2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1节 坐标系 教案.doc

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1、1 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本题为高考选做题，以解答题形式出现，分值 10 分. 2.考查内容 (1)参数方程、极坐标与曲线的关系； (2)由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题及应用等，考查知识点较为简单和稳定. 3.备考策略 从 2019 年高考试题可以看出，高考对该点的考查既注重基础又注重能力且难度较前几年有所加大. 第一节第一节 坐标系坐标系 最新考纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念， 会在极坐标系中用极

2、坐标刻画点的位置， 能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 2 ：x x（0），y y（0）的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标 极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点

3、 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为 . 极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 . 极坐标：有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记为 M(，)一般不作特殊说明时，我们认为 0， 可取任意实数 3极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为： xcos ，ysin ；2x2y2，tan yx（x0）. 4常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆 r(02) 圆心为(r，0)半径为 r 的圆 2rcos_(22) 圆心为(r，2)，半径为 r

4、的圆 2rsin_(0) 3 过极点，倾斜角为 的直线 (R) 或 (R) 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 cos_a(22) 过点(，2)，与极轴平行的直线 sin_a(0) 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( ) (2)若点 P 的直角坐标为(1， 3)，则点 P 的一个极坐标是2，3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程 (0)表示的曲线是一条直线( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极

5、坐标是( ) A.1，2 B.1，2 C(1，0) D(1，) B 法一：由 2sin ，得 22sin ，化成直角坐标方程为 x2y22y，化成标准方程为 x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为1，2. 法二：由 2sin 2cos2，知圆心的极坐标为1，2，故选 B. 2若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y1x(0 x1)的极坐标方程为( ) A1cos sin ，02 B1cos sin ，04 Ccos sin ，02 4 Dcos sin ，04 A y1x(0 x1)，sin 1cos (0cos 1)，1sin cos 02

6、. 3设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x12x，y3y，则在这一坐标变换下正弦曲线 ysin x 的方程变为_ y3sin 2x 由x12x，y3y，知x2x，y13y， 代入 ysin x 中得 y3sin 2x. 4点 P 的直角坐标为(1， 3)，则点 P 的极坐标为_ 2，3 因为点 P(1， 3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x轴所成的角为3，所以点 P 的极坐标为2，3. 考点 1 平面直角坐标系中的伸缩变换 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线 yf(x)在变换 ：xx（0），yy（0）的作用下的变换方程的求法是将xx，yy代入 yf(x)，得yfx，整理之后得到

7、yh(x)，即为所求变换之后的方程 1.求椭圆x24y21 经过伸缩变换x12x，yy后的曲线方程 5 解 由x12x，yy，得到x2x，yy. 将代入x24y21，得4x24y21， 即 x2y21. 因此椭圆x24y21 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2y21. 2将圆 x2y21 变换为椭圆x29y241 的一个伸缩变换公式为 ：Xax（a0），Yby（b0），求 a，b 的值 解 由Xax，Yby得x1aX，y1bY，代入 x2y21 中得X2a2Y2b21， 所以 a29，b24，即 a3，b2. 解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是

8、明确变换前的点 P(x，y)与变换后的点 P(x，y)的坐标关系，用方程思想求解 考点 2 极坐标系与直角坐标系的互化 1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 (1)直角坐标方程化为极坐标方程： 将公式 xcos 及 ysin 直接代入直角坐标方程并化简即可 (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 cos ，sin ，2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形技巧 2极角的确定方法 由 tan 确定角 时，应根据点 P 所在象限取最小正角在这里要注意：当x0 时， 角才能由 tan yx按上述方法确定当 x0 时，tan 没有意义，

9、这时可分三种情况处理：当 x0，y0 时， 可取任何值；当 x0，y0 时，可6 取 2；当 x0，y0 时，可取 32. (1)(2019 广州模拟)在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin(4)22(0，00)，M 的极坐标为(1，)(10) 由题意知|OP|，|OM|14cos . 由|OM| |OP|16 得 C2的极坐标方程为 4cos (0) 因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0) (2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0) 由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB 的面积 S12|OA| BsinAOB4cos sin3 2sin23322 3

10、. 当 12时，S 取得最大值 2 3. 所以OAB 面积的最大值为 2 3. 求线段的长度有两种方法方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度方法二，直接在极坐标系下求解，设 A(1，1)，B(2，2)，则|AB|2122212cos（21）；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|12|即为所求 教师备选例题 (2016 全国卷)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为xacos t，y1asin t，10 (t 为参数，a0)在以坐标原点为极点，x 轴

11、正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos . (1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 02，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a. 解 (1)消去参数 t 得到 C1的普通方程为 x2(y1)2a2，则 C1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆 将 xcos ，ysin 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 22sin 1a20. (2)曲线 C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 22sin 1a20，4cos . 若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a20， 由已知

12、tan 2，可得 16cos28sin cos 0， 从而 1a20，解得 a1(舍去)或 a1. 当 a1 时，极点也为 C1，C2的公共点，且在 C3上 所以 a1. 1.在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1，C2的极坐标方程； (2)若直线 C3的极坐标方程为 4(R)，设 C2与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积 解 (1)因为 xcos ，ysin ， 所以 C1的极坐标方程为 cos 2， C2的极坐标方程为 22cos 4sin 40. (2)将 4代入 22cos

13、 4sin 40，得 23 240，解得 12 2，2 2. 故 12 2，即|MN| 2. 11 由于 C2的半径为 1，所以C2MN 的面积为12. 2(2019 长春模拟)在极坐标系中，直线 C1的极坐标方程为 sin 2，M 是C1上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且满足|OP| |OM|4，记点 P 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2的极坐标方程； (2)求曲线 C2上的点到直线 cos4 2距离的最大值 解 (1)设 P(1，)，M(2，)， 由|OP| |OM|4，得 124，即 241. 因为 M 是 C1上任意一点，所以 2sin 2， 即41sin 2，12sin . 所以曲线 C2的极坐标方程为 2sin . (2)由 2sin ，得 22sin ，即 x2y22y0， 化为标准方程为 x2(y1)21， 则曲线 C2的圆心坐标为(0，1)，半径为 1， 由直线 cos4 2， 得 cos cos 4sin sin 4 2，即 xy2， 圆心(0，1)到直线 xy2 的距离为 d|012|23 22， 所以曲线 C2上的点到直线 cos4 2距离的最大值为 13 22.