的最大值35已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆相切（1）

20、求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，设两直线的斜率分别为k1、k2，且，证明：直线AB过定点36已知椭圆的左顶点为，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积1（2019年高考全国卷理数）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点若，则C的方程为ABCD2（2019年高考全国卷理数）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为ABCD3（2019年高考天津卷理数）已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），

21、则双曲线的离心率为ABCD4（2018新课标全国理科）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则A5B6C7D85（2018新课标全国理科）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为ABCD6（2018新课标全国理科）已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若为直角三角形，则AB3CD47（2019年高考浙江卷）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_8（2019年高考全国卷理数）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条

22、渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_9（2018新课标全国理科）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_10（2019年高考全国卷理数）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|11（2019年高考全国卷理数）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.12（2019年高考北京卷理数）已知抛物线C：x2=2p

23、y经过点（2，1）（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点13（2019年高考天津卷理数）设椭圆的左焦点为，上顶点为已知椭圆的短轴长为4，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上若（为原点），且，求直线的斜率14（2019年高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（1、0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与

24、椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1=（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标15（2019年高考浙江卷）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记的面积分别为（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点G的坐标16（2018新课标全国理科）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程17（2018新课标全国理科）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为（1

25、）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：18（2018新课标全国理科）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列，并求该数列的公差19（2018北京理科）已知抛物线经过点过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，求证：为定值20（2018江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆O的直径为（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于两点若的面积为，

26、求直线l的方程21（2018天津理科）设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q若(O为原点)，求k的值22（2017新课标全国理科）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程23（2017新课标全国I理科）已知椭圆C：，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P

27、2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点变式拓展1【答案】C【解析】因为，所以，又，所以在直角三角形中，因为，所以，所以椭圆的方程为.故选C.2【解析】（1）由已知得，所以所以抛物线的方程为，焦点的坐标为；（2）设点,，由已知得，由题意直线的斜率存在且不为0.设直线的方程为. 由得，则，因为点在抛物线上，所以， 则， 故.故直线与的斜率之积为2.3【解析】由消去y得设，则，（1） 当时，（2）由题意知，OAOB，则，即，即，即，解得所以当以AB为直径的圆经过坐标原点时，a的值为或4【解析】（1）设直线，代入抛物线方程得：，解得：，抛物线方程为.（2）由（

28、1）知：，联立，得，此时恒成立，过焦点，由，得，由得，即，解得：或（舍），.当直线的方程为时，.5【解析】（1）因为抛物线过点，所以，所以抛物线方程为，焦点坐标为.（2）设直线的方程为，由，消去整理得，则，即，设，则，且.直线，即，所以，直线恒过定点.6【解析】（1）由题意知ca=12，右焦点F2(1,0)，即c=1，且b2+c2=a2，解得a=2,b=3，所以椭圆E的方程为x24+y23=1.（2）由（1）知P(-2,0)，当直线AB的斜率不存在时，即直线AB的方程为x=1，易知A(1,32),B(1,-32)，所以直线PA:y=12(x+2),直线PB:y=-12(x+2).令x=4，可知

29、：M(4,3),N(4,-3),此时PMPN=27. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-1)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线PA:y=y1x1+2(x+2),直线PB:y=y2x2+2(x+2),令x=4，可知M(4,6y1x1+2),N(4,6y2x2+2)，联立，消去y整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，. 此时.综上所述，PMPN为定值，且.考点冲关1【答案】A【解析】由题意得直线y-1=k(x-1)恒过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆x29+y24=1的内部,所以直线与椭圆相交.选A2【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，当1k1

30、时，直线与双曲线的右支只有1个交点；当k1时，直线与双曲线的右支没有交点.把代入x2-y2=4得，令，解得k=52或k=52（舍去）直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个交点时，1k52故选D3【答案】A【解析】将直线代入，可得，即，x12，x2，y11，y2，直线被椭圆截得的弦长为.故选A4【答案】C【解析】由题意知F（2,0），AB所在直线的方程为y=tan30°(x-2)=33(x-2)，联立y2=8x消元得y2-83y-16=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=83,y1y2=-16，所以|AB|=1+3×64×3+4

31、15;16=32，故选C5【答案】B【解析】由抛物线焦点弦的性质可知：1m+1n=2p=1，则4m+n=4m+n1m+1n=5+4mn+nm5+24mn×nm=9，当且仅当m=32,n=3时等号成立.即4m+n的最小值是9.本题选择B选项.6【答案】B【解析】由，得，直线与抛物线相切，双曲线方程为，可得，则双曲线的离心率.故选B7【答案】C【解析】由题得.设，由题得，则，两式相减得，即，即.故选C.8【答案】C【解析】由题意知直线过点A(a,0),且斜率k=tan 135°=-1,则直线的方程为x+y-a=0.将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得B(a2a+b,aba+

32、b),C(a2a-b,-aba-b),则有,.因为AB=22BC,所以,化简得ba=2+1,则双曲线的渐近线方程为(2+1)x±y=0.故选C.9【答案】D【解析】设点位于第一象限，点，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，得，由抛物线的定义得，得，可得出，故选D10【答案】B【解析】联立方程得b2x2+4y2=4b2x-2y+4=0，消去y化简得(b2+1)x2+8x+16-4b2=0，由题意得=64-4×b2+116-4b20,b23,4-c23,c21,c1,ca12.故该椭圆离心率的取值范围是0,12.故选B11【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线不妨设为：

33、bx-ay=0，则，可得 .一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为433，可得，即2a2=b2=c2-a2，解得e=ca3故选B12【答案】B【解析】抛物线方程为，焦点，准线的方程为，直线的斜率为，直线的方程为，由可得点坐标为，为垂足，点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，.故选B.13【答案】C【解析】设由消去，得，故，解得，且由，且成等差数列，得，得，所以，解得或，又，故，故选C14【答案】A【解析】因为是关于的方程的两个不等实根，所以，且，则直线的斜率，则直线的方程为，即，整理得，故直线恒过点，而该点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交，即公共点有2个.故选A15【答案】C【解析】过点B

34、作准线的垂线,垂足为B1,记准线与x轴的交点为F1,则依题意得,所以|BB1|=23|FF1|=,由抛物线的定义得|BF|=|BB1|=.令A(x1,y1)、B(x2,y2),依题意知F(p2,0),可设直线l的方程为y=k(x-).联立方程,消去y得k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0,则x1+x2=p(k2+2)k2,x1·x2=p24.又由抛物线的定义知|AF|=x1+,|BF|=x2+,则可得1|AF|+1|BF|=2p,于是有13+32p=2p,解得2p=3,所以此抛物线的方程是.选C.16【答案】C【解析】由题意可得,直线l的斜率存在且不为0,不妨设直线l:y=k(

35、x-1),则由消去y化简得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=.因为AM=2MB,所以x1+2x2=3,所以x2=,x1=2k2-31+2k2,所以x1x2=2k2-31+2k2·3+2k21+2k2=2k2-81+2k2,化简得k2=114,解得k=±1414.故选C.17【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，依题意可知的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，联立，消去，整理得，设，则，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选B18【答案】

36、B【解析】由题意，抛物线的焦点，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，整理得，设，可得，所以，代入直线的方程，得，又因为的中点为，所以，解得或，或，抛物线C的方程为或故选B.19【答案】【解析】设A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由椭圆方程知，所以，所以椭圆的下焦点F的坐标为F(0，2)，故直线l的方程为yx2将其代入，化简整理得，所以，所以20【答案】5【解析】已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=bax，代入抛物线方程y=x2+1，整理得ax2-bx+a=0，渐近线与抛物线相切， b2-4a2=0，即c2=5a2e=5.故答

37、案为5.21【答案】【解析】由题意，抛物线的焦点，则过焦点F且倾斜角为的直线方程为，设，由得，弦AB的中点坐标为，则弦AB的垂直平分线方程为，弦AB的中点在该直线上，解得.22【答案】-12【解析】设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，中点P(x0,y0)，则k1=y1-y2x1-x2,k2=y0x0=y1+y2x1+x2，把点P1(x1,y1),P2(x2,y2)代入椭圆的方程x22+y2=1，整理得x122+y12=1,x222+y22=1，两式相减得，整理得，即k1k2=-12.23【答案】(2,-1)【解析】由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设AP:y-1=k(x-1)

38、,与抛物线C:y2=x联立,消去x,得ky2-y+1-k=0,由根与系数的关系可得, ,即P(1-kk)2,1-kk),同理可得Q(k+1)2,-k-1),所以直线PQ的斜率kPQ=,所以直线PQ:(1-k2-2k)y=kx+k2-1.通过对比可知,x=2,y=-1满足条件,即直线PQ恒过定点(2,-1).24【答案】【解析】设，直线的方程为，由抛物线的焦点弦公式，得，联立直线与抛物线的方程，消去y得，故，联立方程组，解得，则，故答案为25【解析】（1）由题意得，所以，又，所以，所以椭圆的方程为（2）设，将代入，整理得，所以 ，又，所以，又，代入上式，整理得，即，解得（舍去）或，即，经验证，能

39、使成立，故26【解析】（1）设Px0,y0，由定义知PF=x0+p2，x0+p2-x0=1，p=2，故抛物线的方程为y2=4x.（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，由（1）知M2，0.若直线l的斜率不存在，则方程为x=2，此时AB=42，所以ABO的面积为42，不满足题意，所以直线l的斜率存在；设直线l的方程为y=kx-2，代入抛物线方程得k2x2-4k2+1x+4k2=0，则=16k2+12-16k4>0，x1+x2=4+4k2，x1x2=4，所以AB=1+k242k2+1k2，点O到直线l的距离为d=2k1+k2，所以121+k242k2+1k22k1+k2=43，解得k=±

40、;1.故直线l的方程为y=x-2或y=-x+2.27【解析】（1）由实轴长为，得，渐近线方程为，即，因为焦点到渐近线的距离为，所以，又，所以双曲线的方程为（2）设，则，由，所以，所以，又，所以，所以，所以28【解析】（1）根据题意，得，所以.故抛物线的标准方程为.（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为.由，得.所以，得.同理，得，所以，分别令，得，所以.29【解析】（1）由已知点代入椭圆方程，得，由得，可转化为，由以上两式解得，所以椭圆C的方程为：.（2）存在这样的直线.当l的斜率不存在时，显然不满足,所以设所求直线方程为，代入椭圆方程化简得：，设，则，由已知条件可得,综合上述，可解得

41、，符合题意,所以所求直线的方程为：.30【解析】（1）设准线与轴的交点为点，连结，因为是正三角形，且，所以在中，所以.（2）设，直线，由（1）知，联立方程：，消去得.因为，所以，所以，又原点到直线的距离为，所以，同理，所以，当且仅当时取等号.故的最小值为.31【解析】（1）设，由抛物线定义知，又，所以，解得，将点代入抛物线方程，解得.（2）由（1）知，的方程为，所以点坐标为，设直线的方程为，点，由 得，.所以，所以，解得，所以直线的方程为，恒过定点【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.（1）设点坐标，根据抛物线的定义得到点横坐标，然后代入抛物线方程，得到的值；（2），直线和曲线联立，得到，然后表示出，化简整理，得到和的关系，从而得到直线恒过的定点.32【解析】（1）由题意知，解得因此，所求双曲线的方程是，即（2）直线过点且斜率为，直线的方程为由得直线与双曲线有两个不同的交点，解得（3）设直线与双曲线的交点为，由（2）可得，又以线段为直径的圆经过坐标原点，因此，为坐标原点），于是，即，即，即，解得又满足，且，所以，所求实数的值为33【解析】（1）由的焦点在圆上得，则.所以抛物线的标准方程为.